2019届高三数学课标一轮复习单元质检 二函数

2019届高三数学课标一轮复习单元质检 二函数

单元质检二　函数 ‎(时间:120分钟　满分:150分)‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.函数y=‎1‎‎3x-2‎+lg(2x-1)的定义域是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎2‎‎3‎‎,+∞‎ B.‎‎1‎‎2‎‎,+∞‎ C.‎2‎‎3‎‎,+∞‎ D.‎‎1‎‎2‎‎,‎‎2‎‎3‎ ‎2.(2017安徽淮北二模)已知函数f(x)=mlog‎2 017‎x+3sinx,x>0,‎log‎2 017‎(-x)+nsinx,x<0‎为偶函数,则m-n=(　　)‎ A.4 B.2 C.-2 D.-4‎ ‎3.(2017浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)=ln|x|,g(x)=-x2+3,则f(x)·g(x)的图象为(　　)‎ ‎4.(2017河北衡水六调)已知f(x)是奇函数,且f(2-x)=f(x),当x∈[2,3]时,f(x)=log2(x-1),则f‎1‎‎3‎=(　　)‎ A.2-log23 B.log23-log27‎ C.log27-log23 D.log23-2‎ ‎5.(2017甘肃肃南期末)给出定义:若m-‎1‎‎2‎0,则(　　)‎ A.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)‎ B.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)‎ C.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)‎ D.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)‎ ‎10.(2017浙江宁波大学)已知函数f(x)=x+‎2bx+a,x∈[a,+∞),其中a>0,b∈R,记m(a,b)为f(x)的最小值,则当m(a,b)=2时,b的取值范围为(　　)‎ A.b>‎1‎‎3‎ B.b<‎1‎‎3‎ C.b>‎1‎‎2‎ D.b<‎‎1‎‎2‎ 二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)‎ ‎11.(2017浙江温州九校联考)已知函数f(x)=log‎3‎x,x>0,‎x‎2‎‎+2x,x≤0,‎则ff‎1‎‎3‎=　　　　　,函数y=f(x)的零点是　　　　　. ‎ ‎12.(2017浙江杭州联考)若a=‎3‎‎1‎‎3‎,b=log43,则log3a=　　　　　,a与b的大小关系是　　　　　. ‎ ‎13.(2017浙江温州模拟)设f(x)=‎2ex-1‎,x<2,‎log‎3‎(x‎2‎-1),x≥2,‎则f(f(1))=　　　　　,不等式f(x)>2的解集为　　　　　　　　　　. ‎ ‎14.(2017浙江绍兴期中)若f(x)是定义在R上的奇函数,且x>0时,f(x)=x2,则x<0时,f(x)=　　　　　,若对任意的x∈[t,t+2],f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是　　　　　. ‎ ‎15.(2017浙江绍兴二模改编)已知f(x)是定义在R上的单调递增函数,则下列四个命题:①若f(x0)>x0,则f[f(x0)]x0,则f(x0)>x0;③若f(x)是奇函数,则f[f(x)]也是奇函数;④若f(x)是奇函数,则f(x1)+f(x2)=0⇔x1+x2=0,其中正确的有　　　　　. ‎ ‎16.设函数f(x)=x2+mx+‎3‎‎4‎(m∈R),若任意的x0∈R,f(x0),f(x0+1)至少有一个为非负值,则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　. ‎ ‎17.(2017浙江温州模拟)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)在区间[0,1]上有零点,则ab的最大值是　　　　　. ‎ 三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎18.(14分)函数f(x)=log2(4x)·log2(2x),‎1‎‎4‎≤x≤4.‎ ‎(1)若t=log2x,求t的取值范围;‎ ‎(2)求f(x)的最值,并给出取最值时对应的x的值.‎ ‎19.(15分)(2017浙江杭州联考)已知函数f(x)=|x2-1|+x2-kx.‎ ‎(1)若k=2时,求出函数f(x)的单调区间及最小值;‎ ‎(2)若f(x)≥0恒成立,求实数k的取值范围.‎ ‎20.(15分)某校学生研究性学习小组发现,学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化,老师讲课开始时,学生的兴趣激增;接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间,随后学生的注意力开始分散.设f(t)表示学生注意力指标,该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大,‎ 表明学生注意力越集中)如下:f(t)=‎100at‎10‎-60(00,a≠1),若上课后第5分钟时的注意力指标为140,回答下列问题:‎ ‎(1)求a的值.‎ ‎(2)上课后第5分钟时和下课前第5分钟比较,哪个时间注意力更集中?‎ ‎(3)在一节课中,学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长?‎ ‎21.(15分)(2017浙江温州模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),对任意实数x,不等式2x≤f(x)≤‎1‎‎2‎(x+1)2恒成立,‎ ‎(1)求f(-1)的取值范围;‎ ‎(2)对任意x1,x2∈[-3,-1],恒有|f(x1)-f(x2)|≤1,求实数a的取值范围.‎ ‎22.(15分)已知f(x)=‎x‎2‎‎+ax+1-a(x≥0),‎f(x+2)(x<0).‎ ‎(1)若a=-8,求当-6≤x≤5时,|f(x)|的最大值;‎ ‎(2)对于任意实数x1(x1≤3),存在x2(x2≠x1),使得f(x2)=f(x1),求实数a的取值范围.‎ 答案：‎ ‎1.C　由‎3x-2>0,‎‎2x-1>0,‎得x>‎2‎‎3‎,故选C.‎ ‎2.A　因为f(-x)=mlog‎2 017‎(-x)-3sinx,x<0,‎log‎2 017‎x-nsinx,x>0,‎所以m=1,n=-3,m-n=4,选A.‎ ‎3.C　由f(x)·g(x)为偶函数,排除A,D,当x=e时,f(x)·g(x)=-e2+3<0,排除B.‎ ‎4.D　因为f(x)是奇函数,且f(2-x)=f(x),‎ 所以f(x-2)=-f(x),∴f(x+4)=f(x),‎ 所以f‎1‎‎3‎=f‎2-‎‎1‎‎3‎=f‎5‎‎3‎=-f‎4-‎‎5‎‎3‎=-f‎7‎‎3‎,又当x∈[2,3]时,‎ f(x)=log2(x-1),所以f‎7‎‎3‎=log2‎7‎‎3‎‎-1‎=log2‎4‎‎3‎=2-log23,‎ 所以f‎1‎‎3‎=log23-2,故选D.‎ ‎5.B　f‎-‎‎1‎‎2‎=-‎1‎‎2‎-(-1)=‎1‎‎2‎;f‎-‎‎1‎‎4‎=-‎1‎‎4‎-0=-‎1‎‎4‎,f‎1‎‎4‎‎=‎‎1‎‎4‎-0=‎1‎‎4‎,所以f‎-‎‎1‎‎4‎log24.1>2,1<20.8<2,‎ 据此:log25>log24.1>20.8,结合函数的单调性有:f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),‎ 即a>b>c,c0,得函数f(x)=ln‎1+x‎1-x+sin x的定义域为(-1,1),且f(-x)+f(x)=0,所以函数f(x)=ln‎1+x‎1-x+sin x为奇函数.又f(x)=ln‎-1-‎‎2‎x-1‎+sin x在(-1,1)上为增函数,则f(a-2)+f(a2-4)<0可化为f(a2-4)<-f(a-2)=f(2-a),则‎-10,f(x)在x∈[a,+∞)递增,可得f(a)取得最小值,‎ 且为2a+‎2ba,由题意可得2a+‎2ba=2,a>0,b≤0方程有解;‎ 当b>0时,由f'(x)=1-‎2bx‎2‎=0,可得x=‎2b(负的舍去),‎ 当a‎≥‎‎2b时,f'(x)>0,f(x)在[a,+∞)递增,可得f(a)为最小值,‎ 且有2a+‎2ba=2,a>0,b>0,方程有解;‎ 当a<‎2b时,f(x)在[a,‎2b)递减,在(‎2b,+∞)递增,‎ 可得f(‎2b)为最小值,且有a+2‎2b=2,即a=2-2‎2b>0,解得00,‎x‎2‎‎+2x,x≤0,‎ ‎∴f‎1‎‎3‎=log3‎1‎‎3‎=-1,ff‎1‎‎3‎=f(-1)=(-1)2+2×(-1)=-1.‎ 当x>0时,y=f(x)=log3x,由y=0,解得x=1,‎ 当x≤0时,y=f(x)=x2+2x,由y=0,得x=-2或x=0.‎ ‎∴函数y=f(x)的零点是-2,1,0.‎ ‎12‎.‎‎1‎‎3‎　a>b　log3a=log3‎3‎‎1‎‎3‎‎=‎‎1‎‎3‎;因为a=‎3‎‎1‎‎3‎>1,b=log43<1,所以a>b.‎ ‎13.1　(1,2)∪(‎10‎,+∞)　因为f(1)=2e0=2,所以f(f(1))=f(2)=log3(4-1)=1;当x<2时,2ex-1>2⇒ex-1>1⇒x>1,则12⇒x2-1>9,即x2>10⇒x>‎10‎;综上不等式的解集是(1,2)∪(‎10‎,+∞).故应填答案1,(1,2)∪(‎10‎,+∞).‎ ‎14.-x2　[‎2‎,+∞)　∵f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2,‎ ‎∴当x<0,有-x>0,f(-x)=(-x)2,‎ ‎∴f(x)=-f(-x)=-x2.‎ ‎∴f(x)=x‎2‎‎,x>0,‎‎-x‎2‎,x<0,‎‎∴‎f(x)在R上是单调递增函数,‎ 且满足2f(x)=f(‎2‎x),f(x+t)≥2f(x)=f(‎2‎x),‎ 又∵函数在定义域R上是增函数,‎ 故问题等价于当x∈[t,t+2]时,‎ x+t‎≥‎‎2‎x恒成立⇔(‎2‎-1)x-t≤0恒成立,‎ 令g(x)=(‎2‎-1)x-t,g(x)max=g(t+2)≤0,‎ 解得t‎≥‎2‎.∴‎t的取值范围为t‎≥‎‎2‎,‎ 故答案为:-x2;[‎2‎,+∞).‎ ‎15.②③④　对于①,∵f(x)是定义在R上的单调递增函数,若f(x0)>x0,则f[f(x0)]>f(x0)>x0,故①不正确;‎ 对于②,当f[f(x0)]>x0时,若f(x0)≤x0,由f(x)是定义在R上的单调递增函数得f[f(x0)]≤f(x0)≤x0与已知矛盾,故②正确;‎ 对于③,若f(x)是奇函数,则f[f(-x)]=f[-f(x)]=-f[f(-x)],∴f[f(x)]也是奇函数,故③正确;‎ 对于④,当f(x)是奇函数,且是定义在R上的单调递增函数时,若f(x1)+f(x2)=0,则f(x1)=-f(x2)⇒x1=-x2⇒x1+x2=0;‎ 若x1+x2=0⇒x1=-x2⇒f(x1)=f(-x2)=-f(x2)⇒f(x1)+f(x2)=0,故④正确.‎ ‎16.{m|-2≤m≤2}　∵f(x0+1)-f(x0)=2x0+m+1,‎ ‎∴当2x0+m+1≥0,即x0≥-m+1‎‎2‎时,f(x0+1)≥f(x0).f(x0+1)=(x0+1)2+m(x0+1)+‎3‎‎4‎‎=‎x‎0‎‎2‎+(m+2)x0+‎7‎‎4‎+m,∵-m+1‎‎2‎>-m+2‎‎2‎,∴f(x0+1)min=‎-‎m+1‎‎2‎‎2‎+(m+2)‎·‎-‎m+1‎‎2‎+‎‎7‎‎4‎+m=‎4-‎m‎2‎‎4‎‎≥‎0.∴m2≤4.解得-2≤m≤2.‎ ‎17‎.‎‎1‎‎4‎　∵函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)在区间[0,1]上有零点,‎ ‎∴Δ=a2-4b≥0,‎ ‎(1)若Δ=0,即b=a‎2‎‎4‎时,f(x)的零点为x=-a‎2‎,‎ ‎∴0≤-a‎2‎‎≤‎1,即-2≤a≤0,∴ab=a‎3‎‎4‎,‎ ‎∴当a=0时,ab取得最大值0.‎ ‎(2)若Δ>0,即b0,‎f(0)=b≥0,‎f(1)=1+a+b≥0,‎‎0≤-a‎2‎≤1,‎即a‎2‎‎>4b,‎b≥0,‎a+b≥-1,‎‎-2≤a≤0,‎ 显然ab≤0,综上,ab的最大值为‎1‎‎4‎‎.‎ ‎18.解 (1)∵t=log2x,‎1‎‎4‎‎≤‎x≤4,∴log2‎1‎‎4‎‎≤‎t≤log24,即-2≤t≤2.‎ ‎(2)f(x)=(log2x)2+3log2x+2,‎ 令t=log2x,则y=t2+3t+2=t+‎‎3‎‎2‎‎2‎‎-‎‎1‎‎4‎,‎ 当t=-‎3‎‎2‎,即log2x=-‎3‎‎2‎,x=‎2‎‎-‎‎3‎‎2‎时,f(x)min=-‎‎1‎‎4‎‎.‎ 当t=2,即x=4时,f(x)max=12.‎ ‎19.解 (1)k=2时,f(x)=‎‎2x‎2‎-2x-1,x>1或x<-1,‎‎1-2x,-1≤x≤1.‎ 所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,f(x)min=f(1)=-1.‎ ‎(2)f(x)=‎‎2x‎2‎-kx-1,x<-1或x>1,‎‎1-kx,-1≤x≤1.‎ 当-1≤x≤1时,由f(x)≥0恒成立得-1≤k≤1;‎ 当x>1时,由f(x)≥0恒成立得k≤2x-‎1‎x恒成立,解得k≤1;‎ 当x<-1时,由f(x)≥0恒成立得k≥2x-‎1‎x恒成立,解得k≥-1.‎ 综上,-1≤k≤1.‎ ‎20.解 (1)当t=5时,f(5)=100a‎5‎‎10‎-60=140,‎ 解得a=4.‎ ‎(2)f(5)=140,f(35)=115,所以,上课开始后第5分钟学生的注意力比下课前第5分钟注意力更集中.‎ ‎(3)当00,‎‎(b-2‎)‎‎2‎-4ac≤0,‎由a+b+c=2,∴a=c,b=2-2a.‎ 此时f(x)-‎1‎‎2‎(x+1)2=a-‎‎1‎‎2‎(x-1)2,∵对任意实数x都有f(x)‎≤‎‎1‎‎2‎(x+1)2成立,‎ ‎∴03,即a<-6时,‎ 取x2=-a-x1>3,‎ 必有f(x2)=f(x1),符合题意.‎ 综上所述,实数a的取值范围是{a|a<-6或-4

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