2017-2018学年广东省中山市高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版

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2017-2018学年广东省中山市高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版

‎2017-2018学年广东省中山市高二(上)期末数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知命题p:∃x0∈R,log2(3+1)≤0,则¬p:(  )‎ A.∃x0∈R,log2(3+1)>0 B.∀x0∈R,log2(3x+1)≤0‎ C.∀x∈R,log2(3x+1)>0 D.∀x∉R,log2(3x+1)>0‎ ‎2.设a<b<0,则下列不等式中不正确的(  )‎ A.> B.> C.|a|>﹣b D.>‎ ‎3.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足=,则A=(  )‎ A. B. C. D.或 ‎4.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45°,沿A向北偏东30°方向前进100m到达B处,在B处测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是(  )‎ A.50m B.100m C.120m D.150m ‎6.已知等差数列{an}前n项和为Sn,S4=40,Sn=210,Sn﹣4=130,则n=(  )‎ A.12 B.14 C.16 D.18‎ ‎7.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=3x﹣2y的最小值为(  )‎ A.﹣5 B.﹣4 C.﹣2 D.3‎ ‎8.直线与曲线相切,则b的值为(  )‎ A.﹣2 B.﹣1 C. D.1‎ ‎9.已知函数f(x)=x2+cosx,f′(x)是函数f(x)的导函数,则f′(x)的图象大致是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.椭圆+=1上一点M到左焦点F1的距离为4,N是MF1的中点,则|ON|=(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.‎ ‎11.已知点P为双曲线(a>0,b>0)的右支上一点,F1、F2为双曲线的左、右焦点,使 (O为坐标原点),且||=||,则双曲线离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,在同一个坐标系中,an=f(n)及Sn=g(n)的部分图象如图所示,则(  )‎ A.当n=4时,Sn取得最大值 B.当n=3时,Sn取得最大值 C.当n=4时,Sn取得最小值 D.当n=3时,Sn取得最小值 ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.抛物线y=8x2的准线方程为   .‎ ‎14.已知ax2+bx+c>0的解集为{x|1<x<2},则不等式cx2+bx+a<0的解集为   .‎ ‎15.已知x>0,y>0且+=1,则xy的最大值为   .‎ ‎16.定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),若对任意的实数x,有f(x)>f′(x),且f(x)+2017为奇函数,则不等式f(x)+2017ex<0的解集是   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共计70分)‎ ‎17.(10分)已知p:方程+=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆;q:实数t满足不等式t2﹣(a﹣1)t﹣a<0.‎ ‎(Ⅰ)若p为真命题,求实数t的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.‎ ‎18.(12分)设数列{an}的前n项积为Tn,且Tn=2﹣2an.‎ ‎(Ⅰ)求证:数列{}是等差数列;‎ ‎(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎19.(12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,‎ 且acosC+asinC﹣b﹣c=0.‎ ‎(1)求A;‎ ‎(2)若AD为BC边上的中线,cosB=,AD=,求△ABC的面积.‎ ‎20.(12分)某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间大体满足关系:.(注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品).已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.‎ ‎(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数;‎ ‎(2)当日产量x为多少时,可获得最大利润?‎ ‎21.(12分)在平面直角坐标系xOy,已知椭圆+=1(a>b>0)的右顶点与上顶点分别为A,B,椭圆的离心率为,且过点(1,).‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)如图,若直线l与该椭圆交于P,Q两点,直线BQ,AP的斜率互为相反数,求证:直线l的斜率为定值.‎ ‎22.(12分)设函数f(x)=x﹣﹣alnx(a∈R).‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1和x2,记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k,问:是否存在a,使得k=2﹣a?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ 中山市高二级2017—2018学年度第一学期期末统一考试 数学(文科)参考答案及评分标准 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B B C A B C B A B D A ‎13. 14. 15. 16. ‎ ‎17.解:(1)因为方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆,‎ ‎ 所以,解得,‎ ‎ 即实数的取值范围是 ; ...................5分 ‎(2)因为是的充分不必要条件,‎ ‎ 所以是不等式的解集的真子集,‎ ‎ 因为的两根为,所以只需,‎ ‎ 即实数的取值范围 ...................10分 ‎18.解:(1)因为,所以,即,所以 ‎ 又,所以,‎ ‎ 即,‎ ‎ 所以数列是以为首项,以为公差的等差数列. ...............6分 ‎(2)由(1)知, ‎ ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ ‎ ...................12分 ‎19.解:(1)∵,由正弦定理得:‎ ‎ ,即 ‎ ,..................3分 ‎ 化简得:,∴................5分 ‎ 在中,,∴,得.........6分 ‎ (2)在中,,得 ...................7分 ‎ 则.....................8分 ‎ 由正弦定理得 ............................9分 ‎ 设,在中,由余弦定理得:‎ ‎ ,则 ‎ ,解得,‎ ‎ 即 .........................11分 ‎ 故 ........................12分 ‎20. 解:(Ⅰ)当时,, ‎ ‎ 当时,,‎ ‎ ‎ ‎ 综上,日盈利额(万元)与日产量(万件)的函数关系为:‎ ‎ .........................5分 ‎(Ⅱ)由(1)知,当时,每天的盈利额为0‎ ‎ 当时,‎ 当且仅当时取等号 .........................7分 所以当时,,此时 .........................8分 ‎ 当时,由 ‎ 知函数在上递增,‎ ‎ ,此时 .........................11分 综上,若,则当日产量为3万件时,可获得最大利润 ‎ 若,则当日产量为万件时,可获得最大利润.............12分 ‎21.(1)由题意,离心率,所以,所以,‎ ‎ 故椭圆的方程为,将点代入,求得,‎ ‎ 所以椭圆的标准方程为; ……………5分 ‎ ‎ (2)①设直线的方程为,则由题意直线的方程为,‎ ‎ 由 ,得,‎ ‎ 所以点的坐标为, ……………………9分 ‎ ‎ 同理可求得点的坐标为. ……………………10分 ‎ ‎ 所以直线的斜率为.  ……………12分 ‎22.解:(1)的定义域为,,‎ 令,其判别式 ........................2分 ‎①当时,,故在上单调递增,‎ ‎②当时,的两根都小于0,在上,,‎ ‎ 故在上单调递增,‎ ‎③当时,的两根为,‎ 当时,;当时,;当时,,‎ 故分别在上单调递增,在上单调递减 ...........6分 ‎(2)由(1)知,.‎ ‎ 因为,‎ ‎ 所以,‎ ‎ 又由(1)知,.于是....................8分 ‎ 若存在,使得.则.即,‎ ‎ 亦即(*) .....................10分 ‎ 再由(1)知,函数在上单调递增,而,‎ ‎ 所以.这与(*)式矛盾,故不存在,使得 ‎ ‎ .....12分
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