专题07+函数的奇偶性、周期性和对称性（检测）-2019年高考数学（文）名师揭秘之一轮总复习
《2019年高考数学名师揭秘》之一轮总复习（理科）
专题7函数的奇偶性、周期性和对称性
本专题特别注意：
1.对称性与奇偶性的区别陷阱；
2.奇偶性定义域对称陷阱；
3.隐含条件陷阱；
4.数形结合和陷阱；
5．参数讨论陷阱；
6.函数奇偶性于周期性式子的区别
7.两个函数的对称问题与一个函数对称的陷阱
8.奇偶性、对称性、周期性、单调性的联合应用。.
【学习目标】
1．理解函数奇偶性的概念，了解函数周期性的定义，判断函数的奇偶性．
2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及参数值．
3．掌握函数的单调性与奇偶性的综合应用．
【知识要点】
对于函数f(x)的定义域内任意一个x
1．函数奇偶性的定义
f(－x)＝－f(x)
一般地，如果_f(－x)＝f(x)＝f(|x|)
______________________________：
f(－x)＝f(x)
(1)都有________________，那么函数f(x)就叫做奇函数；
中心
原点
(2)都有________________，那么函数f(x)就叫做偶函数．
f(0)＝0
2．奇函数的图象是关于________成________对称图形，若奇函数的定义域含有数0，则必有__________；偶函数的图象是关于
轴
y轴
f(－x)＝f(x)＝f(|x|)
________成________对称图形，对定义域内的任意x的值，则必有__________________．
3．奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；
②两个偶函数的和积都是偶函数；
③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
4．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中有最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
5．三个重要结论
(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a
0)
由（1）可知近似图象如图所示：
当g（x）与f（x）仅有两个交点时，，
综上，a的取值范围是（﹣1，），
故填，（﹣1，）．
解题思路：本题主要是第2空比较难,要善于利用转化的思想分析解答. 把函数的图象上有且只有两对点关于轴对称转化为即f（x）（x＜0）的图象关于y轴对称的函数图象与f（x
）（x＞0）仅有两个交点，这样问题分析解答起来就方便多了.转化的数学思想是高中数学用的最普遍最广泛的数学思想，大家要理解掌握熟练运用.
31．【湖南省永州市2018届高三下学期第三次模拟】若直角坐标平面内两点满足条件：①两点分别在函数与的图象上；②关于轴对称，则称是函数与的一个“伙伴点组”（点组与看作同一个“伙伴点组”）.若函数与有两个“伙伴点组”，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】设点在上，则点所在的函数为，则与有两个交点，
的图象由的图象左右平移产生，当时， ，
如图，
所以，当左移超过个单位时，都能产生两个交点，
所以的取值范围是。
解题思路：本题考查函数的综合应用。由对称性得到其对称点的函数，则题目转化为图象交点个数问题。然后，本题利用函数图象移动来辅助解题，通过图象平移，观察交点个数的情况，得到答案。
32．【广东省惠州市2018届高三4月模拟考试数学文试题】已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时， ，则方程在区间内的所有零点之和为_____________．
【答案】4
【解析】∵函数是奇函数
∴函数的图象关于点对称
∴把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，即函数的图象关于点对称，则.
又∵
∴，从而
∴，即
∴函数的周期为2，且图象关于直线对称.
画出函数的图象如图所示：
∴结合图象可得区间内有8个零点，且所有零点之和为.
故答案为4.
解题思路：函数零点的求解与判断：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
33．【甘肃省张掖市2018届全市高三备考质量检测第三次诊断考试】已知函数若， ， 互不相等，且，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】作出函数的图象如图，直线 交函数图象于如图，不妨设 由正弦曲线的对称性，可得 关于直线 对称，因此
当直线线 向上平移时，经过点 时图象两个图象恰有两个公共点（此时 重合），所以时，两个图象有三个公共点，此时满足，
由可得 ，因此可得
故答案为．
【解题思路】本题以三角函数和对数函数为例，考查了函数的零点与方程根个数讨论等知识点．其中利用数形结合，观察图象的变化，从而得出变量的取值范围是解决本题的关键．
34．【江西师范大学附属中学2018届高三4月月考】定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝
f(x)＋f(y)＋2xy，(x、y∈R)，f(1)＝2，有下列命题：
①f(－2)＝2，②设g(x)＝f(x)＋f(－x)，g(x)是偶函数，③设h(x)＝f(x＋1)－f(x)，h(x)是常函数，④若x∈N*，则f(x)的值可组成等差数列．
其中正确命题有________．(填所有正确命题序号)
【答案】①②
【解析】①令，
，①正确；②令，
， ，即 是偶函数，②正确；③令， ，即是增函数，③错误；④由③知， ，不为常数，④错误，故答案为①②.
35．对于函数，部分与的对应关系如表：
数列满足： ，且对于任意，点都在函数的图象上，
则的值为__________.
【答案】7564
解题思路：周期数列是周期现象的应用，周期数列问题在高考中常出现．这类试题综合性强一般会融汇数列，数论，函数等知识解题，方法灵活多变，具有较高的技巧性．学生应进行相关的培训，才能在应付这些试题时有比较好的把握．
36．【湖南省衡阳市2018届高三第二次联考（二模）】已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则__________．
【答案】
【解析】由，由函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，得： ，联立方程消元即得： ，故答案为.
方法规律总结
1．函数的奇偶性、周期性是在整个定义域内讨论的整体性质，要正确理解奇函数与偶函数、周期函数的定义，必须注意以下几点：
(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称，周期函数的定义域是无界的．
(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)和f(x＋T)＝f(x)(T≠0)是定义域上的恒等式．
(3)若T是f(x)的一个周期，则kT(k≠0，k∈Z)也是f(x)的周期．
2．f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是周期函数，则f(x)的图象周期性重复出现．
3．判断函数的奇偶性的方法：定义法、图象法、性质法．
4．函数的奇偶性与周期性是函数的两个重要性质，它们又存在着一定的联系，特别是存在两条对称轴的函数，一定是一个周期函数，且最小正周期是相邻两条对称轴之间距离的2倍．
