2017高考数学（理,江苏）二轮专题复习与策略（教师用书） 第1部分 专题2 第9讲 三角恒等变换与解三角形

2017高考数学（理,江苏）二轮专题复习与策略（教师用书） 第1部分 专题2 第9讲 三角恒等变换与解三角形

第9讲　三角恒等变换与解三角形 题型一| 三角变换与求值 ‎　(1)求值：＝________.‎ ‎(2)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．‎ ‎(3)若cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0<β<<α<，则α＋β的值为________．‎ ‎[解题指导]　(1)利用10°＝30°－20°，然后利用三角恒等变换求解．‎ ‎(2)化2α＋为2－是关键．‎ ‎(3)利用(2α－β)－(α－2β)＝α＋β，求出cos(α＋β)的值．‎ ‎(1)　(2)　(3)　[(1)由题意得：＝‎ ＝＝.‎ ‎(2)∵α为锐角且cos＝，∴sin＝.‎ ‎∴sin＝sin ‎＝sin 2cos －cos 2sin ‎＝sincos－ ‎＝××－＝－＝.‎ ‎(3)∵cos(2α－β)＝－且<2α－β<π，∴sin(2α－β)＝.‎ ‎∵sin(α－2β)＝且－<α－2β<，∴cos(α－2β)＝.‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]‎ ‎＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)·sin(α－2β)‎ ‎＝－×＋×＝.‎ ‎∵<α＋β<，∴α＋β＝.]‎ ‎【名师点评】　三角恒等变换的基本思路 ‎1．“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan 45°等；‎ ‎“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”；‎ ‎2．角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＝－等．‎ ‎1．设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝________.‎ 　[依题意得sin α＝＝，cos(α＋β)＝±＝±.又α，β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，注意到>>－，所以cos(α＋β)＝－.‎ cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.]‎ ‎2．(2016·苏锡、常镇调研二)若tan α＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－2α)＝________.‎ ‎【导学号：19592029】‎ ‎－　[∵tan(α－β)＝－，∴tan(β－α)＝.‎ ‎∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝－.]‎ ‎3．已知3tan＋tan2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)＝________.‎ ‎－　[∵3tan＋tan2＝1，‎ ‎∴tan α＝＝，‎ 由sin β＝3sin(2α＋β)得 sin[(α＋β)－α]＝3sin[(α＋β)＋α]．‎ 即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α＋3cos(α＋β)sin α，‎ ‎∴tan(α＋β)＝－2tan α＝－.]‎ ‎4．已知sin 2α＝，则cos2＝________.‎ 　[cos2＝＝＝.]‎ 题型二| 利用正、余弦定理解三角形 ‎　(1)(2014·江苏高考)若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C ‎，则cos C的最小值是________．‎ ‎(2)在△ABC中，已知2acos B＝c，sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋，则△ABC为________三角形．‎ ‎[解题指导]　(1)利用正弦定理得a＋b＝2c，然后利用余弦定理及均值不等式求解．‎ ‎(2)2acos B＝c得角的关系 sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋求sin A―→判断三角形的形状 ‎(1)　(2)等腰直角　[(1)由sin A＋sin B＝2sin C，结合正弦定理得a＋b＝2c.‎ 由余弦定理得cos C＝＝＝≥＝，‎ 所以≤cos C<1，‎ 故cos C的最小值为.‎ ‎(2)依题意得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，2sin Acos B－sin(A＋B)＝sin(A－B)＝0，‎ 因此B＝A，C＝π－2A，于是有sin2A(2＋cos 2A)＝cos2A＋，即sin2A(3－2sin2A)＝1－sin2A＋＝，‎ 解得sin2A＝，因此sin A＝，‎ 又B＝A必为锐角，因此B＝A＝，△ABC是等腰直角三角形．]‎ ‎【名师点评】　解三角形的四种类型及求解方法：‎ ‎(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解；‎ ‎(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一；‎ ‎(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；‎ ‎(4)已知三边，利用余弦定理求解．‎ ‎1．在△ABC中，若a＝2，B＝60°，b＝，则c＝________.‎ ‎3　[由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得7＝4＋c2－2c，解得c＝3，或c＝－1(舍去)．]‎ ‎2．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．‎ 　[因为a＝2，所以(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)·sin C可化为(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)·sin C，由正弦定理可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，‎ 由余弦定理可得cos A＝＝＝.‎ 又0

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