2018-2019学年湖南省衡阳市第一中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年湖南省衡阳市第一中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019 学年湖南省衡阳市第一中学高一上学期期末考试 数学试题 一、单选题 1．已知集合 ，则 = ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 A 与 B 的交集运算即可． 【详解】 由集合 ∴ ， 故选：D． 【点睛】 本题考查了集合的交集运算，属于基础题. 2．下面是属于正六棱锥的侧视图的是 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正六棱锥的直观图观察可得侧视图. 【详解】 正六棱锥如图所示 所以正六棱锥的侧视图为 . 故选：B. 【点睛】 本题考查的是识别正六棱锥的侧视图，关键是掌握正六棱锥的直观图，属于基础题. 3．给出以下命题：①经过三点有且只有一个平面；②垂直于同一直线的两条直线平 行；③一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；④垂直于同一 平面的两条直线平行.其中正确命题的个数有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】A 【解析】利用线线、线面、面面间平行和垂直的关系逐一对命题判断即可. 【详解】 对于① 过空间不共线三点有且只有一个平面，过空间共线的三点有无数个平面，故① 错误； 对于② 垂直于同一直线的两条直线，这两条直线有可能平行、相交或异面，故②错误； 对于③ 一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面有可能平行或相交， 故③错误； 对于④ 由线面垂直的性质定理得，垂直于同一平面的两条直线平行，故④正确． 故选：A. 【点睛】 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属 于基础题． 4．下列命题正确的是( ) A．幂函数的图象都经过 、 两点 B．当 时，函数 的图象是一条直线 C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同 D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点 【答案】D 【解析】利用幂函数的概念、图象与性质,对 4 个选项逐一分析判断即可． 【详解】 对于 A: 幂函数的图象都经过点（1，1），当 n≤0 时，不过（0，0）点，故 A 不正确； 对于 B：当 n＝0 时，幂函数 y＝xn 的图象是一条直线 y＝1，除去（0，1）点，故 B 不 正确； 对于 C：当两个幂函数的图象有三个交点，如 y=x 与 y=x3 有三个交点，这两个函数不 相同，故 C 不正确； 对于 D：因为幂函数的图象都经过点（1，1）且为偶函数时，所以图象一定经过点 ，故 D 正确. 故选：D. 【点睛】 本题以命题的真假判断为载体考查了幂函数的概念，图象和性质，属于基础题． 5．直线 被圆 截得的弦长为 ，则直线的倾斜角为( ) A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【解析】由题意得圆心（0,0）到直线 的距离为 d＝ ，求出 k，即可 求出直线的倾斜角． 【详解】 因为圆 x2+y2＝4 的圆心为（0，0），半径为 2，∵直线 l：y＝k（x+2）被圆 O：x2+y2＝4 截得弦长为 ，∴圆心到直线的距离 d＝ ＝1，∴圆心到直线的距离 d= ， ∴k＝± ，所以直线的倾斜角为 或 . 故选：C． 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系和直线的倾斜角，以及点到直线的距离公式，属于中档 题． 6．若函数 定义域为 ，则 的取值范围是( ) A． B． 且 C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得 x2﹣ax+1＞0 恒成立，故有 ，由此解得 a 的范围． 【详解】 由题意可得：要使 f（x）的定义域为 R，则对任意的实数 x 都有 x2﹣ax+1＞0 恒成立， 故有 解得 0＜a＜1，或 1＜a＜2，即 a 的范围为（0，1）∪（1，2）． 故选：B. 【点睛】 本题考查了对数函数的定义域和性质的综合应用，也考查了二次函数的性质，属于中档 题． 7．如图，在直角梯形 中， ，将 沿 折起， 使得平面 平面 .在四面体 中，下列说法正确的是( ) A．平面 平面 B．平面 平面 C．平面 平面 D．平面 平面 【答案】B 【解析】由平面 ABD⊥平面 BCD 的性质定理得 CD⊥AB，又由 AD⊥AB，从而得到 AB⊥平面 ADC，又 AB⊂平面 ABC，可得平面 ABC⊥平面 ADC． 【详解】 ∵在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=AB= BC=1，∠A＝90°，在 中，BD= ， BC=2， ，由余弦定理得 ，∴BD⊥CD，又平面 ABD⊥平面 BCD，且平面 ABD∩平面 BCD＝BD，故 CD⊥平面 ABD，则 CD⊥AB，又由 AD⊥AB， ∴AB⊥平面 ADC，又 AB⊂平面 ABC，∴平面 ABC⊥平面 ADC． 故选：B． 【点睛】 本题考查平面与平面垂直的性质和判定定理，考查逻辑思维能力，属于中档题． 8．中国古代数学名著《九章算术》中,将顶部为一线段，下底为一矩形的拟柱体称之为 刍甍(méng)，如图几何体为刍甍，已知面 是边长为 3 的正方形， ， 与面 的距离为 2，则该多面体的体积为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，把该几何体分成一个四棱锥和一个三棱锥，各自求出它的体积再求 和即可． 【详解】 不妨设 面 BCF，如图所示， ， 连接 BE，CE，则多面体 ABCDEF 的体积为：V＝V 四棱锥 E﹣ABCD+V 三棱锥 E﹣BCF ＝ ×32×2+ × ×3×2×2＝6+2=8． 故选：C. 【点睛】 本题考查了空间几何体体积的计算问题，把几何体分成一个四棱锥和一个三棱锥是解题 的关键，属于基础题． 9．我们从这个商标 中抽象出一个图像如图，其对应的函数可能是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图像分析得函数为偶函数，排除法即可. 【详解】 由图像得函数的定义域为 ，排除 B,C. 由 排除 A. 故选：D. 【点睛】 本题考查的是利用函数的图像分析判断出函数是偶函数的问题，属于基础题. 10．已知三棱锥 的三条侧棱 两两垂直，且 ，则三棱锥 的外接球的表面积为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由三线垂直且长度相等联想正方体，利用外接球的直径为正方体的对角线长， 即可得解． 【详解】 由 PA、PB、PC 两两互相垂直，且 PA＝PB＝PC＝1，可知该三棱锥为正方体的一角， 其外接球直径为正方体的对角线长，即 2R＝ ，∴ ，∴ . 故选：D. 【点睛】 本题考查多面体外接球体积的求法，关键是补形的方法，属于基础题． 11．若实数 满足 ，则 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 的几何意义，即圆 x2+y2＝3 上的动点与定点 P（2，0）连线的斜率求解 即可． 【详解】 如图，设过 P（2，0）的直线的斜率为 k，则直线方程为 y＝k（x﹣2），即 kx﹣y﹣2k＝ 0，由坐标原点 O（0，0）到直线 kx﹣y﹣2k＝0 的距离等于 ，得 ，解得： k= ．∴ 的取值范围是 ． 故选：C． 【点睛】 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题． 12．设函数 有 5 个零点 ，且对一切实数 均满足 ，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数 f（x）满足 ，可得函数的图象关于（2,0）对称，从 而得到函数 5 个零点的和． 【详解】 对于任意 x∈R，函数 f（x）满足 ∴函数的图象关于（2,0）对称，∴函 数 f（x）的零点关于 x＝2 对称，∴函数 f（x）的 5 个零点中有 2 对关于 x=2 对称，中 间的零点是 2，即 = =2，∴, ， 故选：B． 【点睛】 本题考查函数的零点和对称的问题，解题的关键是看出函数的图象关于（2,0）对称， 属于基础题. 二、填空题 13．给出下列平面图形：①三角形；②四边形；③五边形；④六边形.则过正方体中 心的截面图形可以是_______________ （填序号） 【答案】②④ 【解析】根据正方体的性质和经过几个面得到的截面是几边形判断即可． 【详解】 过正方体中心的平面截正方体所得的截面，至少与正方体的四个面相交,所以不可能是 三角形,又因为截面为五边形时不过正方体的中心，过正方体一面上相邻两边的中点以 及正方体的中心得截面形状为正六边形. 故答案为：②④. 【点睛】 本题考查了过正方体中心的截面问题，解决本题的关键是利用正方体的性质，属于基础 题. 14．已知 ，则直线 与直线 的距离的最 大值为__________ 【答案】 【解析】由平行线间的距离公式得 化简求最值即可. 【详解】 因为直线 与直线 平行， 所以由平行线间的距离公式得 = = ，所以 当 m=1 时，d = . 故答案为： . 【点睛】 本题考查的是平行线间的距离公式和二次函数求最值的问题，属于基础题. 15．已知函数 ，则函数 恰好存在一个零点时，实数 的取值范围为 ____________． 【答案】 【解析】由函数 g（x）＝f（x）+x 一 a 只有一个零点，令 h（x）＝a﹣x，则 与 h （x）有且只有 1 个交点，由数形结合可得出答案． 【详解】 ∵函数 g（x）＝f（x）+x 一 a 只有一个零点，令 h（x）＝a﹣x，∴函数 f（x）与 h （x）只有一个交点，函数 f（x）的图像如图所示： 当 h（x）与 f（x）的在 x<0 上相切时，有 1 个交点，即 a= .这时 h（x）与 f（x）在 R 上有 2 个交点，不符合题意，舍； 当 a 时，h（x）与 f（x）在 x>0 上有 1 个交点，符合题意； 当 a 时，h（x）＝a﹣x 与 f（x）在 R 上有 3 个交点不符合题意，舍； 当 a<0 时，h（x）＝a﹣x 与 f（x）在 R 上有 2 个交点不符合题意，舍； ∴实数 a 的范围是（ ，+∞）． 故答案为：（ ，+∞）． 【点睛】 本题考查了函数零点的问题，也考查了数形结合思想，属于基础题． 16．圆锥 AO 底面圆半径为 ，母线 长为 ，从 中点 拉一条绳子，绕圆锥一周转到 点，则这条绳子最短时长度为_____________ 【答案】 【解析】由圆锥侧面展开图是一个扇形，计算线段 MA 的值即可． 【详解】 圆锥的底面圆半径 r＝1，母线长 l＝6，则侧面展开扇形的圆心角为 α＝ = ，将圆 锥侧面展开成一个扇形，从点 M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点 B，最短距离为 BM，在 △BSM 中，由余弦定理得 cos = ，所以 BM= . 故答案为： ． 【点睛】 本题考查了圆锥的侧面展开图和余弦定理的应用，属于基础题． 三、解答题 17．已知函数 （1）求函数 的定义域； （2）判断函数 的奇偶性 【答案】（1） ；（2）奇函数. 【解析】（1）由对数函数的真数大于 0，得 的定义域；（2）由奇偶函数的定义判断 即可. 【详解】 解：（1）由 得 ， 函数 的定义域为 （2）因为 时 函数 为奇函数 【点睛】 本题考查了求函数的定义域和奇偶性的判断，属于基础题. 18．已知三棱锥 中， 平面 ， （1）求直线 与平面 所成的角的大小； （2）求二面角 的正弦值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）由线面垂直的判定定理得 平面 ，则 为直线 与平面 所成 的 角 ， 在 中 ， 即 可 求 出 ； （ 2 ） 取 中 点 ， 连 接 ， 由 平 面 ， ，过 作 于 ，连接 ，则 为二面角 的平面角，在 中，即可求出. 【详解】 解：（1） 平面 ， ，又 ， . 平面 在平面 内的射影为 ，则 为直线 与平面 所成的角 由 平 面 得 ， 在 中 ， .所以直线 与平面 所成的角为 . （ 2 ） 取 中 点 ， 连 接 ， ， 平 面 ， ， ， 平面 ，则 ，过 作 于 ，连接 ，则 平面 ，， ，则 为二面角 的平面角 ，在 中， ， 所以二面角 的正弦值为 【点睛】 本题考查了求线面角和二面角的问题，利用线面垂直的判定定理找到所求的角是关键， 属于中档题. 19．已知点 是圆 上的动点，点 ， 是线段 的中点 （1）求点 的轨迹方程； （2）若点 的轨迹与直线 交于 两点，且 ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）设 为所求轨迹上任意的一点，其对应的 点为 . 是线段 的中点，由相关点法化简即可；（2）联立方程 设 由 得 化简即可. 【详解】 解：（1）设 为所求轨迹上任意的一点，其对应的 点为 ，则 ① 又 是 的中点， ，则 ，代入①式得 （或用定义法亦可） （2）联立方程 消去 得 由 得 ② 又设 ，则 ③ 由 可得 ，而 ，展开得 由③式可得 ，化简得 ④ 根据②④得 . 【点睛】 本题考查了由相关点代入法求轨迹方程，也考查了直线与圆的位置关系等知识，属于中 档题. 20．定义在 上的奇函数 对任意实数 ，都有 . （1）求证：函数 对任意实数 ，都有 ； （2）若 时 ，且 ，求 在 上的最值 【答案】（1）详见解析；（2） . 【解析】（1）由 在 R 上为奇函数，所以 ，化简即可 成立；（2）设 ，得 ，则 为 上的减函数，即可得最值. 【详解】 （1）证明： = 所 以 ， 又 因 为 在 R 上 为 奇 函 数 ， 所 以 ， 成立. （2）解：设 ， 则 则 为 上的减函数 ， . 【点睛】 本题考查了抽象函数恒成立问题，也考查了利用单调性求最值的问题，属于中档题. 21．如图，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形， ， 为 中点, （1）求证： 平面 ； （2）若 是正三角形，且 . (Ⅰ)当点 在线段 上什么位置时，有 平面 ？ (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点 在线段 上什么位置时，有平面 平面 ？ 【答案】（1）详见解析；（2）(Ⅰ) 点 在线段 中点时；(Ⅱ) 当 时. 【解析】（1）连接 , ,AC BD= ，连接 ，由 为 中点， 为 中点，得 ， 推出 平面 ；（2）(Ⅰ) 当点 在线段 中点时，由线面垂直的判定定理得 平面 ；(Ⅱ)当 时由(Ⅰ)得 平面 ，推出平面 平面 . 【详解】 （1）证明：连接 , , = ，因为 ABCD 是平行四边形，则 为 中点，连接 ， 又 为 中点， 面 ， 面 平面 . （2）解(Ⅰ)当点 在线段 中点时，有 平面 取 中点 ，连接 ，又 ，又 ， ， 平面 ，又 是正三角形， 平面 (Ⅱ)当 时，有平面 平面 过 作 于 ，由(Ⅰ)知 ， 平面 ，所以平面 平面 易得 【点睛】 本题考查了线面平行和线面垂直，面面垂直的判定定理，数量掌握判定定理的内容是关 键，属于中档题. 22．已知函数 的定义域为 (1)试判断 的单调性； (2)若 ，求 在 的值域； (3)是否存在实数 ，使得 有解，若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明 理由. 【答案】（1） 在 单调递增（2） （3）存在，且取值范围为 【解析】（1）由函数单调性的定义判断即可；（2）令 , 求值域即可；（3）变量分离 即 可. 【详解】 解 ： （ 1 ） 设 ， ， 在 单调递增. （2） 令 ， 在 ， 的值域为 （3）由 得 而当 时，令 = ，所以 的取值范围为 【点睛】 本题考查了由定义法判断函数的单调性和变量分离求最值的问题，属于中档题.