2017-2018学年内蒙古北京八中乌兰察布分校高二下学期期末考试数学（文）试题 解析版

2017-2018学年内蒙古北京八中乌兰察布分校高二下学期期末考试数学（文）试题 解析版

‎2017-2018学年内蒙古北京八中乌兰察布分校高二下学期期末考试 数学（文科）试题 ‎（命题人：张小智 审核人：柴树山 分值 150 时间 120分钟 ‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。‎ ‎2. 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3. 考试结束后，将答题卡交回。‎ 一、选择题：（本大题共12小题。每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题意的 ‎ ‎1．复数满足（是虚数单位），则在复平面对应的点所在象限为（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2．已知全集，集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．函数在的图象大致是 A B C D ‎5．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，若， ， ，则， ， 的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎7．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 ‎ A. B. 0 C. 2 D. 50‎ ‎9．已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．设曲线y＝ax－2ln(x＋2)在点(0, f(0))处的切线方程垂直于直线为x+2y=0，则a＝(　　)‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎11．下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二．填空题（本大题共4小题。每小题5分，满分20分。） ‎ ‎13．i是虚数单位，复数___________.‎ ‎14．曲线在点处切线方程是________‎ ‎15．已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．‎ ‎16．已知函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f ′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是________．‎ ‎①当x＝时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点；‎ ‎③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．‎ 三、解答题(共70分)‎ ‎17．（本小题满分12分） ‎ 如图所示，定义域为上的函数是由一条射线及抛物线的一部分组成.利用该图提供的信息解决下面几个问题.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若关于的方程有三个不同解，求的取值范围；‎ ‎18．（本小题满分12分） ‎ 已知函数（且），‎ ‎ ⑴若，解不等式；‎ ‎⑵若函数在区间上是单调增函数，求常数的取值范围．‎ ‎19．（本小题满分12分） ‎ 已知函数 .‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）函数在上是减函数，求实数a的取值范围.‎ ‎20．（本小题满分12分） ‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数的极值；（2）当时，求函数的最值．‎ ‎21．（本小题满分12分） ‎ 已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）设，计算的导数.‎ ‎22．（本小题满分10分） ‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求和的直角坐标方程； ‎ ‎（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．‎ 参考答案 ‎1．D ‎【解析】分析：先根据得到z然后根据复数的坐标定义即可得出结论.‎ 详解：由题得：‎ 故z所对应的坐标为，为第四象限 故选D.‎ 点睛：考查复数的四则运算和坐标表示，属于基础题.‎ ‎2．C ‎【解析】由题意得，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴．选C．‎ ‎3．A ‎【解析】依题意有，解得.‎ ‎4．B ‎【解析】由于故函数为偶函数,排除两个选项., ,故选选项.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数图象的识别,考查函数的单调性与奇偶性的判断,考查选择题排除法的思想方法.也可以利用导数求得单调性来判断.首先根据函数的奇偶性进行排除,即计算,由此判断函数为偶函数,结合图象可以排除两个选项,再根据特殊点的函数值可得到最终的选项.‎ ‎5．B ‎【解析】由于函数为偶函数且在轴左边递减，那么在右边则是递增，由于，所以.‎ ‎6．B ‎【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.‎ 详解：结合流程图运行程序如下：‎ 首先初始化数据：，‎ ‎，结果为整数，执行，，此时不满足；‎ ‎，结果不为整数，执行，此时不满足；‎ ‎，结果为整数，执行，，此时满足；‎ 跳出循环，输出.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：‎ ‎(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．‎ ‎(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．‎ ‎(3)按照题目的要求完成解答并验证．‎ ‎7．C ‎【解析】选项A中，函数无零点，不合题意，故A不正确。‎ 选项B中，函数不是偶函数，不合题意，故B不正确。‎ 选项C中，函数是偶函数又存在零点，符合题意，故C正确。‎ 选项D中，函数不是偶函数，不合题意，故D不正确。‎ 综上选C。‎ ‎8．C ‎【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.‎ 详解：因为是定义域为的奇函数，且，‎ 所以,‎ 因此，‎ 因为，所以，‎ ‎，从而，选C.‎ 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．‎ ‎9．A ‎【解析】由f(x)=f′(1)+xlnx，‎ 得：f′(x)=1+lnx，‎ 取x=1得：f′(1)=1+ln1=1‎ 故f(e)=f′(1)+elne=1+e.‎ 故选：A.‎ ‎10．D ‎【解析】分析：根据题意可得切线的斜率与直线为x+2y=0的斜率相乘为-1，可得，从而可得a.‎ 详解：由题得：，由 ‎ 点睛：考查函数的切线方程，本题的关键是要得到，考查学生的基础知识，属于基础题.‎ ‎11．B ‎【解析】分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可。‎ 详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点。‎ 故选项B正确 点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题。‎ ‎12．C ‎【解析】分析：先求出f(x)的解析式，再求f(1)的值.‎ 详解：设2x=t,则f(t)=,所以f(1)=,故答案为：C 点睛：（1）本题主要考查函数解析式的求法和函数求值,‎ 意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)本题是已知复合函数的解析式求原函数的解析式，所以用换元法求原函数的解析式.‎ ‎13．4–i ‎ ‎【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由复数的运算法则得：.‎ 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎14．‎ ‎【解析】由题意，，则切点坐标为，又，则切线斜率为，所以切线方程为，即.‎ ‎15．e ‎【解析】分析：首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由函数的解析式可得：，‎ 则：.即的值为e.‎ 点睛：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16．①.‎ ‎【解析】分析：根据导函数得图像可知，1,2是导函数的解，故1,2是极值点，根据图可知1为极大值点，2是极小值点.‎ 详解：有图可知1为极大值点，2是极小值点，故②③④正确，①错 点睛：考查函数极值点的定义以及极大值、极小值的判定，属于基础题.‎ ‎17．（1）.;（2）;（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由图象可知，当时， 为一次函数；当时， 是二次函数，分别用待定系数法求解析式；（2）当时， ，结合图象可以得到当时，函数的图象和函数的图象有三个公共点，即方程有三个不同解；（3）分和两种情况分别解方程即可。‎ 试题解析：‎ ‎（1）①当时，函数为一次函数，设其解析式为，‎ ‎∵点和在函数图象上，‎ ‎∴‎ 解得 ‎②当时，函数是二次函数，设其解析式为，‎ ‎∵点在函数图象上，‎ ‎∴‎ 解得 综上.‎ ‎（2）由（1）得当时， ，‎ ‎∴。‎ 结合图象可得若方程有三个不同解，则。‎ ‎∴实数的取值范围.‎ ‎（3）当时，由得 解得 ；‎ 当时，由得，‎ 整理得 解得或（舍去）‎ 综上得满足的的取值集合是.‎ ‎18．（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，可得，根据对数函数的单调性求解；（2）由于为减函数，且为增函数，故有；另外真数在上恒成立，由此得到关于的不等式求解即可。‎ 试题解析：‎ ‎⑴当时，原不等式为 ‎∴ ‎ 解得 ‎ ‎ ∴原不等式的解集为。‎ ‎⑵设，则函数为减函数，‎ ‎∵函数在区间上是单调增函数 ‎∴，解得。‎ ‎∴实数的取值范围。‎ 点睛：解答本题时以下两个地方容易出现错误：‎ ‎（1）忽视隐含条件的挖掘，在本题中对函数来讲隐含着；‎ ‎（2）由于在真数的位置上，故要满足在给定区间上恒成立；‎ ‎（3）对于复合型的函数，注意“同增异减”这一结论的运用。‎ ‎19．(1)减区间为（0，），（1，+∞），增区间为（，1）；(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导得，得到减区间为（0，），（1，+∞），增区间为（，1）；（2），在x∈（2，4）上恒成立，等价于上恒成立，所以实数a的取值范围 试题解析：[]‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 函数的定义域为（0，+∞），在区间（0，），（1，+∞）上f ′（x）＜0. 函数 为减函数；在区间（，1）上f ′（x）＞0. 函数为增函数.‎ ‎（2）函数在（2，4）上是减函数，则，在x∈（2，4）上恒成立. ‎ 实数a的取值范围 ‎ 点睛：本题考查导数的综合应用。导数的基本应用就是判断函数的单调性，，单调递增，，单调递减。当函数含参时，则一般采取分离参数法，转化为已知函数的最值问题，利用导数求解。‎ ‎20．（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】试题分析：⑴先求出函数的导数，令，得到函数的单调区间，从而得到函数的极值 ‎⑵由⑴得时，函数取最大值， 时，函数取最小值 解析：（1），‎ 令，解得或，‎ 的变化如下表：‎ ‎-2‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 ‎16‎ 单调递减 ‎-16‎ 单调递增 ‎∴函数的极大值为，极小值为；‎ ‎（2）由（1）知，又，‎ ‎∴当时，函数的最大值为，最小值为．‎ ‎21．（1）.（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由导数的基本定义就出斜率，根据点斜式写出切线方程；（2）， .‎ 试题解析：‎ ‎（1），则，‎ 又，∴所求切线方程为，即.‎ ‎（2）， .‎ ‎22．（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）‎ ‎【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分 与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．‎ 详解：（1）曲线的直角坐标方程为．‎ 当时，的直角坐标方程为，‎ 当时，的直角坐标方程为．‎ ‎（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程 ‎．①‎ 因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．‎ 又由①得，故，于是直线的斜率．‎ 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)‎ 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则 ‎(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).‎ ‎(2)|M1M2|＝|t1－t2|.‎ ‎(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.‎ ‎(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.‎