2018-2019学年安徽省定远重点中学高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年安徽省定远重点中学高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )‎ A．4 B．2 C．1 D．－3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据根的判别式求出a的范围，在选项中选出符合条件的值即可.‎ ‎【详解】‎ 方程无实根，所以，解得：，所以只有1符合；‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的应用以及一元二次方程根的判别式，根据题意列式，即可得出结果.‎ ‎2．已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥”的否命题是( )‎ A．若a2＋b2＜，则a＋b≠1‎ B．若a＋b＝1，则a2＋b2＜‎ C．若a＋b≠1，则a2＋b2＜‎ D．若a2＋b2≥，则a＋b＝1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题的否定改写：改为，改为，即可。‎ ‎【详解】‎ 命题的否定改写：改为，改为，故该命题的否命题为若a＋b≠1，则a2＋b2＜，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了命题的否命题改写，抓住改为，改为，即可，难度中等。‎ ‎3．设f(x)存在导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )‎ A．2 B．－1 C．1 D．－2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本道题关键在于看出=，即可。‎ ‎【详解】‎ 式子=，故在该点的切线斜率为-1，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了切线斜率计算公式，难度中等。‎ ‎4．已知条件p：x<－3或x>1，条件q：x>a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )‎ A．a≥－1 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤－3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 关键将p是q的充分不必要条件进行转化，计算a的范围，即可。‎ ‎【详解】‎ 结合是的充分不必要条件，得出q可以推出p，但是p无法推出q，故可知 ‎，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了充分条件，必要条件的判定，关键在于将p是q的充分不必要条件进行转化，计算a的范围，即可，难度中等。‎ ‎5．已知p：x0∈R，.q：x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )‎ A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1]‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意，可知，p,q都为假命题，可知其否命题为真命题，结合二次函数性质，计算m的范围，即可。‎ ‎【详解】‎ 结合p∨q为假命题，可知p为假命题，q为假命题，p的否命题为：‎ 为真命题，得到，q的否命题为：，得到 ‎，综上所述，得到，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了命题真假判断，关键抓住原命题与否命题真假关系，计算范围，即可，难度中等。‎ ‎6．已知双曲线my2－x2＝1(m∈R)与椭圆＋x2＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±3x ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由于的焦点为.双曲线可化为.由题意可得.依题意得.所以双曲线方程为.所以渐近线方程为.故选A.‎ 考点：1.椭圆的性质.2.双曲线的性质.3.双曲线的标准方程.‎ ‎7．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：若△AF1B的周长为4可知，所以方程为 考点：椭圆方程及性质 ‎8．已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为 .‎ ‎【考点定位】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式.‎ ‎9．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由图可知，设导函数的两个零点为，‎ 则原函数在单调递减，单调递增，单调递减，‎ 故选D。‎ ‎10．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为( )‎ A． B．或 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出y′=﹣，设P（x0，），由在点P处的切线斜率为﹣4，利用导数的几何意义得到﹣=﹣4，由此能求出点P的坐标．‎ ‎【详解】‎ ‎∵曲线y=，∴y′=﹣，‎ 设P（x0，），‎ ‎∵在点P处的切线斜率为﹣4，∴﹣=﹣4，解得或，‎ ‎∴点P的坐标是（，2）或（﹣，﹣2）．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点的坐标的求法，涉及到导数、切线、导数的几何意义关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．‎ ‎11．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意，先计算垂直于直线的方程，计算与x轴交点，建立不等式，计算e的范围，即可。‎ ‎【详解】‎ 设直线L为过且与垂直的直线，则直线L的斜率为 而，则该直线方程为，所以该直线与x轴交点坐标为，要使得为钝角，则说明直线在直线L上方，故满足，结合 得到，结合解得，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了椭圆的基本性质，考查了点斜式直线方程计算方法，关键得出两直线与x轴交点的关系，建立不等式，计算e的范围，即可，属于偏难的题。‎ ‎12．函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是( )‎ A．单调增函数 B．单调减函数 C．在上是减函数，在上是增函数 D．在上是增函数，在上是减函数 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算导函数，判定原函数单调性，即可。‎ ‎【详解】‎ ‎ ,结合x的定义域可知，故为增函数，所以选A。‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了导函数与原函数的单调性之间的关系，关键得到，即可，属于较容易的题。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为，设切点，则又 ‎ 考点：利用导数求切点 视频 ‎14．已知函数f(x)＝x4＋ax2－bx，且f′(0)＝－13，f′(－1)＝－27，则a＋b等于____．‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算导函数，结合题意，建立方程，计算a,b，即可。‎ ‎【详解】‎ 计算导函数得到，结合，代入，建立等式，得到，解得，故 ‎【点睛】‎ 本道题考查了导函数计算方法，关键抓住导函数的计算，建立方程，计算参数，即可，难度中等。‎ ‎15．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意，绘制图形，计算直线l的方程，计算直线BF的方程，计算三角形面积，即可。‎ ‎【详解】‎ 绘制图像,如图:‎ 结合双曲线性质可得,直线l的方程为，直线BF与一条渐进线平行，说明 过F，则直线BF的方程为，联解这两个方程，可得B的坐标为 而A的坐标为，所以。‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了双曲线的性质，考查了直线与双曲线的位置关系，难度中等。‎ ‎16．点P在椭圆x2＋＝1上，点Q在直线y＝x＋4上，若|PQ|的最小值为，则m＝_____.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 分析：求出与直线平行且距离为的直线方程，利用该直线与椭圆相切，令，从而求出的值．‎ 详解：根据题意，与直线平行且距离为的直线方程为或(舍去)‎ ‎，联立得，令，解得或.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 故答案为3.‎ 点睛：本题考查了直线与椭圆方程的应用问题，也考查了方程与转化思想，是基础题目．解答本题的关键是将原问题转化为求出与直线平行且距离为的直线方程. ‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知命题p：函数f(x)＝x2－2mx＋4在[2，＋∞)上单调递增，命题q：关于x的不等式mx2＋4(m－2)x＋4>0的解集为R.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的单调性，以及一元二次不等式的解的情况和判别式△的关系即可求出命题p，q为真命题时m的取值范围．根据p∨q为真命题，p∧q为假命题得到p真q假或p假q真，求出这两种情况下m的范围并求并集即可．‎ ‎【详解】‎ 若命题p为真，因为函数f(x)的图象的对称轴为x＝m，则m≤2；若命题q为真，当m＝0时，原不等式为－8x＋4>0，显然不成立．‎ 当m≠0时，则有解得1b>0)上的点P到左，右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M(0，)满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据与离心率可求得a，b，c的值，从而就得到椭圆的方程；（2）设出直线的方程，并与椭圆方程联立消去y可得到关于x的一元二次方程，然后利用中点坐标公式与分类讨论的思想进行解决．‎ 试题解析：（1），∴，‎ ‎，∴，∴，‎ 椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）已知,设直线的方程为，-，‎ 联立直线与椭圆的方程，化简得：，‎ ‎∴，，‎ ‎∴的中点坐标为．‎ ‎①当时，的中垂线方程为，‎ ‎∵，∴点在的中垂线上，将点的坐标代入直线方程得：‎ ‎，即，‎ 解得或．‎ ‎②当时，的中垂线方程为，满足题意，‎ ‎∴斜率的取值为.‎ 考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．‎ ‎19．双曲线的方程是－y2＝1.‎ ‎(1)直线l的倾斜角为，被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程；‎ ‎(2)过点P(3,1)作直线l′，使其被双曲线截得的弦恰被P点平分，求直线l′的方程．‎ ‎【答案】（1）y＝x±5（2）3x－4y－5＝0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合直线l的倾斜角，设出该直线方程，代入双曲线方程，结合弦长公式 ‎，计算参数，即可。（2）分别设出交点坐标，结合点P为该2个交点的中点，建立方程，将交点坐标代入双曲线方程，相减，计算直线斜率，计算方程，即可。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设直线l的方程为y＝x＋m，代入双曲线方程，得3x2＋8mx＋4(m2＋1)＝0，‎ Δ＝(8m)2－4×3×4(m2＋1)＝16(m2－3)>0，‎ ‎∴m2>3.‎ 设直线l与双曲线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，‎ 则x1＋x2＝－m，x1x2＝.‎ 由弦长公式|AB|＝|x1－x2|，得 ‎,‎ ‎∴＝，即m＝±5，满足m2>3，‎ ‎∴直线l的方程为y＝x±5.‎ ‎(2)设直线l′与双曲线交于A′(x3，y3)、B′(x4，y4)两点，‎ 点P(3,1)为A′B′的中点，则x3＋x4＝6，y3＋y4＝2.‎ 由＝4，＝4，‎ 两式相减得(x3＋x4)(x3－x4)－4(y3＋y4)(y3－y4)＝0，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴l′的方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.‎ 把此方程代入双曲线方程，整理得5y2－10y＋＝0，‎ 满足Δ>0，‎ 即所求直线l′的方程为3x－4y－5＝0.‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了直线截双曲线弦长公式，考查了点斜式直线方程计算方法，难度中等。‎ ‎20．斜率为k的直线l经过抛物线y＝x2的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，若线段|AB|的长为8.‎ ‎(1)求抛物线的焦点F的坐标和准线方程；‎ ‎(2)求直线的斜率k.‎ ‎【答案】（1）焦点F的坐标为(0,1)，y＝－1（2）k＝±1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合抛物线性质，计算焦点坐标和准线方程，即可。（2）结合抛物线定义，计算出的值，设出直线l的方程，得到，将直线l方程代入抛物线方程，结合根与系数关系，计算k，即可。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)化y＝x2为标准方程x2＝4y，‎ 由此，可知抛物线的焦点F的坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由抛物线的定义知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，‎ 于是|AB|＝y1＋y2＋2，‎ 又|AB|＝8，所以y1＋y2＝6，‎ 由(1)得，抛物线的焦点为(0,1)，‎ 所以直线l的方程为y＝kx＋1，‎ 所以kx1＋1＋kx2＋1＝6，k(x1＋x2)＝4，‎ 由直线l的方程与抛物线方程得kx＋1＝，‎ 即x2－4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，所以x1＋x2＝4k，‎ 代入k(x1＋x2)＝4，得k2＝1，k＝±1.‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了抛物线的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，关键在于将直线方程代入抛物线方程，难度中等。‎ ‎21．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．‎ ‎【答案】(1)；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，‎ 当x＝2时，y＝．‎ 又f′(x)＝a＋，‎ 于是，解得 故f(x)＝x－．‎ ‎(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．‎ 令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．‎ 令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．‎ 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6．‎ 曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．‎ ‎22．设函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的偶函数，当x∈[－1,0)时，f(x)＝x3－ax(a为实数)．‎ ‎(1)当x∈(0,1]时，求f(x)的解析式；‎ ‎(2)若a>3，试判断f(x)在(0,1]上的单调性，并证明你的结论；‎ ‎(3)是否存在a，使得x∈(0,1]时，f(x)有最大值1?‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)根据分段函数的奇偶性可得当时，求的解析式；（2）由于可得恒成立，得在上为增函数，根据对称性得在上为减函数；（3）讨论时，当时两种情况，研究单调性并求最值，舍去不合题意的情况，即可得结论.‎ 试题解析： (1)设，则，又是偶函数，‎ ‎.‎ ‎（2）,又，即在上为增函数.‎ ‎（3）当时，在上是增函数，，（不合题意，舍去）.‎ 当时，，令，如下表：‎ ‎↗‎ 最大值 ‎↘‎ 在处取得最大值，满足条件，当时，‎ 在上单调递减，在无最大值，所以存在，使在上有最大值.‎