高考数学【理科】真题分类详细解析版专题3 函数（原卷版）
专题03 函数
【2013年高考试题】
（2013·新课标I理）16、若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，
则f(x)的最大值是______.
（2013·新课标Ⅱ理）（8）设=log36,b=log510,c=log714,则
（A）c＞b＞a （B）b＞c＞a
（C）a＞c＞b (D)a＞b＞c
（2013·浙江理）3.已知为正实数，则（ ）
A. B.
C. D.
（2013·天津理）7. 函数的零点个数为（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
（2013·上海理）14．对区间I上有定义的函数，记，
已知定义域为的函数有反函数，且
，若方程有解，则
（2013·上海理）12．设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为________
（2013·陕西理）10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有 （ ）
(A) [－x] ＝ －[x] (B) [2x] ＝ 2[x]
(C) [x＋y]≤[x]＋[y] (D) [x－y]≤[x]－[y]
（2013·陕西理）1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 则为 （ ）
(A) [－1,1] (B) (－1,1)
(C) (D)
（2013·山东理）8.函数的图象大致为
（2013·山东理）3.已知函数为奇函数,且当时, ,
则
A. B. C. D.
（2013·辽宁理）（11）已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为,则( )
（A） （B）
（C） （D）
（2013·江西理）2.函数的定义域为 （ ）
A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]
（2013·湖南理）5.函数的图像与函数的图像的交点
个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
（2013·福建理）10. 设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：；对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）
（2013·大纲理）9. 若函数在是增函数，
则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2013·大纲理）4. 已知函数f(x)的定义域为，则函数的定义域（ ）
A． B． C． D．
（2013·大纲理）5.函数（x>0）的反函数=（ ）
A． B． C． D．
（2013·北京理）5.函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，
则f(x)=（ ）
A. B. C. D.
（2013·安徽理）（10）若函数有极值点，且，
则关于的方程的不同实根个数是
（2013·安徽理）(8) 函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围为
(A) (B)
(C) (D)
（2013·大纲理）（本小题满分12分）已知函数
（I）若时，，求的最小值；
（II）设数列
（2013·福建理）8. 设函数的定义域为R，是的极大值点，
以下结论一定正确的是（ ）
A． B.是的极小值点
C. 是的极小值点 D.是的极小值点
（2013·福建理）17.（本小题满分13分）
已知函数
（1） 当时，求曲线在点处的切线方程；
（2） 求函数的极值
（2013·广东理）21．（本小题满分14分）
设函数(其中).
(Ⅰ) 当时,求函数的单调区间；
(Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值.
（2013·湖南理）16．设函数
（1）记集合，
则所对应的的零点的取值集合为____。
（2）若 .（写出所有正确结论的序号）
①
②
③若
（2013·福建理）17.（本小题满分13分）已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值．
（2013·湖南理）22．（本小题满分13分）
已知，函数。
（I）；记求的表达式；
（II）是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。
（2013·山东理）21. (本小题满分13分)
已知函数（是自然对数的底数，）.
（Ⅰ）求的单调区间、最大值；
（Ⅱ）讨论关于的方程根的个数。
（2013·陕西理）21. (本小题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;
(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线 公共点的个数.
(Ⅲ) 设a
0, 存在唯一的s, 使.
(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.
（2013·浙江理）22．已知，函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求的最大值。
【2012年高考试题】
1.【2012高考真题重庆理8】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
（A）函数有极大值和极小值
（B）函数有极大值和极小值
（C）函数有极大值和极小值
（D）函数有极大值和极小值
2.【2012高考真题新课标理12】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）
3.【2012高考真题陕西理7】设函数，则（ ）
A. 为的极大值点 B.为的极小值点
C. 为的极大值点 D. 为的极小值点[学
4.【2012高考真题辽宁理12】若，则下列不等式恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
5.【2012高考真题湖北理3】已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为
A． B．
C． D．
6.【2012高考真题全国卷理10】已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝
（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1
7.【2012高考真题浙江理16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______。
8.【2012高考真题江西理11】计算定积分___________。
9.【2012高考真题山东理15】设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.
10.【2012高考真题广东理12】曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 ．
11.【2012高考真题上海理13】已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为 。
12.【2012高考真题陕西理14】设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 .
13.【2012高考真题浙江理22】(本小题满分14分)已知a＞0，bR，函数．
14.【2012高考真题湖南理22】（本小题满分13分）
已知函数=，其中a≠0.
（1） 若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.
（2）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
15．【2012高考真题湖南理8】已知两条直线 ：y=m 和： y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，的最小值为
A． B. C. D.
16.【2012高考真题湖北理9】函数在区间上的零点个数为
A．4 B．5
C．6 D．7
17.【2012高考真题广东理4】下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是
A.y=ln（x+2） B.y=- C.y=（）x D.y=x+
18.【2012高考真题福建理7】设函数则下列结论错误的是
A.D（x）的值域为{0,1}
B. D（x）是偶函数
C. D（x）不是周期函数D.
D（x）不是单调函数
其中真命题的序号是
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
20.【2012高考真题福建理15】对于实数a和b，定义运算“﹡”：，
设，且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________.
21.【2012高考真题上海理7】已知函数（为常数）。若在区间上是增函数，则的取值范围是 。
22.【2012高考真题上海理9】已知是奇函数，且，若
，则 。
23.【2012高考江苏5】（5分）函数的定义域为 ▲ ．
24.【2012高考真题北京理14】已知，，若同时满足条件：
①，或；
②, 。
则m的取值范围是_______。
25【2012高考真题天津理14】已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.
26.【2012高考江苏10】（5分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，
其中．若，
则的值为 ．
27.【2012高考江苏17】（14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，
炮弹可以击中它？请说明理由．
28．【2012高考真题湖南理20】（本小题满分13分）
某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.
（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；
（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.
【2011年高考试题】
1. (2011年高考山东卷理科10)已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为
（A）6 （B）7 （C）8 （D）9
2．(2011年高考辽宁卷理科9)设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x
的取值范围是（ ）
（A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+） （D）[0，+）
3．(2011年高考辽宁卷理科11)函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f’(x)＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
（A）（-1，1） （B）（-1，+）
（C）（-，-1） （D）（-，+）
5. (2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ）
A B C D
6. (2011年高考全国新课标卷理科9)由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为
（A） （B）4 （C） （D）6
7. (2011年高考天津卷理科8)对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D.
8. (2011年高考江西卷理科3)若，则的定义域为
A. B. C. D.
9. (2011年高考江西卷理科4)若，则的解集为
A. B. C. D.
10. (2011年高考湖南卷理科6)由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为
A. B. 1 C. D.
11. (2011年高考湖南卷理科8)设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为
A. 1 B. C. D.
12．(2011年高考广东卷理科4)设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数
C．|| +g(x)是偶函数 D．||- g(x)是奇函数
13．(2011年高考湖北卷理科6)已知定义在R上的奇函数和偶函数满足且，若，则
A.2 B. C. D.
14. (2011年高考湖北卷理科10) 放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位年）满足函数关系：，其中为t=0时铯137的含量，已知t=30时，铯137含量的变化率是—10ln2（太贝克/年），则M(60)=
A.5太贝克 B.75ln2太贝克 C.150ln2太贝克 D.150太贝克
15．(2011年高考陕西卷理科3)设函数满足
，则的图像可能是
16．(2011年高考陕西卷理科6)函数在内
（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点
（C）有且仅有两一个零点（D）有无穷个零点
17.(2011年高考重庆卷理科5)下列区间中，函数，在其上为增函数的是
（A） (B)
(C) (D)
18． (2011年高考全国卷理科8)曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为
(A) (B) (C) (D)1
19．(2011年高考全国卷理科9)设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=
(A) - (B) (C) (D)
21．(2011年高考上海卷理科16)下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为 （ ）
A． B． C． D．
22. (2011年高考山东卷理科16)已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点 .
23．(2011年高考浙江卷理科11)若函数为偶函数，则实数 。
24. (2011年高考广东卷理科12)函数在 处取得极小值.
25．(2011年高考陕西卷理科11)设，若，则
26. (2011年高考四川卷理科13)计算 .
27. (2011年高考四川卷理科16)函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：
① 函数=（xR）是单函数；
② 若为单函数，
③ 若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；
④ 函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.
其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）
28.(2011年高考江苏卷2)函数的单调增区间是__________
29.(2011年高考江苏卷8)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________
30．(2011年高考安徽卷江苏11)已知实数，函数，若，则a的值为________
31．(2011年高考北京卷理科13)已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______
32．(2011年高考上海卷理科1)函数的反函数为 。
33．(2011年高考上海卷理科13)设是定义在上，以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 。
【2010高考试题】
则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
2.（2010全国卷2理数）（10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
（A）64 （B）32 （C）16 （D）8
3.（2010全国卷2理数）（2）.函数的反函数是
（A） （B）
（C） （D）
4.（2010辽宁理数）(1O)已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是
(A)[0,) (B) (D)
5.（2010江西理数）12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为
6.（2010江西理数）9．给出下列三个命题：
①函数与是同一函数；高☆考♂资♀源*网
②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；
③若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数。
其中真命题是
A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②
8.（2010四川理数）（3）2log510＋log50.25＝
（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4
9.（2010天津理数）（8）若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是
（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）
（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）
10.（2010天津理数）（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是
(A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数
（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数
（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数
（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
11.（2010天津理数）（2）函数f(x)=的零点所在的一个区间是
(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）
12.（2010福建理数）4．函数的零点个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
13.（2010重庆理数）（15）已知函数满足：，，则=_____________.
14.（2010天津理数）（16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
取值范围。
16.（2010江西理数）19. （本小题满分高☆考♂资♀源*网12分）
设函数。
17.（2010北京理数）(18)(本小题共13分)
已知函数()=In(1+)-+(≥0)。
(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求()的单调区间。
18.（2010四川理数）（22）（本小题满分14分）
设（且），g(x)是f(x)的反函数.
（Ⅰ）设关于的方程求在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；
（Ⅱ）当a＝e（e为自然对数的底数）时，证明：；
（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较与4的大小，并说明理由.
【2009高考试题】
1．( 2009·福建理5)下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>的是
A．= B． =
C ．= D
2．( 2009·福建理10)．函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集都不可能是
A． B C D
3．( 2009·广东理3) 若函数是函数的反函数，其图像经过点，则
A． B． C． D．
4．( 2009·广东理8)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是
5． (2009·辽宁文理9)已知偶函数在区间上单调增加，则的x取值范围是
6．( 2009·辽宁理12)若满足，满足，则+=
7．( 2009·宁夏海南12)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值。
设 (x0),则的最大值为
（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7
8．( 2009·山东文理6．) 函数的图像大致为( )．
9． (2009·浙江理10)对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有．下列结论中正确的是( )
10．( 2009·山东文理14)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
11．( 2009·山东文理16)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则
12.( 2009·山东理21.)（本小题满分12分）
两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
（1）将y表示成x的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。
13. (2009·海南宁夏理21)（本小题满分12分）
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对于任意有。
15. (2009·福建理20)（本小题满分14分）
已知函数,且
(1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；
（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：
（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；
（II）若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）
（Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；
17. (2009·广东理20)（本小题满分14分）
已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．
（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．
18.( 2009·浙江20090423
理22)（本题满分14分）已知函数，，其中．
（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；
（II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19.（2009·安徽理19）（本小题满分12分）
已知函数，讨论的单调性.
本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。
础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。
【2008高考试题】
1．（2008·广东卷理19）设，函数，，，试讨论函数的单调性．
2．（2008·江苏卷18）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。
（1）求实数的取值范围；
（2）求圆的方程；问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论
3．（2008·江苏20）若为常数，
且
（I）求对所有的实数成立的充要条件（用表示）；
(II)设为两实数，且，若，求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）。
4．(2008·山东理14)设函数，若，，则的值为 。
5．(2008·广东理7)设，若函数，有大于零的极值点，则（ B ）
A． B． C． D．
7.(安徽理6)设＜b,函数的图像可能是
8.(安徽理9)已知函数在R上满足，则曲线
在点处的切线方程是学科网
（A） （B） （C） （D）
9.(辽宁理7)曲线在点处的切线方程为
10. (福建理4) 等于
A． B. 2 C. -2 D. +2
12.（2008·江苏8）直线是曲线的一条切线，则实数b＝ ▲
13. （2008·江苏13）若AB=2, AC=BC ，则的最大值 ▲
14．（2008·广东理科19卷）（本小题满分14分）
15．(2008·山东理21)（本题满分12分）已知函数其中为常数。
（I）当时，求函数的极值；
