【导与练】2017届高三数学（文）二轮复习（全国通用）专题突破 专题四　数列 第2讲　数列求和及简单应用

【导与练】2017届高三数学（文）二轮复习（全国通用）专题突破 专题四　数列 第2讲　数列求和及简单应用

www.ks5u.com 第2讲　数列求和及简单应用 ‎(限时:45分钟)‎ ‎【选题明细表】‎ 知识点、方法 题号 求数列的通项公式、递推求和 ‎1,4,7,9,12‎ 公式法、分组求和法求和 ‎3,4,6,7,11‎ 裂项相消法求和、并项求和 ‎2,5,8‎ 错位相减法求和 ‎9‎ 数列的综合应用 ‎10,13‎ 重点把关 ‎1.(2016·河北石家庄二模)已知数列{an}满足an+2=an+1-an,且a1=2,‎ a2=3,Sn为数列{an}的前n项和,则S2 016的值为(　A　)‎ ‎(A)0 (B)2 (C)5 (D)6‎ 解析:依题意,a1=2,a2=3,‎ a3=a2-a1=3-2=1,‎ a4=a3-a2=1-3=-2,‎ a5=a4-a3=-2-1=-3,‎ a6=a5-a4=-3-(-2)=-1,‎ a7=a6-a5=-1-(-3)=2,‎ a8=a7-a6=2-(-1)=3,‎ ‎…‎ 所以数列{an}是周期为6的周期数列,‎ 又因为2 016=6×336,‎ 所以S2 016=(2+3+1-2-3-1)×336=0,‎ 故选A.‎ ‎2.(2016·安徽淮南一模)数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2 016等于(　B　)‎ ‎(A)2 016 (B)1 008 (C)504 (D)0‎ 解析:因为an=ncos,‎ 所以a2k-1=(2k-1)cos=0,k∈N*.‎ a2k=2kcos kπ=2k(-1)k.‎ 则S2 016=a2+a4+…+a2 016‎ ‎=2[(-1+2)+(-3+4)+…+(-1 007+1 008)]‎ ‎=1 008,‎ 故选B.‎ ‎3.(2016·安徽淮南二模)已知数列{an}满足:an+1+2an=0,且a2=2,则{an}的前10项和等于(　B　)‎ ‎(A) (B)- ‎(C)210-1 (D)1-210‎ 解析:因为an+1+2an=0,‎ 所以数列{an}是公比为-2的等比数列,‎ 又因为a2=2,‎ 所以a1=(0-a2)=-1,‎ 所以所求值为=-,故选B.‎ ‎4.(2016·江西鹰潭一模)已知数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an+1-an==‎ ‎2,n∈N*,则数列{}的前10项和为(　A　)‎ ‎(A)(410-1) (B)(410-1)‎ ‎(C)(49-1) (D)(49-1)‎ 解析:因为an+1-an==2,‎ 所以数列{an}是等差数列,且公差是2,{bn}是等比数列,且公比是2.‎ 又因为a1=1,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.‎ 所以=b2n-1=b1·22n-2=22n-2.‎ 设cn=,所以cn=,‎ 所以=4,‎ 所以数列{cn}是等比数列,且公比为4,首项为1.‎ 由等比数列的前n项和公式得,‎ 其前10项的和为=(410-1).‎ 故选A.‎ ‎5.(2016·北京东城区一模)已知数列{an}的前n项和Sn=1-5+9-13+‎ ‎17-21+…+(-1)n-1(4n-3),则S11等于(　D　)‎ ‎(A)-21 (B)-19 (C)19 (D)21‎ 解析:S11=1-5+9-13+17-21+…+33-37+41,‎ ‎=(1-5)+(9-13)+(17-21)+…+(33-37)+41,‎ ‎=(-4)×5+41=21,‎ 故选D.‎ ‎6.(2016·安徽宿州一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2=‎ ‎2an+1-an,a5=4-a3,则S7的值为(　D　)‎ ‎(A)7 (B)21 (C)22 (D)14‎ 解析:由an+2=2an+1-an得,‎ an+2+an=2an+1,‎ 所以数列{an}是等差数列,‎ 又a5=4-a3,则a5+a3=4,‎ 所以S7===14,故选D.‎ ‎7.(2016·广西来宾调研)若数列{an}的前n项和为Sn对任意正整数n都有Sn=2an-1,则S6等于　　　　. ‎ 解析:因为Sn=2an-1,‎ 所以n≥2时,‎ an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1.‎ 所以an=2an-1;‎ 当n=1时,S1=a1=2a1-1,解得a1=1,‎ 所以{an}是首项为1,公比为2的等比数列,‎ 所以S6==63.‎ 答案:63‎ ‎8.(2016·广西河池市适应性测试)已知数列{}的前n项和Sn=n2,则数列{}的前n项和Tn=　　　　. ‎ 解析:因为== 所以=2n-1,‎ 所以==(-),‎ 所以Tn=(1-+-+…+-)=(1-)=.‎ 答案: ‎9.(2016·天津三模)在数列{an}中,an>0,其前n项和Sn满足-(n2+‎ ‎2n-1)Sn-(n2+2n)=0.‎ ‎(1)求{an}的通项公式an;‎ ‎(2)若bn=,求b2+b4+…+b2n.‎ 解:(1)由-(n2+2n-1)Sn-(n2+2n)=0,‎ 得[Sn-(n2+2n)](Sn+1)=0,‎ 由an>0,可知Sn>0,故Sn=n2+2n.‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1;‎ 当n=1时,a1=S1=3,符合上式,‎ 则数列{an}的通项公式为an=2n+1.‎ ‎(2)依题意,bn===,‎ 则b2n==(n-1)·()n-1,‎ 设Tn=b2+b4+…+b2n,‎ 故Tn=0++++…+,‎ ‎4Tn=1+++…+.‎ 两式相减,得 ‎3Tn=1+++…+- ‎=- ‎=(4-),‎ 故Tn=(4-).‎ 能力提升 ‎10.(2016·山西太原三模)已知Sn,Tn分别为数列{}与{}的前n项和,若Sn>T10+1 013,则n的最小值为(　B　)‎ ‎(A)1 023 (B)1 024 (C)1 025 (D)1 026‎ 解析:因为==1+=1+-,‎ 所以Sn=1+1-+1+-+…+1+- ‎=n+1-,‎ 因为=1+,‎ 所以T10=1++1++…+1+ ‎=10+ ‎=11-,‎ 因为Sn>T10+1 013,‎ 所以n+1->11-+1 013=1 024-,‎ 而1 025->1 024-,‎ ‎1 024-=1 024-.‎ 故n的最小值为1 024,‎ 故选B.‎ ‎11.(2016·福建“四地六校”联考)在数列{an}中,a1=1,an+2+(-1)nan=1.记Sn是数列{an}的前n项和,则S200=　　　　. ‎ 解析:当n为奇数时,an+2-an=1,‎ 得数列{an}的奇数项组成首项为1、公差为1的等差数列,‎ 故a1+a3+…+a199=100×1+×1=5 050;‎ 当n为偶数时,an+2+an=1,‎ 故a2+a4+a6+…+a200=50.‎ 所以S200=5 050+50=5 100.‎ 答案:5 100‎ ‎12.(2016·湖南长沙一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=4Sn-1(n∈N*).‎ ‎(1)证明:an+2-an=4;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)证明:因为anan+1=4Sn-1,‎ 所以an+1an+2=3Sn+1-1,‎ 所以an+1an+2-anan+1=4an+1,‎ 因为an+1≠0,‎ 所以an+2-an=4.‎ ‎(2)解:当n=1时,a1a2=4a1-1,‎ 因为a1=1,‎ 所以a2=3,‎ 由an+2-an=4,可知数列{an}的奇数项与偶数项分别为等差数列,公差为4,首项分别为1,3.‎ 所以当n=2k-1(k∈N*)时,‎ an=a2k-1=1+4(k-1)=4k-3=2n-1;‎ 当n=2k(k∈N*)时,‎ an=a2k=3+4(k-1)=4k-1=2n-1.‎ 所以an=2n-1.‎ 创新选做 ‎13.(2016·山东德州一模)已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=2,Sn为其前n项和,若5S1,S3,3S2成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=log2an,cn=,记数列{cn}的前n项和为Tn,若对于任意的n∈N*,Tn≤λ(n+4)恒成立,求实数λ的取值范围.‎ 解:(1)设{an}的公比为q,‎ 因为5S1,S3,3S2成等差数列,‎ 所以2S3=5S1+3S2,‎ 即2(a1+a1q+a1q2)=5a1+3(a1+a1q), ‎ 化简得2q2-q-6=0,‎ 解得q=2或q=-.‎ 由已知,q=2,所以an=2n.‎ ‎(2)由bn=log2an得bn=log22n=n.‎ 所以cn===2(-).‎ 所以Tn=2(1-+-+…+-)‎ ‎=2(1-).‎ 所以Tn≤λ(n+4)⇔λ≥=,‎ 因为n++5≥2+5=9,‎ 当且仅当n=即n=2时等号成立,‎ 所以≤.‎ 所以实数λ的取值范围是[,+∞).‎