2018届高三数学一轮复习： 第2章 第1节 函数及其表示

2018届高三数学一轮复习： 第2章 第1节 函数及其表示

第二章　函数、导数及其应用 [深研高考·备考导航]　为教师授课、学生学习提供丰富备考资源 [五年考情] [重点关注] 1．从近五年全国卷高考试题来看，函数、导数及其应用是每年高考命题的 重点与热点，既有客观题，又有解答题，中高档难度． 2．函数的概念、图象及其性质是高考考查的主要内容，函数的定义域、解 析式、图象是高考考查的重点，函数性质与其他知识的综合是历年高考的热 点． 3．导数的几何意义，导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等 方面的应用是高考的重点与热点． 4．本章内容集中体现了四大数学思想：函数与方程、数形结合、分类讨论、 转化与化归的思想，且常与方程、不等式、导数等知识交汇命题，体现了综合与 创新． [导学心语] 1．注重基础：对函数的概念、图象、性质(单调性、奇偶性、周期性)、导 数的几何意义、导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应用， 要熟练掌握并灵活应用. 2．加强交汇，强化综合应用意识：在知识的交汇点处命制试题，已成为高 考的一大亮点，函数的观点和方法贯穿于高中数学的全过程，因此，应加强函数 与三角函数、数列、不等式、解析几何、导数等各章节之间的联系． 3．把握思想：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想和等价转化 思想在解决各种与函数有关的问题中均有应用，复习时应引起足够重视． 第一节　函数及其表示 [考纲传真]　1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域； 了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、 列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超 过三段)． 1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A， B 设 A，B 是两个非空的数集 设 A，B 是两个非空的集合 对应关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系 f， 使对于集合 A 中的任意一个数 x， 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应 如果按某一个确定的对应关系 f， 使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元 素 y 与之对应 名称 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 记法 函数 y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，自变量 x 的取值范围(数集 A)叫做函数的定义域； 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这 两个函数为相等函数． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的 式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数 的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．(　　) (2)函数 y＝1 与 y＝x0 是同一个函数．(　　) (3)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．(　　) (4)分段函数是两个或多个函数．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改编)函数 y＝ 2x－3＋ 1 x－3 的定义域为(　　) A.[ 3 2 ，＋∞)　　　　　 B.(－∞，3)∪(3，＋∞) C.[ 3 2 ，3)∪(3，＋∞) D.(3，＋∞) C　[由题意知Error! 解得 x≥3 2 且 x≠3.] 3．(2017·东北三省四市二联)已知函数 f(x)＝Error!则 f(f( 1 25 ))＝(　　) A．4　　　 B.1 4 　　 C.－4　　　 D.－1 4 B　[∵f( 1 25 )＝log5 1 25 ＝log55－2＝－2， ∴f(f( 1 25 ))＝f(－2)＝2－2＝1 4 ，故选 B.] 4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则 a＝ ________. －2　[∵f(x)＝ax3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得 a＝－2.] 5．给出下列四个命题： ①函数是其定义域到值域的映射； ②f(x)＝ x－3＋ 2－x是一个函数； ③函数 y＝2x(x∈N)的图象是一条直线； ④f(x)＝lg x2 与 g(x)＝2lg x 是同一个函数． 其中正确命题的序号是________． 【导学号：01772018】 ①　[由函数的定义知①正确． ∵满足Error!的 x 不存在，∴②不正确． ∵y＝2x(x∈N)的图象是位于直线 y＝2x 上的一群孤立的点，∴③不正确． ∵f(x)与 g(x)的定义域不同，∴④也不正确．] 求函数的定义 域 　(1)(2016·江苏高考)函数 y＝ 3－2x－x2的定义域是________． (2)(2017·郑州模拟)若函数 y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数 g(x)＝f(2x) x－1 的定义 域是________． (1)[－3,1]　(2)[0,1)　[(1)要使函数有意义，需 3－2x－x2≥0，即 x2＋2x－3≤0， 得(x－1)(x＋3)≤0，即－3≤x≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]． (2)由 0≤2x≤2，得 0≤x≤1，又 x－1≠0，即 x≠1， 所以 0≤x<1，即 g(x)的定义域为[0,1)．] [规律方法]　1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不 等式(组)求解． 2．(1)若已知 f(x)的定义域为[a，b]，则 f(g(x))的定义域可由 a≤g(x)≤b 求出； (2)若已知 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]时的 值域． [变式训练 1]　(1)函数 f(x)＝ 1－2x＋ 1 x＋3 的定义域为(　　) A．(－3,0]　　　　　 B.(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－3,0] D.(－∞，－3)∪(－3,1] (2)已知函数 f(2x)的定义域为[－1,1]，则 f(x)的定义域为________. 【导学号：01772019】 (1)A　(2)[ 1 2 ，2]　[(1)由题意，自变量 x 应满足Error!解得Error!∴－3＜ x≤0. (2)∵f(2x)的定义域为[－1,1]， ∴1 2 ≤2x≤2，即 f(x)的定义域为[ 1 2 ，2].] 求函数的解析 式 　(1)已知 f( 2 x ＋1)＝lg x，求 f(x)的解析式． (2)已知 f(x)是二次函数且 f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求 f(x)的解析式． (3)已知 f(x)＋2f( 1 x )＝x(x≠0)，求 f(x)的解析式． [解]　(1)令2 x ＋1＝t，由于 x＞0，∴t＞1 且 x＝ 2 t－1 ， ∴f(t)＝lg 2 t－1 ，即 f(x)＝lg 2 x－1(x＞1)． (2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由 f(0)＝2，得 c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋ b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即 2ax＋a＋b＝x－1， ∴Error!即Error!∴f(x)＝1 2x2－3 2x＋2. (3)∵f(x)＋2f( 1 x )＝x，∴f( 1 x )＋2f(x)＝1 x. 联立方程组Error! 解得 f(x)＝ 2 3x －x 3(x≠0)． [规律方法]　求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的 取值范围； (3)构造法：已知关于 f(x)与 f ( 1 x )或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构 造出另外一个等式，通过解方程组求出 f(x)； (4)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式， 然后以 x 替代 g(x)，即得 f(x)的表达式． [变式训练 2]　(1)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，则 f(x)＝________. (2)已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f(x)＝2·f ( 1 x )· x－1，则 f(x)＝ ________. (1)x2－1(x≥1)　(2)2 3 x＋1 3(x＞0)　[(1)(换元法)设 x＋1＝t(t≥1)，则 x＝t －1， 所以 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)， 所以 f(x)＝x2－1(x≥1)． (配凑法)f( x＋1)＝x＋2 x＝( x＋1)2－1， 又 x＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)在 f(x)＝2f( 1 x )· x－1 中，用1 x 代替 x， 得 f( 1 x )＝2f(x)· 1 x －1， 由Error! 得 f(x)＝2 3 x＋1 3(x＞0)．] 分段函数及其应用 ☞角度 1　求分段函数的函数值 　(1)(2015·全国卷Ⅱ)设函数 f(x)＝Error!则 f(－2)＋f(log212)＝(　　) A．3 B.6 C．9 D.12 (2)(2017·东北三省四市一联)已知函数 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，如果 f(x ＋2 016)＝Error!那么 f(2 016＋π 4)·f(－7 984)＝(　　) 【导学号：01772020】 A．2 016　　　 B.1 4 C.4　　　 D. 1 2 016 (1)C　(2)C　(1)∵－2<1， ∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3. ∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝12 2 ＝6. ∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选 C. (2)当 x≥0 时，有 f(x＋2 016)＝ 2sin x，∴f(2 016＋π 4)＝ 2sinπ 4 ＝1；当 x＜0 时，f(x＋2 016)＝lg(－x)，∴f(－7 984)＝f(－10 000＋2 016)＝lg 10 000＝4，∴f (2 016＋π 4)·f(－7 984)＝1×4＝4，故选 C.] ☞角度 2　已知分段函数的函数值求参数 　(1)(2017·成都二诊)已知函数 f(x)＝Error!若 f(f(－1))＝2，则实数 m 的值为(　　) A．1 B.1 或－1 C. 3 D. 3或－ 3 (2)设函数 f(x)＝Error!若 f(f( 5 6 ))＝4，则 b＝(　　) A．1　　　 B.7 8 C.3 4 　　　 D.1 2 (1)D　(2)D　[(1)f(f(－1))＝f(1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得 m＝ ± 3，故选 D. (2)f( 5 6 )＝3×5 6 －b＝5 2 －b，若5 2 －b<1，即 b>3 2 ，则 3×( 5 2 －b)－b＝15 2 －4b＝ 4，解得 b＝7 8 ，不符合题意，舍去；若5 2 －b≥1，即 b≤3 2 ，则 25 2 －b＝4，解得 b＝ 1 2.] ☞角度 3　解与分段函数有关的方程或不等式 　(1)(2017·石家庄一模)已知函数 f(x)＝Error!且 f(x)＝－1 2 ， 则 x 的值为________． (2)(2014·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝Error!则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围 是________． (1)－1 3 　(2)(－∞，8]　[(1)当－1＜x≤0 时，f(x)＝sinπx 2 ＝－1 2 ，解得 x＝－1 3 ； 当 0＜x＜1 时，f(x)＝log2(x＋1)∈(0,1)，此时 f(x)＝－1 2 无解，故 x 的值为－1 3. (2)当 x<1 时，x－1<0，ex－1

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