宁夏吴忠中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

宁夏吴忠中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

吴忠中学2019-2020学年第一学期期末考试 高二年级数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式求得集合B，由补集和并集运算即可得解.‎ ‎【详解】已知集合，解一元二次不等式可得，‎ 集合，由补集运算可得，‎ 根据并集运算可得，‎ 即，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了集合补集和并集的简单运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.下列双曲线中，离心率为的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求得各选项的离心率即可得解.‎ ‎【详解】对于A，中，则，所以A错误；‎ 对于B，中，则，所以B错误；‎ 对于C，中，则，所以C错误；‎ 对于D，中，则，所以D正确；‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了根据标准方程求双曲线离心率的方法，属于基础题.‎ ‎3.已知空间向量，（）.若，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，根据空间向量平行的坐标关系，即可求得的值.‎ ‎【详解】空间向量，，‎ 若，则满足，‎ 所以由向量的数乘运算可得，‎ 解得，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量平行的坐标关系，共线基本定理的应用，属于基础题.‎ ‎4.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则的面积为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等腰三角形性质，先求得，再由三角形面积公式即可求解.‎ ‎【详解】在中，，，‎ 由等腰三角形性质可得，‎ 则，‎ 由三角形面积公式可得，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了三角形面积公式的简单应用，属于基础题.‎ ‎5.下列命题中，假命题是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. 的充要条件是 D. 命题“若，，则”的逆否命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数性质可判断A，由特殊值法可说明B是正确的，根据特殊值说明C是错误的，由命题与逆否命题同真同假，即可判断D.‎ ‎【详解】对于A，由指数函数性质可知，，所以A正确；‎ 对于B，，当时成立，所以B正确；‎ 对于C，，当时不成立，所以C错误；‎ 对于D，“若，，则”真命题，则其逆否命题为真命题，所以D正确；‎ 综上可知，C为假命题.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了了命题真假的判断，含存在量词与全称量词的命题否定，原命题与逆否命题关系，属于基础题.‎ ‎6.已知双曲线，那么它的焦点到渐近线的距离为（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线方程，求得焦点坐标和渐近线方程，由点到直线距离公式即可求解.‎ ‎【详解】双曲线，‎ 则其右焦点为，渐近线方程为，‎ 不妨设右焦点，取渐近线方程为，‎ 由点到直线距离公式可得，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线标准方程及几何性质的简单应用，双曲线渐近线方程及点到直线距离公式的应用，属于基础题.‎ ‎7.已知数列的前n项和满足：，且，那么（ ）‎ A. 1 B. ‎9 ‎C. 10 D. 55‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用赋值法，令，代入后结合即可得.‎ ‎【详解】数列的前n项和满足：，，‎ 令，代入可得，‎ 即，‎ 故，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的性质与简单应用，求数列中的项，属于基础题.‎ ‎8.椭圆的焦点为，，点M在椭圆上，且，则M到y轴的距离为（ ）‎ A. 3 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，代入椭圆方程；根据及向量垂直的坐标关系，可得解方程组即可求得的值，进而可得M到y轴的距离.‎ ‎【详解】设，点M在椭圆上，‎ 所以 椭圆的焦点为，，‎ 则，，‎ 所以，，‎ 由，‎ 可得，‎ 化简可得 联立可解得，‎ 故M到y轴的距离为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了点与椭圆的位置关系，平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.‎ ‎9.若正实数x，y，满足，则的最小值是（ ）‎ A. 1 B. ‎3 ‎C. 9 D. 18‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所给等式变形后可得，并根据正实数x，y可求得的范围；将代入，变形后以分离常数形式构造基本不等式，即可求得最小值.‎ ‎【详解】正实数x，y，满足，‎ 变形可得，‎ 由x，y是正实数可得，解得.‎ 所以 当且仅当时，即时取等号，‎ 所以的最小值为9.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了由等量关系求最值，基本不等式求最值的应用，分离常数方法的应用，属于中档题.‎ ‎10.已知实数x，y满足约束条件，若使目标函数（）取得最小值的最优解有无数个，则实数a的值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出不等式组表示可行域，根据最优解有无数个，所以目标函数的斜率与可行域边界的直线重合，结合图形即可求解.‎ ‎【详解】根据不等式组，画出可行域如下图所示：‎ 目标函数（），变形为 当斜率时，最小值有无数个最优解，‎ 解得，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划的综合应用，根据最优解求参数的值，属于中档题.‎ ‎11.如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三棱柱的边长和角度关系，设棱长为1，分别求得、、的数量积，并用表示出和，结合空间向量数量积的定义求得，再求得和，即可由向量的夹角公式求得异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎【详解】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，设棱长为1，‎ 则，，.‎ ‎，，‎ 所以 而，‎ ‎，‎ 所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，空间向量数量积的定义与运算，异面直线夹角的向量求法，属于中档题.‎ ‎12.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，，，，为椭圆的顶点，F 为右焦点，延长与交于点P，若为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆的长半轴为短半轴为，半焦距为.根据向量的坐标运算表示出，.由为锐角，结合向量数量积的坐标运算，即可求得，转化为离心率的不等式，解不等式并结合椭圆离心率的范围即可求解.‎ ‎【详解】设椭圆的长半轴为短半轴为，半焦距为.‎ 为与的夹角，而，‎ ‎，‎ 由为锐角，‎ 则，‎ 即，又因为，‎ 则，‎ 不等式两边同时除以可得，‎ 解得或，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 即该椭圆的离心率的取值范围为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的几何性质简单应用，平面向量的坐标表示，平面向量夹角运算，离心率取值范围的求法，属于中档题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上 ‎13.已知集合，，则的元素个数为______个 ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出曲线和函数图像，根据交点个数即可判断的元素个数.‎ ‎【详解】集合，，‎ 画出椭圆的曲线及函数图像如下图所示：‎ 由图像可知，两个曲线有2个交点，因而有2个元素，‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】本题考查了利用数形结合法求集合交集个数，属于基础题.‎ ‎14.设坐标原点为O，过抛物线焦点的直线交于A、B两点，则等于______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当斜率存在时，设出直线方程和两个交点，联立直线方程与抛物线方程，由韦达定理表示出，进而求得.根据平面向量数量积的坐标表示，求得即可；当斜率不存在时，易得两个交点坐标，可得的值.‎ ‎【详解】抛物线，则焦点坐标为.‎ 当斜率存在时，设直线方程为，交点.‎ 则，化简可得.‎ 则 ‎ 所以 ‎，‎ 当斜率不存在时，易得两个交点坐标为，‎ 则也成立 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系及综合应用，平面向量数量积的坐标表示及运算，属于中档题.‎ ‎15.如图，正三棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点，连接，可证明平面，则即为与平面所成角.由线段关系即可求得的正弦值.‎ ‎【详解】取中点，连接，如下图所示：‎ 正三棱柱，，‎ 则，‎ 因为平面，‎ 平面，所以 而，则平面，‎ 则即与平面所成角.‎ 因为，‎ 所以 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与平面夹角的求法，找到直线与平面夹角是解决问题的关键，属于中档题.‎ ‎16.设x，y为实数，满足，，则的最小值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用方程组形式，可得，求得后结合不等式性质即可求得的最小值.‎ ‎【详解】设 即 所以，解得 所以 因为，，‎ 所以 由不等式性质可知 即，当且仅当时取等号，解得.‎ 综上可知，的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的化简变形应用，不等式性质求最值，关键是要求出两个不等式间的关系，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17. △ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．‎ ‎（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列， ‎ ‎∴2b=a+c， ‎ 利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC， ‎ ‎∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）， ‎ ‎∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）； ‎ ‎（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列， ‎ ‎∴b2=ac，‎ ‎∴cosB==≥=，‎ 当且仅当a=c时等号成立， ‎ ‎∴cosB的最小值为．‎ 考点：余弦定理；正弦定理 ‎18.在平面直角坐标系中，动点P到两点、的距离之差的绝对值等于.设点P的轨迹为C.‎ ‎（1）求C的轨迹方程；‎ ‎（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件，结合双曲线定义即可求得双曲线的标准方程.‎ ‎（2）当斜率不存在时，不符合题意；当斜率存在时，设出直线方程，联立双曲线，变形后由中点坐标公式可求得斜率，即可求得直线方程.‎ ‎【详解】（1）动点P到两点的距离之差的绝对值等于，且，‎ 设，则，‎ 根据双曲线定义可知动点P轨迹C为双曲线，‎ 焦点在轴上，且，所以，‎ 则双曲线的标准方程为C：.‎ ‎（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，‎ 当直线斜率不存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意；‎ 当斜率存在时，设直线方程为，设，‎ 则，化简可得，‎ 因为有两个交点，所以 ‎ 化简可得恒成立，‎ 所以，‎ 因为恰好为线段的中点，则，‎ 化简可得，‎ 所以直线方程为，即.‎ ‎【点睛】本题考查根据双曲线定义求双曲线标准方程，直线与双曲线的位置关系，由中点坐标求直线方程，属于中档题.‎ ‎19.已知抛物线C：（）上一点到焦点的距离为4.‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）若，直线l：与抛物线C相交于A，B两点，求的面积.‎ ‎【答案】（1）抛物线方程为或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点带入抛物线方程，结合抛物线定义可得的方程，解方程即可确定的值，进而求得抛物线方程.‎ ‎（2）由和（1）可确定抛物线方程，将抛物线方程与直线方程联立，根据弦长公式求得，再由点到直线距离公式可得原点到直线的距离，即可求得的面积.‎ ‎【详解】（1）点在抛物线（）上，则，‎ 点到焦点的距离为4，由抛物线定义可知点到准线的距离也为4，则，‎ 所以，解得或，‎ 所以抛物线方程为或，‎ ‎（2）因为，由（1）可知抛物线方程为，‎ 直线l：与抛物线C相交于A，B两点，设，‎ 则，化简可得，‎ 则 由弦长公式可得，‎ 由点到直线距离公式可得原点到直线的距离为，‎ 则 ‎【点睛】本题考查了抛物线的标准方程求法，直线与抛物线的位置关系，中点弦所在直线方程的求法，属于中档题.‎ ‎20.如图，长方体中，，，点P在棱上移动.‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）等于何值时，二面角的大小为.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件易得和，则由线面垂直判定定理可得平面，进而证明；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，设，求得平面的法向量，平面的法向量为，再根据二面角的大小为及空间向量数量积的坐标运算，求得的值，即确定的值.‎ ‎【详解】（1）证明：长方体中，，‎ 则为正方形，所以 而平面，所以，‎ 因为，‎ 所以平面，‎ 因为平面，‎ 所以 ‎（2）以D为原点建立空间直角坐标系，如下图所示:‎ 则 设，平面的法向量为，‎ 所以 则，即 令，解得 ‎ 所以 而平面的法向量为.‎ 由二面角的大小为可得 即 解得或 ‎ 因为，点P在棱上移动.‎ 所以 即时二面角的大小为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直的方法，空间向量法由二面角大小求线段长度，属于中档题.‎ ‎21.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且平面，，M，N分别为，的中点.‎ ‎ ‎ ‎（1）记平面与底面的交线为l，试判断直线l与平面的位置关系，并证明.‎ ‎（2）点Q在棱上，若Q到平面的距离为，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）直线平面，证明见解析.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，可由线面平行判定定理证明平面，再由线面平行性质及平行线的传递性证明直线与平面平行即可.‎ ‎（2）以A为原点建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并设，，结合坐标运算可用表示的坐标，并求得平面的法向量.根据条件及点到平面距离的向量求法，即可确定的值，进而求得线段的长.‎ ‎【详解】（1）直线与平面平行，证明如下：‎ 连接，如下图所示：‎ M，N分别为，的中点，‎ 则由中位线定理可得，‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面，‎ 平面与底面的交线为，‎ 由线面平行的性质可得，‎ 又因为，‎ 则由平行线传递性可得 因为，且平面，平面，‎ 所以直线平面.‎ ‎（2）根据题意，以A为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：‎ 则设，，（），‎ 所以 解得，所以 则由中点坐标公式可得，‎ 则 设平面的法向量为，‎ 则，即 所以，令，代入解得.‎ 即 而，‎ 所以Q到平面的距离，‎ 解得，因为，‎ 所以.‎ 所以 ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定与线面平行的性质应用，由点到平面距离及空间向量法求参数，属于中档题.‎ ‎22.如图，椭圆C：（），，分别是椭圆C的左，右焦点，点D在椭圆上，且，，的面积为.‎ ‎ ‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点A，使为常数？若存在，求出点A的坐标和这个常数；若不存在，请说明理由 ‎【答案】（1）（2），常数为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据线段比例关系及面积，集合椭圆中关系，可得方程组，解方程即可求得椭圆的标准方程.‎ ‎（2）假设存在点满足为常数.当斜率存在时，设出直线方程，并联立椭圆方程，由韦达定理表示出，进而表示出.根据平面向量数量积的坐标运算，结合系数比相同时为常数，即可求得的值，进而确定的值；当斜率不存在时，易得两个交点坐标，即可确定取的值时的值是否与斜率存在时的一致.‎ ‎【详解】（1）椭圆C：（），，分别是椭圆C的左，右焦点，点在椭圆上，且，.‎ 则点的坐标为，（）.代入椭圆方程可得，‎ 解得.‎ 又因为，的面积为.‎ 所以 ，解得 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）假设在轴上存在点A，使为常数，设.‎ 当直线的斜率存在时，直线过，设..‎ 则，化简可得，‎ 所以.‎ 所以，‎ 则 ‎，‎ 因为为常数，‎ 所以，解得，‎ 此时 当直线的斜率不存在时，直线与椭圆的两个交点坐标分别为.‎ 则 所以 当时，.‎ 综上可知，在轴上存在点，使得为常数，该常数为.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系及应用，由韦达定理求参数，分类讨论思想的应用，平面向量数量积的坐标运算，综合性较强，属于难题.‎