河北省邢台市第八中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

河北省邢台市第八中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

邢台市第八中学2018-2019年度第二学期期末考试试卷 高二年级 数学（理）‎ 一、选择题 ‎1.极坐标系内,点到直线的距离是(   )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过直角坐标和极坐标之间的互化，即可求得距离.‎ ‎【详解】将化为直角坐标方程为，把化为直角坐标点为，即到直线的距离为2，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标之间的互化，点到直线的距离公式，难度不大.‎ ‎2.将点极坐标化成直角坐标是(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 本题考查极坐标与直角坐标的互化 由点M的极坐标，知 极坐标与直角坐标的关系为，所以的直角坐标为 即 故正确答案为A ‎3.在极坐标系中,点与之间的距离为(   )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可先求出判断为等边三角形即可得到答案.‎ ‎【详解】解析：由与,知,所以为等边三角形,因此 ‎【点睛】本题主要考查极坐标点间的距离，意在考查学生的转化能力及计算能力，难度不大.‎ ‎4.椭圆为参数)的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解.‎ ‎【详解】椭圆的标准方程为，所以c=.‎ 所以e＝.‎ 故答案为A ‎【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，‎ ‎5.在极坐标系中,已知点,则过点且平行于极轴的直线的方程是( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点化为直角坐标的点，求出过点且平行于轴的直线的方程，再转化为极坐标方程，属于简单题．‎ ‎【详解】因为点的直角坐标为，此点到轴的距离是，则过点且平行于轴的直线的方程是，化为极坐标方程是 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题．‎ ‎6.若对于任意的实数，有，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，故选择B.‎ 考点：二项式定理.‎ ‎7.体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案有( )‎ A. 12种 B. 7种 C. 24种 D. 49种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 第一步，他进门，有7种选择；第二步，他出门，有7种选择．根据分步乘法计数原理可得他进出门的方案有7×7＝49(种)．‎ ‎8.若展开式的二项式系数之和为,则展开式的常数项为( )‎ A. 10‎ B. 20‎ C. 30‎ D. 120‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【考察目标】考察学生运用二项式定理解决与二项展开式系数有关问题的能力 ‎【解题思路】解：因为(x＋)n展开式的二项式系数之和为64，即为2n=64,n=6,那么展开式中常数项就是x的幂指数为0的项，即为20.‎ ‎9.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A. -40 B. ‎-20 ‎C. 20 D. 40‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 令x=1得a=1.故原式=．的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D 解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出；若第1个括号提出，从余下的括号中选2个提出，选3个提出x.‎ 故常数项==-40+80=40‎ ‎10. 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)‎ A. 243‎ B. 252‎ C. 261‎ D. 279‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎11.已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为与正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B；故选A．‎ 考点：线性回归直线.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎12.随机变量服从二项分布，且，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为,所以,解得.即等于.故选B.‎ 二、填空题 ‎13.在极坐标系中,过点作圆的切线,则切线的极坐标方程是__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：点的直角坐标为，将圆的方程化为直角坐标方程为，化为标准式得，圆心坐标为，半径长为，而点在圆上，圆心与点之间连线平行于轴，故所求的切线方程为，其极坐标方程为.‎ 考点：1.极坐标与直角坐标之间的转化；2.圆的切线方程 ‎14.已知直线的参数方程为 (为参数),圆的参数方程为 (为参数).若直线与圆有公共点,则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵直线的普通方程为，圆C的普通方程为，∴圆C的圆心到直线的距离，解得.‎ 考点：参数方程与普通方程的转化、点到直线的距离.‎ ‎15.若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则该展开式中的系数__．‎ ‎【答案】56‎ ‎【解析】‎ 试题分析：首先根据已知展开式中第3项与第7项的二项式系数相等得；然后写出其展开式的通项，令即可求出展开式中的系数.‎ 考点：二项式定理.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎16.某班有名学生,其中人选修课程,另外人选修课程,从该班中任选两名学生,他们选修不同课程的概率是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出总的方法数，然后在每类选科人中各选一人，利用分步计算原理计算得方法数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.‎ ‎【详解】∵该班有名学生则从班级中任选两名学生共有种不同的选法又∵15人选修课程,另外35人选修课程∴他们是选修不同课程的学生的情况有: 故从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率.‎ ‎【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查分步乘法计数原理，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17.已知在直角坐标系中, 直线的参数方程为是为参数）, 以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1) 判断直线与曲线的位置关系；‎ ‎(2) 在曲线上求一点,使得它到直线的距离最大,并求出最大距离.‎ ‎【答案】(1) 相离；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把直线参数方程化为普通方程，曲线极坐标方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，然后与半径比较大小即可作出判断 圆上一点到直线的距离最大为，求出过圆心与直线垂直的直线方程，与圆的方程联立确定出此时的坐标即可 ‎【详解】(1)易得直线的方程为,曲线的方程为,圆心,半径,圆心到直线的距离, 所以直线与曲线相离.‎ ‎(2)易得点到直线的最大距离为, ‎ 过圆心且垂直于直线的直线方程为, 联立, ‎ 所以, 易得点.‎ ‎【点睛】本题主要考查了将参数方程和极坐标方程转化为普通方程，然后判断直线与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离即可作出判断，属于基础题 ‎18.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数),直线的参数方程为 (为参数).以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）写出直线的普通方程以及曲线的极坐标方程 ‎（2）若直线与曲线的两个交点分别为,直线与轴的交点为,求的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）1.‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)消去参数t可得直线l的普通方程为x＋y－1＝0．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0．化为极坐标即ρ＝4sin θ．‎ ‎(2)联立直线参数方程与圆的一般方程可得t2－3t＋1＝0，结合直线参数的几何意义可得 ‎|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1．‎ 详解：(1)直线l的参数方程为(为参数)，‎ 消去参数t，得x＋y－1＝0．‎ 曲线C的参数方程为 (θ为参数)，‎ 利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝0．‎ 令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sin θ．‎ ‎(2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0)．‎ 把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－3t＋1＝0，‎ ‎∴t1＋t2＝3，t1t2＝1．‎ 由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1．‎ 点睛：本题主要考查参数方程与直角坐标方程、极坐标方程与普通方程之间的转化方法，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19.已知在平面直角坐标系内,点在曲线 (为参数, )上运动.以为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为 ‎（1）写出曲线普通方程和直线的直角坐标方程;‎ ‎（2）若与相交于两点,点在曲线上移动,试求面积的最大值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)曲线的标准方程：；直线的直角坐标方程为：‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)对于曲线，理平方关系消去参数即可；对于极坐标方程利用三角函数的和角公式后再化成直角坐标方程，再利用消去参数得到直线 的直角坐标方程．‎ ‎(Ⅱ)欲求面积的最大值，由于一定，故只要求边上的高最大即可，根据平面几何的特征，当点在过圆心且垂直于的直线上时，距离最远，据此求面积的最大值即可．‎ 试题解析：(Ⅰ)消参数得曲线的标准方程：.由题得：，即直线的直角坐标方程为：.‎ ‎(Ⅱ)圆心到的距离为，则点到的最大距离为，，∴.‎ 考点：极坐标 ‎20.某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计,其中120分(含120分)以上为优秀,绘制了如下的两个频率分布直方图:‎ ‎ ‎ ‎（1）根据以上两个直方图完成下面列联表:‎ ‎ 成绩 性别 优秀 不优秀 合计 男生 女生 总计 ‎（2）根据(1)中表格的数据计算,你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系?‎ ‎2072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎（3）若从成绩在[130,140]的学生中任取2人,求取到的2人中至少有1名女生的概率.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据表格数据填写好联表；（2）计算出的数值，由此判断出所以有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系.（3）先计算出男生、女生分别有多少人，然后用减去全部都是男生的概率，求得所求的概率.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎ 成绩 性别 优秀 不优秀 合计 男生 ‎13‎ ‎10‎ ‎23‎ 女生 ‎7‎ ‎20‎ ‎27‎ 总计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎（2）由（1）中表格的数据知, .‎ 因为,所以有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系.‎ ‎（3）成绩在[130,140]的学生中男生有人,女生有人,从6名学生中任取2人,共有种选法,若选取的都是男生,共有种选法;故所求事件的概率.‎ ‎【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查古典概型概率计算，考查对立事件，属于基础题.‎ ‎21.保险公司统计的资料表明:居民住宅距最近消防站的距离 (单位:千米)和火灾所造成的损失数额 (单位:千元)有如下的统计资料:‎ 距消防站的距离 (千米)‎ 火灾损失数额 (千元)‎ ‎（1）请用相关系数 (精确到)说明与之间具有线性相关关系;‎ ‎（2）求关于的线性回归方程(精确到);‎ ‎（3）若发生火灾的某居民区距最近的消防站千米,请评估一下火灾损失(精确到).‎ 参考数据: ‎ 参考公式: ‎ 回归直线方程,其中 ‎【答案】（1）见解析（2）（3）火灾损失大约为千元．‎ ‎【解析】‎ 分析：⑴利用相关系数计算公式，即可求得结果 ‎⑵由题中数据计算出，然后计算出回归方程的系数，，即可得回归方程 ‎⑶把代入即可评估一下火灾的损失 详解：（1）‎ 所以与之间具有很强的线性相关关系；‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎∴与的线性回归方程为 ‎（3）当时，，‎ 所以火灾损失大约为千元．‎ 点睛：本题是一道考查线性回归方程的题目，掌握求解线性回归方程的方法及其计算公式是解答本题的关键．‎ ‎22.学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)‎ ‎（1）求在1次游戏中,‎ ‎①摸出3个白球的概率;‎ ‎②获奖的概率;‎ ‎（2）求在2次游戏中获奖次数的分布列.‎ ‎【答案】（I）（i）；（ii）（II）X的分布列见解析，数学期望 ‎【解析】‎ 解：(1)①设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，则P(A3)＝·＝.‎ ‎②设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3，又 P(A2)＝＋·＝，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.‎ ‎(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2，‎ P(X＝0)＝2＝，‎ P(X＝1)＝C21·＝，‎ P(X＝2)＝2＝，‎ 所以X的分布列是 X ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎ ‎ ‎ ‎