2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章 7 第7讲 函数的图象
第7讲 函数的图象
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)；
②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)；
④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(x＞0)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|．
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x)
→
y＝f(ax)．
②y＝f(x)
→
y＝af(x)．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( )
(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．( )
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．( )
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．( )
(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
[教材衍化]
1．(必修1P35例5改编)函数f(x)＝x＋的图象关于( )
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
解析：选C.函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.
2．(必修1P36练习T2改编)已知图①中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|)
解析：选C.因为图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得来的，所以图②中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|)．故选C.
3.(必修1P75A组T10改编)如图，函数f(x) 的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．
解析：在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1，1]．
答案：(－1，1]
[易错纠偏]
(1)函数图象的平移、伸缩法则记混出错；
(2)不注意函数的定义域出错．
1．设f(x)＝2－x，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称，h(x)的图象由g(x)的图象向右平移1个单位得到，则h(x)＝________．
解析：与f(x)的图象关于直线y＝x对称的图象所对应的函数为g(x)＝－log2x，再将其图象右移1个单位得到h(x)＝－log2(x－1)的图象．
答案：－log2(x－1)
2．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．
解析：当f(x)＞0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)＞0时，x∈(2，8]．
答案：(2，8]
作函数的图象
分别作出下列函数的图象．
(1)y＝2x＋2；
(2)y＝|lg x|；
(3)y＝.
【解】 (1)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图所示．
(2)y＝图象如图所示．
(3)因为y＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y＝的图象，图象如图所示．
(变条件)将本例(3)的函数变为“y＝”，函数的图象如何？
解：y＝＝1－，该函数图象可由函数y＝－向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．
函数图象的画法
分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|x－2|(x＋1)；
(2)y＝；
(3)y＝log2|x－1|.
解：(1)当x≥2，即x－2≥0时，
y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝－；
当x<2，即x－2<0时，
y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－＋.
所以y＝
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．
(2)作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，加上y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图中实线部分．
(3)作y＝log2|x|的图象，再将图象向右平移一个单位，如图，即得到y＝log2|x－1|的图象．
函数图象的识别(高频考点)
函数图象的识别是每年高考的重点，题型为选择题，难度适中．主要命题角度有：
(1)知式选图；
(2)知图选式；
(3)由实际问题的变化过程探究函数图象．
角度一 知式选图
(1)(2019·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
(2)(2018·高考浙江卷)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是( )
【解析】 (1)通解：若0
1，则y＝是减函数，而y＝loga是增函数且其图象过点，结合选项可知，没有符合的图象，故选D.
优解：分别取a＝和a＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.
(2)设f(x)＝2|x|sin 2x，其定义域关于坐标原点对称，又f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以y＝f(x)是奇函数，故排除选项A，B；令f(x)＝0，所以sin 2x＝0，所以2x＝kπ(k∈Z)，所以x＝(k∈Z)，故排除选项C.故选D.
【答案】 (1)D (2)D
角度二 知图选式
(2020·温州高三质检)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝－1 D．f(x)＝x－
【解析】 由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A.
【答案】 A
角度三 由实际问题的变化过程探究函数图象
如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
【解析】 当x∈[0，]时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A，C.
当x∈[，]时，f()＝f()＝1＋，f()＝2.因为 2＜1＋，所以 f()＜f()＝f()，从而排除D，故选B.
【答案】 B
识别函数图象的方法技巧
函数图象的识辨可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．
[提醒] 由实际情景探究函数图象，关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
1．函数f(x)＝·cos x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
A B C D
解析：选D.函数f(x)＝(x－)cos x(－π≤x≤π且x≠0)为奇函数，排除选项A，B；当x
＝π时，f(x)＝(π－)·cos π＝－π＜0，排除选项C，故选D.
2．(2020·金华名校高三第二次统练)已知函数f(x)＝的部分图象如图所示，则a＋b＋c＝( )
A．－6 B．6
C．－3 D．3
解析：选C.由直线x＝2，x＝4，知ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－4)，又由二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称性和图象知顶点为(3，1)，则a＝－1，故b＝6，c＝－8，则a＋b＋c＝－3.
3.如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是( )
解析：选C.当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.
函数图象的应用(高频考点)
函数图象的应用是每年高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度偏大．主要命题角度有：
(1)利用函数图象研究函数性质；
(2)利用函数图象求解不等式；
(3)利用函数图象求参数的取值范围；
(4)利用函数图象确定方程根的个数(见本章第8讲)．
角度一 利用函数图象研究函数的性质
已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
【解析】 将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．
【答案】 C
角度二 利用函数图象求解不等式
函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，若x·[f(x)－f(－x)]<0，则x的取值范围为________．
【解析】 函数f(x)的图象大致如图所示．
因为f(x)为奇函数，且x·[f(x)－f(－x)]<0，
所以2x·f(x)<0.
由图可知，不等式的解集为(－3，0)∪(0，3)．
【答案】 (－3，0)∪(0，3)
角度三 利用函数图象求参数的取值范围
(2020·浙江省十校第一次联合模拟)已知函数f(x)＝的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1] B．[1， ]
C．[1，2] D．[，2]
【解析】 先作出函数y＝log2(1－x)＋1，－1≤x<0的图象，再研究y＝x3－3x＋2，0≤x≤a的图象．令y′＝3x2－3＝0，得x＝1(x＝－1舍去)，由y′>0，得x>1，由y′<0，得02a，
解得－3c>b>a>0，则abcd的取值范围是________．
解析：画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
由图象可得00
C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
【解析】 函数f(x)的图象如图所示：且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x1|<|x2|，所以f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0.
【答案】 D
数形结合思想的主要方面是“以形助数”寻找解决问题的途径，在函数问题中数形结合思想的应用非常广泛．本例借助图形得出函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数的性质，进而得出结论f(x1)－f(x2)＜0.
函数y＝ln|x－1|的图象与函数y＝－2cos πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A．3 B．6 C．4 D．2
解析：选B.由图象变换的法则可知，y＝ln x的图象关于y轴对称后和原来的一起构成y＝ln|x|的图象，向右平移1个单位得到y＝ln|x－1|的图象；y＝－2cos πx的周期T＝2.如图所示，两图象都关于直线x＝1对称，且有3对交点，每对交点关于直线x＝1对称，故所有交点的横坐标之和为2×3＝6.
[基础题组练]
1．(2020·台州市高考模拟)函数f(x)＝(x3－3x)sin x的大致图象是( )
解析：选C.函数f(x)＝(x3－3x)sin x是偶函数，排除A，D；当x＝时，f()＝[()3－3×]×＜0，排除B，故选C.
2.若函数f(x)＝
的图象如图所示，则f(－3)等于 ( )
A．－ B．－
C．－1 D．－2
解析：选C.由图象可得a(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，所以f(x)＝，故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.
3．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是( )
解析：选B.当a＝0时，函数为y1＝－x与y2＝x，排除D.当a≠0时，y1＝ax2－x＋＝a－＋，而y2＝a2x3－2ax2＋x＋a，求导得y′2＝3a2x2－4ax＋1，令y′2＝0，解得x1＝，x2＝，所以x1＝与x2＝是函数y2的两个极值点．当a＞0时，＜＜；当a＜0时，＞＞，即二次函数y1的对称轴在函数y2的两个极值点之间，所以选项B不合要求，故选B.
4．已知y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(2x)的图象的对称轴是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝－ D．x＝
解析：选D.因为函数y＝f(2x＋1)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，而函数y＝f(2x)的图象是将函数y＝f(2x＋1)的图象向右平移个单位，所以对称轴也向右平移个单位，所以函数y＝f(2x)的图象的对称轴为x＝.
5．(2020·绍兴一中模拟)函数y＝的图象大致是( )
解析：选A.因为y＝，所以函数y＝是奇函数，图象关于原点对称，故排除C；当x＜－1时，恒有y＜0，故排除D；－1＜x＜0时，y＞0，故可排除B；故选A.
6．设函数f(x)＝min{|x－2|，x2，|x＋2|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者，下列说法错误的是( )
A．函数f(x)为偶函数
B．若x∈[1，＋∞)时，有f(x－2)≤f(x)
C．若x∈R时，f(f(x))≤f(x)
D．若x∈[－4，4]时，|f(x－2)|≥f(x)
解析：选D.在同一坐标系中画出f(x)的图象如图所示．
f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数，故A正确．
由图可知x∈[1，＋∞)时，有f(x－2)≤f(x)，故B成立．
从图象上看，当x∈[0，＋∞)时，有0≤f(x)≤x成立，令t＝f(x)，则t≥0，故f(f(x))≤f(x)，故C成立．
取x＝，则f＝f＝，
f＝，|f(x－2)|1.
所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5
≥2－5＝1，
当且仅当x＝2时取等号，f(x)的最小值为1.
所以a＝2，b＝1，
所以函数g(x)＝＝，关于直线x＝－1对称，故选B.
2．定义函数f(x)＝则函数g(x)＝xf(x)－6在区间[1，2n](n∈N*)内所有零点的和为( )
A．n B．2n
C.(2n－1) D.(2n－1)
解析：选D.由g(x)＝xf(x)－6＝0得f(x)＝，
故函数g(x)的零点即为函数y＝f(x)和函数y＝图象交点的横坐标．
由f(x)＝f可得，函数y＝f(x)是以区间(2n－1，2n)为一段，其图象为在水平方向上伸长为原来的2倍，同时在竖直方向上缩短为原来的，从而先作出函数y＝f(x)在区间[1，2]上的图象，再依次作出其在[2，4]，[4，8]，…，[2n－1，2n]上的图象(如图)．
然后再作出函数y＝的图象，结合图象可得两图象的交点在函数y＝f(x)的极大值点的位置，由此可得函数g(x)在区间(2n－1，2n)上的零点为xn＝＝·2n，故所有零点之和为Sn＝·＝.故选D.
3．设函数f(x)＝，若f(a)＝－，则a＝________，若方程f(x)－b＝0有三个不同的实根，则实数b的取值范围是________．
解析：若－4a2＝－，解得a＝－，
若a2－a＝－，解得a＝，
故a＝－或；当x＜0时，f(x)＜0，
当x＞0时，f(x)＝－，f(x)的最小值是－，
若方程f(x)－b＝0有三个不同的实根，
则b＝f(x)有3个交点，故b∈.
故答案为：－或；.
答案：－或
4．(2020·学军中学模拟)函数f(x)＝与g(x)＝|x＋a
|＋1的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是________．
解析：设y＝h(x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，
则h(x)＝f(－x)＝
作出y＝h(x)与y＝g(x)的函数图象如图所示．
因为f(x)与g(x)图象上存在关于y轴对称的点，所以y＝h(x)与y＝g(x)的图象有交点，所以－a≤－e，即a≥e.
答案：[e，＋∞)
5．已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．
解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示，
由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当00)，H(t)＝t2＋t，
因为H(t)＝－在区间(0，＋∞)上是增函数，
所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．
6．(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证：y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称；
(2)若函数f(x)＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．
解：(1)证明：设P(x0，y0)是y＝f(x)图象上任意一点，则y0＝f(x0)．
设P点关于x＝m的对称点为P′，
则P′的坐标为(2m－x0，y0)．
由已知f(x＋m)＝f(m－x)，得
f(2m－x0)＝f[m＋(m－x0)]
＝f[m－(m－x0)]＝f(x0)＝y0.
即P′(2m－x0，y0)在y＝f(x)的图象上．
所以y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称．
(2)对定义域内的任意x，
有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立．
所以|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，
即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立．
又因为a≠0，
所以2a－1＝0，得a＝.
