数学理卷·2017届高三山东省潍坊市实验中学高三下学期三轮复习第四次单元测试（三轮拉练四）（2017

数学理卷·2017届高三山东省潍坊市实验中学高三下学期三轮复习第四次单元测试（三轮拉练四）（2017

高三数学（理科）三轮过关检测（四）‎ 一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知，其中是实数，是虚数单位，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 高三（3）班共有学生人，座号分别为，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为的样本．已知号、号、号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 已知函数，则使的的集合是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 结束 开始 输入 输出 是 否 ‎5. 已知函数是一个求余函数，其格式为，其结果为除以的余数，例如. 右面是一个算法的程序框图，‎ 当输入的值为时，则输出的结果为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 6. 设满足约束条件，则下列不等式 恒成立的是（ ）‎ A． 　　 　B．　　 　C． 　　 　D．‎ ‎7. “”是“函数在上单调递增”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8. 将甲、乙等名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎9.已知函数有两个极值点，则直线的斜率的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知双曲线的右焦点为，过作斜率为的直线交双曲线的渐近线于点，点在第一象限，为坐标原点，若的面积为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11. 已知不共线的平面向量，满足，，那么 ； ‎ 俯视图 正（主）视图 侧（左）视图 第14题图 ‎12. 某班有名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在分以上的有 人； ‎ ‎13.已知的最小值为n，则二项式展开式中x2项的系数为　　　　　　．　‎ ‎ ‎ 第14题图 ‎14.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ；‎ ‎15. 若函数的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ；‎ 三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16. （本小题满分12分）已知向量,,实数为大于零的常数，函数,，且函数的最大值为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）在中，分别为内角所对的边，若，,且,求的最小值.‎ ‎17．（本小题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过公里的地铁票价如下表：‎ 乘坐里程（单位：）‎ 票价（单位：元）‎ 现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过公里.已知甲、乙乘车不超过公里 的概率分别为，，甲、乙乘车超过公里且不超过公里的概率分别为， .‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；‎ ‎（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．‎ 18． ‎（本小题满分12分）‎ ‎ 圆O上两点在直径的两侧（如图甲），沿直径将圆折起形成一个二面角（如图乙），若的平分线交弧于点，交弦于点为线段的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面∥平面；（Ⅱ）若二面角为直二面角，且，，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 设是等差数列，是各项都为正整数的等比数列，且，，，．（Ⅰ）求，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足（），且，试求 的通项公式及其前项和．‎ ‎20．（本小题满分13分）已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离为，且点在圆上．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，若椭圆上存在关于直线对称的两个不同的点，求椭圆的离心率的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分14分）已知函数（为实数）．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，且存在满足，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）已知，求证：．‎ 高三数学三轮过关检测四 一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．‎ ‎ D C B A B C A C A C ‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11. 12. 13. 15 14． 15．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由已知 ‎……2分 ‎ ……………………5分 因为，所以的最大值为，则 …………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以 化简得 ‎ 因为，所以 则，解得 …………………………………………………8分 因为，所以 则，所以 ……………10分 则 所以的最小值为 …………………………………………………12分 ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过公里且不超过公里的概率分别为，‎ 则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率 ……………2分 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率 …………………4分 ‎（Ⅱ）由题意可知，‎ 则 ‎ ………………………………………………………………10分 所以的分布列为 则 ……………………………………12分 ‎18【解答】证明：‎ ‎（Ⅰ）∵OF为△ABC的一条中位线，∴OF∥AC，又OF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴OF∥平面ACD．‎ 又∵OG为∠DOB的平分线，∴OG⊥BD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，‎ ‎∴OG∥AD，又OG⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴OG∥平面ACD，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 又∵OG，OF为平面OGF内的两条相交直线，‎ ‎∴平面OGF∥平面CAD．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分 ‎（Ⅱ）∵O为AB的中点，∴CO⊥AB，∵平面CAB⊥平面DAB，平面CAB∩平面DAB=AB，OC⊂平面ABC，‎ ‎∴CO⊥平面DAB，又Rt△DAB中，AB=2，∠DAB=60°，∴AD=1，又OG∥AD，OG=1，OA=1，‎ ‎∴四边形ADGO为菱形，∠AOG=120°，设DG中点为M，则∠AOM=90°，即OM⊥OB，‎ ‎∴直线OM，OB，OC两两垂直，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分 以O为原点，以OM，OB，OC为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．‎ 则B（0，1，0），C（0，0，1），D（，，G（，，F（0，，）．‎ ‎∴=（，，=（0，﹣1，1），=（，﹣，0）．‎ 设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，‎ ‎∴，令y=1，=（，1，1）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分 ‎∴=1，||=1， =．‎ ‎∴=．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分 ‎∴直线FG与平面BCD所成角的正弦值为．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 ‎【考点】直线与平面所成的角；平面与平面平行的判定．空间角的计算，空间向量在立体几何中的应用．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有 且 ‎ 即 解得：，或，‎ 由于是各项都为正整数的等比数列，所以……………………………………2分 从而，． ……………………………………4分 ‎（Ⅱ） ‎ ‎ ， ‎ 两式相除：，‎ 由，可得：‎ 是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，以为公比的等比数列 ……………………………………………………………6分 当为偶数时，‎ ‎ ……………………………………………………………7分 ‎ …………9分 当为奇数时，‎ ‎…………………………………………………………10分 为奇数 为偶数 为奇数 为偶数 ‎ ， …………………12分 ‎20．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）设点的坐标为，由题意可知 ………………………2分 解得： ‎ 所以抛物线的方程为： ………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线的焦点 ‎ ‎ 椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合 椭圆半焦距……①…………………………………………5分 设是椭圆上关于直线对称的两点， ‎ 由……（*）‎ 则，‎ 得：……②………………………………………………………………7分 对于（*），由韦达定理得：‎ 中点的坐标为 将其代入直线得：‎ ‎……③……………………………………………………9分 由①②③消去，可得：， ‎ ‎ 椭圆的离心率，‎ ‎ ………………………………………………………………………13分 ‎21．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）当时，，‎ ‎，‎ 则，‎ 函数的图象在点的切线方程为：，‎ 即 …………………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ），由 由于函数在区间上不存在极值，所以或 ………………………5分 由于存在满足，所以……………………………………6分 对于函数，对称轴 ‎①当或，即或时，，‎ 由，结合或可得：或 ‎②当，即时，，‎ 由，结合可知：不存在； ‎ ‎③当，即时，；‎ 由，结合可知： ‎ 综上可知： 或………………………………………………………………9分 ‎（Ⅲ）当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴在处取得最大值 ‎ 即，∴，……………………………………11分 令，则，即，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 故． ………………………………………………14分