2017-2018学年江西省高安中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年江西省高安中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年江西省高安中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意得集合，要使得，则，故选A.‎ ‎【考点】集合的运算.‎ ‎2．函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为，所以由且得，且，故选B.‎ ‎【考点】函数的定义域.‎ ‎3．已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】若在复平面内对应的点在第二象限，则，所以，故选择A.‎ ‎4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】试题分析：A：偶函数与在上单调递增均不满足，故A错误；B ‎：均满足，B正确；C：不满足偶函数，故C错误；D：不满足在上单调递增，故选B．‎ ‎【考点】本题主要考查函数的性质．‎ ‎5．命题“≤0，使得≥0”的否定是（ ）‎ A．≤0，＜0 B．≤0，≥0 ‎ C．＞0，＞0 D．＜0，≤0‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】试题分析：根据特称命题的否定是全称命题可知选A，故选A．‎ ‎【考点】本题主要考查特称命题的否定．‎ ‎6．某算法的程序框图如图所示，执行该程序后输出的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意结合流程图执行题中所给的程序，由输出结果结合选项即可求得最终结果.‎ 详解：结合流程图可得，程序运行过程如下：‎ 首先初始化数据：，‎ 第一次循环，，满足，执行；‎ 第二次循环，，满足，执行；‎ 第三次循环，，满足，执行，，；‎ 一直执行循环，‎ 第十次循环，，满足，执行，‎ ‎，‎ 第十一次循环，，不满足，跳出循环，‎ 则输出值为：.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：‎ ‎(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．‎ ‎(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．‎ ‎(3)按照题目的要求完成解答并验证．‎ ‎7．已知命题，命题，则下列判断正确的是( )‎ A. 命题是假命题 B. 命题是真命题 C. 命题是假命题 D. 命题是真命题 ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意首先确定命题p,q的真假，然后逐一考查所给的命题是否正确即可.‎ 详解：当时，，命题为真命题；‎ 当时，，命题为假命题；‎ 据此逐一考查所给的选项：‎ A.命题是真命题，原命题错误；‎ B.命题是假命题，原命题错误；‎ C.命题是真命题，原命题错误；‎ D.命题是真命题，原命题正确；‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：本题主要考查命题真假的判断，复合命题问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8．定义在上的函数满足，，且时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意首先确定函数的奇偶性和函数的周期性，然后结合题意即可求得最终结果.‎ 详解：由题意可知函数是定义在上的奇函数，且函数的周期为，‎ 则：.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查函数的周期性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎9．函数的大致图象为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：考查函数的符号和函数的奇偶性排除错误选项即可求得最终结果.‎ 详解：利用排除法：‎ 当时，，，则函数，据此可排除AB选项；‎ 且：，即函数的图象不关于坐标原点对称，排除D选项.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎10．若的最小值为3，则实数a的值为（ ）‎ A. 2或4 B. -4或2 C. -2或-4 D. -2或4‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意首先确定绝对值函数的几何意义，然后结合几何意义即可求得最终结果.‎ 详解：的几何意义为数轴上的点与的距离和的距离之和，‎ 其最小值为，则：，‎ 求解绝对值不等式可得：a的值为 -2或4.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：本题主要考查绝对值函数的几何意义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11．已知偶函数f(x)在上递减，试比，，的大小（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意首先确定自变量的数值和范围，然后结合函数的奇偶性和函数的单调性即可比较函数值的大小.‎ 详解：由对数的运算法则可知：，‎ 且，函数为偶函数，则，‎ 由于，结合函数的单调性可得：，‎ 即：.本题选择D选项.‎ 点睛：本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12．已知函数，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：结合函数的解析式首先构造出奇函数， 然后结合构造的新函数即可求得最终结果.‎ 详解：整理函数的解析式有：，‎ 由于，‎ 故函数是奇函数，‎ 据此可得：为奇函数，‎ ‎，‎ 则：，‎ 即：.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．‎ 二、填空题 ‎13．直线与曲线的交点个数__________.‎ ‎【答案】2个 ‎【解析】分析：首先确定直线的特征和曲线的特征，然后结合点在圆内即可求得最终结果.‎ 详解：由直线的参数方程可知，直线恒过定点，‎ 曲线的直角坐标方程为，表示坐标原点为圆心，3为半径的圆，‎ 点在圆内，据此可知，直线与曲线C交点的个数为2个.‎ 点睛：本题主要考查直线的参数方程，点与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎14．已知关于的不等式无解，则实数k的取值范围是________.‎ ‎【答案】(－∞，1)‎ ‎【解析】分析：画出函数的图象，数形结合即可求得最终结果.‎ 详解：绘制函数的图象如图所示，观察函数图象可得函数的最小值为1，‎ 则关于的不等式无解，则实数k的取值范围是.‎ 故答案为：．‎ 点睛：本题主要考查绝对值函数及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎15．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________．‎ ‎【答案】（0，2]‎ ‎【解析】分析：由题意首先求得集合p和集合q，然后结合题意得到关于实数a的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.‎ 详解：求解绝对值不等式可得：，‎ 求解二次不等式可得：,‎ 若是的充分不必要条件,则：，‎ 求解关于a的不等式组可得：，‎ 结合可得实数的取值范围是（0，2].‎ 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，二次不等式的解法，充分不必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数都有，则称函数f(x)为“Z函数”．给出下列四个函数：‎ ‎①y=－x3+1，②y=2x，③，④，‎ 其中“Z函数”对应的序号为________________.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】分析：由题意首先将新定义转化为函数单调性的问题，然后结合函数的解析式逐一考查所给函数的性质即可.‎ 详解：由可得：，‎ 即与同号，‎ 据此可得，若函数是“函数”，则函数单调递增，‎ 函数单调递减，不合题意；‎ 函数单调递增，符合题意；‎ 函数不具有单调性；‎ 绘制函数的图象如图所示，观察可得函数单调递增，满足题意.‎ 综上可得，“Z函数”对应的序号为②④.‎ 点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.‎ 三、解答题 ‎17．在正项等比数列中，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前10项和.‎ ‎【答案】(1);(2)45lg3.‎ ‎【解析】分析：（1）由题意结合等比数列的性质可得，则，数列的通项公式为.‎ ‎（2）依题意可得，据此可得.‎ 详解：（1）依题意有：，解得：，‎ 于是：（舍负），‎ 于是：数列的通项公式是.‎ ‎（2）依题意有：，‎ 于是.‎ 点睛：本题主要考查等比数列的性质及其应用，等差数列的前n项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎18．高二学生小严利用暑假参加社会实践，为了帮助贸易公司的购物网站优化今年国庆节期间的营销策略，他对去年10月1日当天在该网站消费且消费金额不超过1000元的1000名（女性800名，男性200名）网购者，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表（消费金额单位：元）：‎ 女性消费情况：‎ 消费金额 ‎（0,200）‎ ‎[200,400）‎ ‎[400,600)‎ ‎[600,800)‎ ‎[800,1000)‎ 人数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ 男性消费情况：‎ 消费金额 ‎（0,200）‎ ‎[200,400）‎ ‎[400,600)‎ ‎[600,800)‎ ‎[800,1000)‎ 人数 ‎2‎ ‎3‎ ‎10‎ ‎2‎ ‎（1）现从抽取的100名且消费金额在[800,1000](单位：元)的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的这两名网购者恰好是一男一女的概率；‎ ‎（2）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关?”‎ 女性 男性 总计 网购达人 非网购达人 总计 附：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎（，其中）‎ ‎【答案】(1);(2)见解析.‎ ‎【解析】分析：(1)由题意结合分层抽样的概念可得，，利用列举法可得从5名任意选2名，总的基本事件有10个.事件“选出的两名购物者恰好是一男一女”包含的基本事件有6个.则.‎ ‎(2)由题意绘制列联表，计算观测值可得，则在犯错误的概率不超过0.010的前提下可以认为“是否为‘网购达人’与性别有关”.‎ 详解：(1)按分层抽样女性应抽取80名，男性应抽取20名.‎ ‎，，‎ 抽取的100名且消费金额在[800,1000]（单位：元）的网购者中有三位女性设为，，；两位男性设为，.‎ 从5名任意选2名，总的基本事件有，，， ，，，，，，共10个.‎ 设“选出的两名购物者恰好是一男一女为事件”.‎ 则事件包含的基本事件有，，，，，共6个.‎ ‎.‎ ‎(2)列联表如下表：‎ 女性 男性 总计 网购达人 ‎50‎ ‎5‎ ‎55‎ 非网购达人 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 总计 ‎80‎ ‎20‎ ‎100‎ 则 且.‎ 所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下可以认为“是否为‘网购达人’与性别有关”.‎ 点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释． ‎ ‎19．已知三棱锥，底面为边长为2的正三角形，侧棱,‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】分析：（1）取AC的中点为O，由题意可证得SO⊥AC，OB⊥AC，由线面垂直的判断定理可得AC⊥平面SOB，则AC⊥SB；‎ ‎（2）由（1）可知△ASC为直角三角形，由几何关系可证得SO⊥平面ABC，转化顶点利用体积相等可求得求点到平面的距离为.‎ 详解：（1）取AC的中点为O，∵SA=SC∴SO⊥AC AB=BC，∴OB⊥AC，‎ 又∵SO与OB相交于O，OS⊂平面SOB OB⊂平面SOB，‎ ‎∴AC⊥平面SOB 又∵SB⊂平面SOB，‎ ‎∴AC⊥SB；‎ ‎（2）由（1）可知，SA=SC=，AC=2，∴△ASC为Rt△，‎ ‎∴SO=1 在正三角形ABC中，OB= ， SB=2 ， SO2+OB2=SB2，‎ ‎∴SO⊥OB∴SO⊥平面ABC，‎ VS﹣ABC=，‎ S△SBC=，‎ ‎∵VS﹣ABC=VA﹣SBC ，h=.‎ 点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理，棱锥的体积公式及其应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎20．已知椭圆C：的离心率为，且过点P（3，2）．‎ ‎（1）求椭圆C`的标准方程；‎ ‎（2）设与直线OP（O为坐标原点）平行的直线交椭圆C于A，B两点，求证：直线PA，PB与轴围成一个等腰三角形．‎ ‎【答案】(1);(2)见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）由题意可得a2=18，b=3．则椭圆C的标准方程为：.‎ ‎（2）设直线l的方程为2x﹣3y+t=0（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入椭圆方程得：8x2+4tx+t2﹣72=0，结合韦达定理计算可得kAP+kBP=0，则kAP=﹣kBP，即直线PA，PB与轴围成一个等腰三角形．‎ 详解：（1）由题意可得：，=1，a2=b2+c2，联立解得：a2=18，b=3．‎ ‎∴椭圆C的标准方程为：．‎ ‎（2）设直线l的方程为2x﹣3y+t=0（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 将直线方程代入椭圆方程得：8x2+4tx+t2﹣72=0，‎ ‎△＞0⇒0＜|t|＜12，‎ ‎∴，，‎ ‎∵kAP+kBP=+=，‎ ‎∴分子=（x2﹣3）+‎ ‎=+（x1+x2）﹣2t+12=+﹣2t+12=0，‎ ‎∴kAP+kBP=0，∴kAP=﹣kBP，∴直线PA、PB与x轴所成的锐角相等，故围成等腰三角形．‎ 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：‎ ‎(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎ ‎21．已知函数在x=1处取得极值2．‎ ‎（1）求f(x)的解析式；‎ ‎（2）设函数 ，若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】分析：（1）求导可得，由题意可得,，解得，，经检验符合题意，则函数的解析式为.‎ ‎（2）结合(1)的结论可得在上最小值为，则，函数的定义域为，，分类讨论：①当时，符合题意；②当时，函数单调递减，函数最小值为，满足题意；③当时，明显不合题意，综上所述，的取值范围为.‎ 详解：（1），‎ 因为在处取到极值为2，所以,，‎ ‎，解得，，‎ 经检验，此时在处取得极值．故.‎ ‎（2）由（1）所以在上单调递增，‎ 所以在上最小值为所以在上最小值为，‎ 依题意有，‎ 函数的定义域为，，‎ ‎①当时，，函数在上单调递增，其最小值为，合题意；‎ ‎②当时，函数在上有，单调递减，‎ 在上有，单调递增，‎ 所以函数最小值为，‎ 解不等式，得到 从而知符合题意.‎ ‎③当时，显然函数在上单调递减，其最小值为，舍去.‎ 综上所述，的取值范围为.‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎22．以直角坐标系的原点为极点， 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，（ 为参数， ），曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于， 两点，当变化时，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）2‎ ‎【解析】试题分析：（1）本问考查极坐标与直角坐标互化公式，根据可得，所以曲线C的直角坐标方程为 ；（2‎ ‎）本问考查直线参数方程标准形式下的几何意义，即将直线参数方程的标准形式，代入到曲线C的直角坐标方程，得到关于t的一元二次方程，设两点对应的参数分别为，列出， ， ，于是可以求出的最小值.‎ 试题解析：（I）由由，得 曲线 的直角坐标方程为 ‎（II）将直线的参数方程代入，得 设两点对应的参数分别为则， ，‎ ‎ ‎ 当时， 的最小值为2.‎ ‎【考点】1.极坐标方程；2.参数方程.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）若，使得成立，求的范围；‎ ‎（2）求不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）本问考查不等式有解问题，若，使得成立，则转化为，可以转化为分段函数求的最小值，也可以根据绝对值三角不等式求最小值；（2）本问考查绝对值不等式的解法，分区间进行讨论，分别求出，，，不等式的解集，然后取并集即可.‎ 试题解析：（I）‎ 当 所以 ∴ ‎ ‎（II）即≥由（I）可知，‎ 当的解集为空集；‎ 当时，即，；‎ 当时，即，；‎ 综上，原不等式的解集为 ‎【考点】1.不等式有解问题；2.绝对值不等式的解法.‎