辽宁省朝阳市凌源市联合校2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

辽宁省朝阳市凌源市联合校2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

辽宁省凌源市联合校2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.已知集合A＝{x｜x＜1}，B＝{x｜＜1}，则A∩B＝（　　）‎ A. {x｜x＜0} B. （x｜x＞0} C. {x｜x＞1} D. {x｜x＜1}‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．‎ ‎【详解】∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，‎ ‎∴A∩B＝{x|x＜0}．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查交集的求法及指数不等式的解法，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2.已知为虚数单位,复数满足：，则在复平面上复数对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出并化简，从而确定复数对应的点的坐标为，进而判断其位于第四象限.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以复平面上复数对应的点为，位于第四象限，‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎3.命题p：x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，命题q：指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）为减函数，则P是q的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．‎ ‎【详解】命题p：∀x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，解命题p：①当a≠0时，△＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1）＜0，且a>0，‎ ‎∴解得：0＜a＜1，‎ ‎②当a＝0时，不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，‎ ‎∴不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，有：0≤a＜1；‎ 命题q：指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）为减函数，则0＜a＜1；‎ 所以当0≤a＜1；推不出0＜a＜1；当0＜a＜1；能推出0≤a＜1；‎ 故P是q的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了二次型函数恒成立的问题，考查了指数函数的单调性，属于基础题．‎ ‎4.函数的图象大致为　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数是奇函数，且函数过点，从而得出结论．‎ ‎【详解】由于函数是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以排除B和D；‎ 又函数过点，可以排除A，所以只有C符合．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数与x轴的交点，属于基础题．‎ ‎5.已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若m，n没有公共点，则 B. 若，，则 C 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由空间中点、线、面位置关系的判定与性质依次对选项进行判断，由此得到答案。‎ ‎【详解】两条直线没有公共点有平行和异面两种情形，故A，B错；对于C，还存在的情形：由线面垂直的性质可得D对，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查学生对空间中点、线、面的位置关系的理解与掌握，重点考查学生的空间想象能力，属于中档题。‎ ‎6.已知非零向量的夹角为，且，则（ ）‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由得，，解得，故选A．‎ 考点：向量的数量积．‎ ‎7.已知正项等比数列满足，若，则为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件求出等比数列的首项和公比，通过等比数列的性质将进行转化，利用首项和公比表示，得到关于的表达式，解出答案．‎ ‎【详解】解：正项等比数列满足，可知其公比，且 可得，‎ ‎，解得，‎ 代入，可得，‎ ‎，可得，‎ 而 所以，即 ‎，解得．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查利用等比数列的基本量进行计算以及等比数列的性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．‎ ‎8.将函数的图象上各点沿轴向右平移个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得图象变换后的解析式，再根据正弦函数对称中心，求出正确选项.‎ ‎【详解】向右平移的单位长度，得到，由 解得，当时，对称中心为，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查三角函数对称中心的求法，属于基础题.‎ ‎9.，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用诱导公式求解，再利用二倍角公式求解即可 ‎【详解】因为，所以，所以.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式，熟记公式是关键，是基础题 ‎10.已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为（ ）‎ A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 顶角为的等腰三角形 D. 顶角为的等腰三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用同角三角函数基本关系得，结合正余弦定理得进而得B,再利用化简得,得A值进而得C,则形状可求 ‎【详解】由题 ‎ 即，由正弦定理及余弦定理得 即 ‎ 故 整理得 ，故 ‎ 故为顶角为的等腰三角形 故选：D ‎【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题 ‎11.设函数f（x）＝xlnx的图象与直线y＝2x+m相切，则实数m的值为（　　）‎ A. e B. ﹣e C. ﹣2e D. 2e ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点为（s，t），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得s，t，进而求得m．‎ ‎【详解】设切点为（s，t），f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，‎ 可得切线的斜率为1+lns＝2，解得s＝e，‎ 则t＝elne＝e＝2e+m，即m＝﹣e．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．‎ ‎12.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）=x2+f'（2）lnx，则f'（2）的值为（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，从而得出，解出即可．‎ ‎【详解】由题得，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ ‎13.命题：“，”的否定是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据含量词命题的否定直接写出结果.‎ ‎【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以原命题的否定为：，‎ 本题正确结果：，‎ ‎【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.‎ ‎14.已知函数一个周期的图象（如下图），则这个函数的解析式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由函数的图象可得A=1，T=﹣ ，解得：T==π，‎ 解得ω=2．‎ 图象经过（，1），可得：1=sin（2×+φ），‎ 解得：φ=2kπ+，k∈Z，‎ 由于：|φ|＜，‎ 可得：φ=，‎ 故f（x）的解析式为：f（x）=．‎ 故答案：f（x）=．‎ ‎15.已知点，，若点在线段上，则的最大值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 已知点，，线段方程为：， ‎ 故最大值为：.‎ ‎16.侧棱长为的正三棱锥的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 侧棱长为a的正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，说明三棱锥是正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，他们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，求出直径，即可求出表面积。‎ ‎【详解】侧棱长为的正三棱锥其实就是棱长为的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为，该球的表面积为 ‎【点睛】此类特殊的三个面都是直角的三棱锥可以看着是正方体或者长方体的顶角，求三棱锥的外接球直径转换为求立方体的体对角线，求表面积或者体积实际就是在求外接球半径。‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）求函数的值域和单调减区间；‎ ‎（2）已知为的三个内角，且，，求的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数化简，利用三角函数的取值范围的单调性得到答案.‎ ‎（2）通过函数计算，，再计算代入数据得到答案.‎ ‎【详解】（1）∵且 ‎∴故所求值域为 由得：‎ 所求减区间：；‎ ‎（2）∵是的三个内角，，∴‎ ‎∴又，即 又∵，‎ ‎∴,‎ 故,‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的最值，单调性，角度的大小，意在考查学生对于三角函数公式性质的灵活运用.‎ ‎18.在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求周长的最大值。‎ ‎【答案】（1）；（2）12‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）本题考察的是解三角形的相关问题，根据题意利用正弦定理，进行化简，即可求得角的大小 ‎（2）已知，要求三角形周长最大值，只要求出的最大值即可，根据余弦定理和基本不等式建立相应的不等式，即可求出所求的最大值．‎ 试题解析：（1）依正弦定理可将 化为 又因为在中，，所以有，‎ 即，∴．‎ ‎（2）因为的周长，‎ 所以当最大时，周长最大．‎ 因为，即，‎ 即（当且仅当时等号成立）‎ 所以周长的最大值为12．‎ 考点：解三角形相关问题 ‎19.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a5=5，且a2，a4，a7成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，求：数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设数列{an}的公差为d（d≠0），由题意列关于首项与公差的方程组，求解可得首项与公差，代入等差数列的通项公式即可；（2）求得数列{bn}的通项公式，再由错位相减法求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【详解】（1）设数列{an}的公差为d（d≠0），‎ 据题得，‎ 解得，d=．‎ ‎∴数列{an}的通项公式为；‎ ‎（2）由，得．‎ 令，‎ 则，‎ ‎∴=，‎ ‎∴，‎ ‎∴Tn==．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，是中档题．‎ ‎20.已知数列为递增的等比数列，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由及，，解出，再利用通项公式即可得出结果．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，再利用求和公式即可得出．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由及,‎ 得或（舍）‎ 所以，a1=1‎ 所以 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 所以 ‎ ==.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎21.如图，四棱锥底面为菱形，平面平面，，，，为的中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）取的中点，连接根据条件可得，，进而面；‎ ‎（2）先证两两垂直，以分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直接坐标系，为面的法向量，再求出面的法向量，根据求二面角的余弦值即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）取的中点，连接为菱形，，‎ 分别为中点，.‎ 为的中点，，‎ 又面面，‎ 面面面，‎ ‎，‎ 面.‎ ‎（2）连接为菱形，‎ 为等边三角形，为的中点，，‎ 面两两垂直.‎ 以分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直接坐标系，则为面的法向量，‎ 设面的法向量，‎ 则即，取，则，，‎ ‎，‎ 结合图形可知二面角的余弦值为.‎ ‎22.已知函数在与处都取得极值 ‎（1）求、的值；‎ ‎（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由于函数在与处都取得极值，得到两个方程，，求得.‎ ‎（2）函数在的最大值为，从而得到的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由题可知：，∵函数在，处取得极值，‎ ‎，，即.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 令，，，，‎ 即：在单调递增，在单调递减，又∵，‎ 在上单调递减，在上单调递增，，，‎ 又∵，，‎ 要使对任意，恒成立，则.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数极值、最大值、不等式恒成立问题，考查运算求解能力，要求会借助函数图形分析函数的单调性，从而直观发现函数在哪里取得最值.‎ ‎ ‎