2018-2019学年云南省玉溪市第一中学高一下学期期中数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年云南省玉溪市第一中学高一下学期期中数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年云南省玉溪市第一中学高一下学期期中数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则为（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合，，根据集合交集的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵由，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以或，‎ ‎∴或 或．‎ 故选．‎ 点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.‎ ‎2．若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是(　　)‎ A．a2>b2 B． C．lg(a－b)>0 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】试题分析：A中不成立，B中不成立，C中不成立，D中由指数函数单调性可知是成立的 ‎3．已知等差数列的前n项和为，若，且A，B，C三点共线（该直线不过点O），则等于（ ）‎ A．100 B．101 C．200 D．201‎ ‎【答案】A ‎【解析】由向量三点共线可得，根据等差数列求和公式计算即可 ‎【详解】‎ ‎，且A，B，C三点共线 ‎，‎ ‎∴.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量中三点共线，等差数列的求和公式，属于中档题.‎ ‎4．函数的函数值恒小于零，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】当 即时，恒成立，所以符合题意；‎ 当即时， 因为函数值恒小于零，所以二次函数的图像开口向下，且和轴没交点，所以 ，解得 ．综上所述，．所以选C．‎ ‎ 【点睛】二次项系数含字母，而题中没说是二次函数，故对二次项系数是否为零讨论．是二次函数时，应结合二次函数的图像抛物线与轴的位置关系解决本题．二次不等式恒成立问题，注意三个二次的运用．‎ ‎5．若,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：，故选A.‎ ‎【考点】两角和与差的正切公式．‎ ‎6．若函数的最大值是8，则（ ）‎ A．3 B．13 C．3或 D．或13‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用辅助角公式化简，根据正弦的值域，分类讨论函数最大值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎,‎ 当时，,‎ 解得，‎ 当时，，‎ 解得，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的辅助角公式，正弦函数的值域，分类讨论，属于中档题.‎ ‎7．已知sin α＋cos α＝ ，则sin2＝(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先对题中所给的式子两边同时平方，求得，再利用差角公式以及平方运算，得到 ，代入求得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，则，所以，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关三角恒等变换求值问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有同角三角函数的平方关系，正弦的差角公式，注意正确应用公式是解题的关键.‎ ‎8．若对于任意恒成立，则a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分子分母同时除以，再利用基本不等式即可求解．‎ ‎【详解】‎ 解：因为，所以，‎ 因为，所以（当且仅当时取等号），‎ 则，‎ 即的最大值为，故.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数最值的求解，以及不等式恒成立问题，利用基本不等式是解决本题的关键．‎ ‎9．一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)‎ A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 ‎【答案】B ‎【解析】根据已知条件可知△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C ‎＝45°，‎ 由正弦定理，有，所以10.‎ 故选B.‎ ‎10．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）‎ A．96里 B．48里 C．192里 D．24里 ‎【答案】A ‎【解析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,‎ 设该数列为,其前项和为 则有,解得,‎ 故,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.‎ ‎11．已知函数的图象过点，令.记数列的前n项和为，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知条件推导出，．由此利用裂项求和法能求出 ‎．‎ ‎【详解】‎ 解：由，可得，解得，则.‎ ‎∴，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎12．设等差数列的前n项和为，已知，，则当n为多少时前n项和有最大值（　　）‎ A．6 B．5 C．6或7 D．7‎ ‎【答案】A ‎【解析】由等差数列的前项和公式及等差数列的性质计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：由得，‎ 由得，得，‎ 由，，知等差数列是递减数列，‎ 所以时前n项和有最大值 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的性质，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13．已知则的最小值是 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】lg 2x＋lg 8y＝xlg2＋3ylg 2＝lg 2，∴x＋3y＝1，‎ ‎∴＝·(x＋3y)＝2＋≥4，当且仅当x＝，y＝时取等号．‎ ‎14．设等差数列，的前项和分别为若对任意自然数都有，则的值为_______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由等差数列的性质和求和公式可得原式，代值计算可得．‎ ‎【详解】‎ ‎∵{an}，{bn}为等差数列，‎ ‎∴‎ ‎∵＝，∴，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．‎ ‎15．______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】观察角之间的特殊关系：，，运用两角差的余弦公式和诱导公式可得解.‎ ‎【详解】‎ 原式 ‎.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角差的余弦公式和诱导公式，关键在于观察出题目的角之间的特殊关系，属于中档题.‎ ‎16．设，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据为定值，即采用分组求和方式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数求值，分组求和，属于容易题.‎ 三、解答题 ‎17．（1）；‎ ‎（2）已知，，且，求β的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用两角和的正切公式计算可得；‎ ‎（2）利用同角三角函数的基本关系及两角差的余弦公式计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎.‎ ‎（2）∵且，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，.‎ 又∵，‎ ‎∴‎ ‎.‎ 又∵，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的基本关系及两角和差的公式，属于基础题.‎ ‎18．已知数列的通项公式为，数列是等差数列，且.‎ ‎（1）求数列的前n项和；‎ ‎（2）求数列的通项公式.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由通项公式可以说明数列是等差数列，根据等差数列的求和公式计算可得；‎ ‎（2）由且数列是等差数列，构造方程组求出和即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴数列是以公差为6的等差数列.‎ 又∵，‎ ‎∴数列的前n项和：‎ ‎.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 设数列的公差为d，‎ 则∴‎ ‎∴数列的通项公式：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.‎ ‎19．在中，内角A，B，C所对的边分别为.已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用两角和与差的正切公式，得到，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦定理得到边的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.‎ 试题解析：（1）由，得，‎ 所以.‎ ‎（2）由可得，.‎ ‎，由正弦定理知：.‎ 又，‎ 所以.‎ ‎【考点】1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.‎ ‎20．设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）当时，记，求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1)见解析 (2) ‎ ‎【解析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；‎ ‎（2）当d＞1时，由（1）知cn，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设a1＝a，由题意可得，‎ 解得，或，‎ 当时，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；‎ 当时，an（2n+79），bn＝9•；‎ ‎（2）当d＞1时，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1，‎ ‎∴cn，‎ ‎∴Tn＝1+3•5•7•9•（2n﹣1）•，‎ ‎∴Tn＝1•3•5•7•（2n﹣3）•（2n﹣1）•，‎ ‎∴Tn＝2（2n﹣1）•3，‎ ‎∴Tn＝6．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎21．已知向量＝（2sin x，cos x），＝（－sin x,2sin x），函数f（x）＝·‎ ‎（1）求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）＝1，c＝1，ab＝2，且a>b，求a，b的值．‎ ‎【答案】（1）f（x）的单调增区间是．（2）a＝2，b＝．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据数量积的坐标运算得：f（x）＝－2sin2x＋sin xcos x＝2sin（2x＋）－1，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得kπ－≤x≤kπ＋．（2）由f（C）＝2sin（2C＋）－1＝1，sin（2C＋）＝1，从而得C＝．‎ ‎＝，整理得a2＋b2＝7，联立ab＝解方程组可得a＝2，b＝．‎ 试题解析：（1）f（x）＝－2sin2x＋sin xcos x ‎＝－1＋cos 2x＋sin xcos x ‎＝sin 2x＋cos 2x－1＝2sin（2x＋）－1 3分 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴f（x）的单调增区间是． 6分 ‎（2）∵f（C）＝2sin（2C＋）－1＝1，‎ ‎∴sin（2C＋）＝1，‎ ‎∵C是三角形的内角，∴2C＋＝，即C＝8分 ‎∴cos C＝＝，即a2＋b2＝7．‎ 将ab＝代入可得a2＋＝7，解得a2＝3或4．‎ ‎∴a＝或2，∴b＝2或．‎ ‎∵a>b，∴a＝2，b＝12分．‎ ‎【考点】1、三角函数；2、三角恒等变换；3、解三角形．‎ ‎22．已知数列的前n项和是，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，令，求证.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】（1）由递推关系及与的关系，可求通项公式（2）由可根据裂项相消法求和，利用增减性证明不等式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ 由，得，‎ 当时，，‎ 则，即，‎ 所以.‎ 故数列是以为首项，为公比的等比数列.‎ 故.‎ ‎（2）因为.‎ 所以 因为，‎ 所以 是关于n的增函数，‎ ‎，且.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用与的关系求通项公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题.‎