2019-2020学年内蒙古包钢一中高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2019-2020学年内蒙古包钢一中高一上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2019-2020学年内蒙古包钢一中高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知全集，集合，集合，则集合= ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，求得，再结合集合交集的运算，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，全集，集合，集合，‎ 则，所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合运算的概念和方法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎2．下列函数中，与函数有相同图象的一个是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 对于A中，函数与函数不是同一函数，所以图象不同；‎ 对于B中，函数与函数不是同一函数，所以图象不同；‎ 对于C中，函数与函数 定义域不同，不是同一函数，图象不同；‎ 对于D中，函数与函数是同一函数，所以图象相同.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎3．若f (x) , g (x) 都是奇函数，且F(x) = a f (x) +b g (x) + 2 在(0 , +∞)上有最大值8 ，则F(x)在(- ∞, 0 )上有（ ）‎ A．最小值- 8 B．最大值- 8 C．最小值- 6 D．最小值- 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，得到是奇函数，再结合题设条件和函数的奇偶性，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，，可得 函数都是奇函数，‎ 所以，‎ 所以是奇函数，‎ 又由在上有最大值8，即，所以，‎ 当时，则，‎ 则，即，所以，即，‎ 所以当时，有最小值.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及函数值及其意义，其中解答中根据函数的奇偶性的性质，构造新函数为奇函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4．设集合，，则集合 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】对集合进行化简，然后求出.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ ‎，所以，故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的交集运算、补集运算，正确求出函数的定义域，函数的值域是关键.‎ ‎5．已知f (x)是R上的增函数，若 a+b＞0 , 则（ ）‎ A．f(a) + f(b) ＞f(- a ) +f(-b ) B．f(a) + f (b)＞f(- a ) - f(-b )‎ C．f(a) + f(-a )＞f(b) +f(-b ) D．f(a) +f (-a )＞f(b) - f(-b )‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数是上的增函数，所以，两式相加，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由，则，且，‎ 因为函数是上的增函数，所以，‎ 两式相加，可得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性的应用，其中解答中熟记函数的单调性，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6．已知函数对任意实数都满足，且当时都有成立，令，， ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，得到函数在上为增函数，且函数是上的偶函数，结合函数的单调性与奇偶性，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，当时都有成立，‎ 所以函数在上为增函数，‎ 又由函数对任意实数都满足，即，‎ 所以函数是上的偶函数，所以，‎ 因为，所以，即，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性，以及函数的奇偶性的应用综合应用，其中解答中熟记函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7．函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数的解析式可得函数f（x）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1的对称轴为x＝2，此时，函数取得最小值为1，当x＝0或x＝4时，函数值等于5，结合题意求得m的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1的对称轴为x＝2，此时，函数取得最小值为1，‎ 当x＝0或x＝4时，函数值等于5．‎ 且f（x）＝x2﹣4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，‎ ‎∴实数m的取值范围是[2，4]，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．‎ ‎8．设,,,则的大小关系为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据实数指数幂的运算性质，化简得,,，再结合指数函数的单调性，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得,,，‎ 又由函数是上的单调递增函数，‎ 因为，所以，即.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数幂的运算性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数幂的运算性质，结合指数函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎9．已知是定义域为的奇函数, 当时, ，那么不等式的解集是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知利用f（x）在上单调递减，不等式等价于，解不等式组即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 当时, ，可得f（x）在上为减函数，‎ 又是奇函数,所以f(x)在上单调递减，‎ ‎∴ 等价于 ‎∴解得．‎ ‎∴故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎10．已知实数a，b满足等式 ，给出下列五个关系式：①0b>0时，也可以 故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数的图象与性质，体现了数形结合的方法的直观性和简便性.‎ ‎11．定义在上的函数满足：且，则不等式的解集为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，得到函数单调递减函数，把不等式，转化为 结合，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设，‎ 因为，即，所以函数单调递减函数，‎ 不等式，即，‎ 因为，所以不等式等价于，即 又由，则，所以不等式的解集为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性的判定及应用，以及不等式的求解，其中解答中熟记函数的单调性的判定方法，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎12．设f(x)是定义在R上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数为偶函数，求出函数的表达式，然后将不等式化简，对进行讨论，利用分离参数，结合恒成立，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，是定义在R上的偶函数，且当时，，可得 ‎（1）当时，不等式，即为，解得，（舍去）；‎ ‎（2）当时，即 ，不等式，即为，解得，恒成立，所以符合题意；‎ ‎（3）当时，若，此时，则当时，解得，‎ 由（1）不合题意；‎ 若，则，由（2）得成立，‎ 若，时恒成立，则，解得，‎ 所以，解得，所以，‎ 综上可得，实数的取值范围是.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，以及指数函数的性质的应用，其中解答中求出函数在定义域上的解析式，结合恒成立求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数则=_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据分段函数的解析式和分段条件，准确运算，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数 则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的解析式及其应用，其中解答中合理利用分段的函数的解析式和分段条件求解是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎14．已知是上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集是_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，作出函数的图象，结合图象，分类讨论，即可求得不等式的解集，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，不等式，可转化为或，‎ 因为是上的奇函数，且在上是增函数，且，‎ 可得函数的图象，如图所示，‎ 由图象可得，当时，解得；‎ 当时，解得，‎ 所以不等式的解集为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性，函数的单调性的综合应用，以及不等式的求解，着重考查了数形结合思想，解答本题的关键是利用函数的性质作出函数的草图，属于中档试题.‎ ‎15．已知是定义在上的偶函数,且对恒成立,当时, ,则=__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用函数的周期性，可得f（），再利用奇偶性即可得出．‎ ‎【详解】‎ f（x+2）＝f（x）对x∈R恒成立，∴f（）．‎ ‎∵f（x）是定义在R上的偶函数，‎ ‎∴．‎ 当x∈[0，1]时，f（x）＝2x，则f（）．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的周期性与奇偶性，考查了推理能力计算能力，属于中档题．‎ ‎16．若二次函数的值域为，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由题意可知，，，从而求出，将所求式子中的4代换成，利用裂项法进行整理，进而利用均值不等式求出最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵二次函数（）的值域为，‎ ‎∴，，∴，，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号，故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．‎ 三、解答题 ‎17．（1）计算：；‎ ‎（2）化简：.‎ ‎【答案】（1）22；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用指数运算公式化简；（2）利用化简，再根据指数运算公式化简.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数运算公式和根式与分数指数幂的运算公式，意在考查公式转化和计算能力.‎ ‎18．已知二次函数的最小值为1，且．‎ ‎（1）求函数的解析式； ‎ ‎（2）求在上的最大值；‎ ‎（3）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）； （3）.‎ ‎【解析】（1）设，根据，求得，即可得到函数的解析式；‎ ‎（2）由（1）得，结合二次函数的性质，即可求得函数的最值.‎ ‎（3）由（1）得到函数的对称轴的方程为，根据函数在区间 上不单调，列出不等式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，设，‎ 因为，即，解得，‎ 所以函数的解析式为.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 因为，‎ 所以当时，函数取得最大值，最大值为.‎ ‎（3）由（1）可得函数的对称轴的方程为，‎ 要使函数在区间上不单调，则，解得，‎ 所以实数的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了待定系数法求解函数的解析式，以及二次函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎19．已知函数对任意实数恒有，且当时，。‎ ‎(1)判断的奇偶性；‎ ‎(2)求证：是R上的减函数.‎ ‎【答案】（1）奇函数； （2）见解析.‎ ‎【解析】(1)取，求得，再取，得到，即可得到结论；‎ ‎(2) 利用函数的单调性的定义，即可判定函数为单调递减函数.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意，函数的定义域为，关于原点对称，‎ 取，因为，则，解得，‎ 取，则，‎ 可得对任意恒成立，‎ 所以为奇函数．‎ ‎(2) 任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x10，‎ 所以，即，‎ 因为函数为奇函数，所以，‎ 所以函数为的单调递减函数.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性与函数的单调性的判定与证明，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的定义，以及合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎20．已知是定义在上的奇函数．‎ ‎（1）用定义证明在上是增函数；‎ ‎（2）解不等式．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）用定义法证明函数的单调性即可；‎ ‎（2）由函数的奇偶性结合（1）的结论得到关于实数的不等式组，求解不等式组即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：对于任意的，且 ，则：‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎，，.‎ ‎，即.‎ 函数在上是增函数.‎ ‎（2）由函数的解析式及（1）知，是奇函数且在上递增，‎ ‎ ，即：，‎ 结合函数的定义域和单调性可得关于实数的不等式：‎ ‎，求解关于实数的不等式组可得：，‎ 则不等式的解集.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数单调性的判断与证明，考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，考查逻辑思维能力，属于中档题.‎ ‎21．已知函数，且．‎ ‎（1）求实数c的值；‎ ‎（2）解不等式 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由题意知，0＜c＜1，于是c2＜c，从而由f（c2）即可求得实数c的值；（2）利用f（x），解不等式f（x）1即可求得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当， ， 故得：‎ 当，不合题意，故 ‎ ‎（2）∵f（x），由f（x）1得：‎ 得 或得所以，不等式的解集为 ‎【点睛】‎ 本题考查指数型不等式的解法，考查分类讨论思想与方程思想的综合运用，属于中档题．‎ ‎22．已知函数（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）证明；‎ ‎（3）求的值．‎ ‎【答案】（1）4； （2）见解析； （3）.‎ ‎【解析】（1）由指数函数且的单调性和题设条件，得到，即可求解；‎ ‎（2）由（1）知，结合指数幂的运算性质，即可求解.‎ ‎（3）由（2）的结论，得到，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，函数且在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，‎ 因为指数函数且在[1，2]上单调递增或单调递减，‎ 可得，得或（舍去），所以.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 则，‎ 所以.‎ ‎（3）由（2）知，，‎ 所以 ‎，‎ 即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及函数值的计算，其中解答中熟记指数函数的性质，以及指数幂的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎