2017-2018学年山东省淄博市淄川中学高二上学期第三次月考数学（理）试题
2017-2018学年山东省淄博市淄川中学高
二上学期第三次月考理科数学试卷
一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
1．命题“∀ x∈R，x2－x＋1
4
≥0”的否定是( )
A．∀ x∈R，x2－x＋1
4>0 B．∃ x0∈R，x20－x0＋1
4
≥0
C．∃ x0∈R，x20－x0＋1
4<0 D．∀ x∈R，x2－x＋1
4<0
2.向量 a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y, 9)，若 a 与 b 共线，则( )
A．x＝1，y＝1 B．x＝1
2
，y＝－1
2
C．x＝1
6
，y＝－3
2 D．x＝－1
6
，y＝2
3
3．若焦点在 x轴上的椭圆 12
22
m
yx 的离心率为
2
1 ，则 m= （ ）
A． 3 B．
2
3 C．
3
8 D．
3
2
4．设 a>0 且 a≠1,则“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增
函数”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5．设 l1 的方向向量为 a＝(1,2，－2)，l2 的方向向量为 b＝(－2,3，m)，若 l1⊥l2，
则实数 m 的值为( )
A．3 B．2 C．1 D.1
2
6.“m＞n＞0”是“方程 mx2＋ny2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若 a，b 均为非零向量，则 a·b＝|a||b|是 a 与 b 共线的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知双曲线 C：x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 5
2
，则 C 的渐近线方程为
( )
A．y＝±1
4x B．y＝±1
3x C．y＝±1
2x D．y＝±x
9.已知 a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x2)，且 a 与 b 的夹角为钝角，则实数 x 的取值范围
是( )
A．x>4 B．x<－4 C．0
b>0)的两顶点为 A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为 F，△FAB
是以角 B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率 e 为 ( )
A. 3－1
2 B. 5－1
2 C.1＋ 5
4 D. 3＋1
4
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
13.命题 P： 2, 2 0x R x x a 是假命题，则实数 a 的取值范围 .
14.若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点 )2
3,2
5( ，则椭圆方程是
15.设平面 的一个法向量为 1 1,2, 2n ，平面 的一个法向量为 2 2, 4,n k ，
若 / / ，则 k＝
16.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA=90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，
BC=CA=CC1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为
三、解答题（共 70 分）
17．(10 分)已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率
3
2e ，
短轴长为 58 ，求椭圆的方程．
18. (12 分)命题 p：不等式 x2-（a+1）x+1＞0 的解集是 R．命题 q：函数 f（x）=
（a+1）x 在定义域内是增函数．若 p∧q 为假命题，p∨q 为真命题，求 a 的取值范
围．
19．(12 分)已知 x 轴上一定点 (1,0)A ，Q为椭圆
2
2 14
x y
上一动点，求 AQ 中点 M 的轨迹方程．
20.(12 分)已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),
(1)求以向量 , 为一组邻边的平行四边形的面积 S.
(2)若向量 a 分别与向量 , 垂直,且|a|= ,求向量 a 的坐标.
21．(12 分)正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，AA1＝2AB＝4，点 E 在 C1C 上，且 C1E
＝3EC.
(1)证明 A1C⊥平面 BED； (2)求二面角 A1－DE－B 的余弦值．
22．(12 分)已知椭圆 C：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0)，且离心率为1
2.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M，N 两点，线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0，
y0)，求 y0 的取值范围．
答案
一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
C C B A B C B C B B A B
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
13. 1a . 解析：依题意得， 2, 2 0x R x x a 是真命题，所以
2 4 4 4 0 1b ac a a .
14. 1610
22
yx
15. k=4：因为题意可知， / / ，且平面 的一个法向量为 1 1,2, 2n ，平面 的一个
法向量为 2 2, 4,n k ，则可知 1 1,2, 2n 平行于 2 2, 4,n k ，则可知 k=4
16. 30
10
以 C 为原点，直线 CA 为 x 轴，直线 CB 为 y 轴，直线 1CC 为 z 轴，则设 CA=CB=1，
则 (0,1,0)B ， 1 1( , ,1)2 2M ，A（1，0，0）， 1( ,0,1)2N ，故 1 1( , ,1)2 2BM ， 1( ,0,1)2AN ，
所以 cos ,
| | | |
BM ANBM AN
BM AN
3
4
6 5
2 2
30
10
三、解答题（共 70 分）
17. 180144
22
yx 或 180144
22
xy
18. 解：∵命题 p：不等式 x2-（a+1）x+1＞0 的解集是 R
∴△=（a+1）2-4＜0，解得-3＜a＜1，
∵命题 q：函数 f（x）=（a+1）x 在定义域内是增函数．
∴a+1＞1，解得 a＞0
由 p∧q 为假命题，p∨q 为真命题，可知 p，q 一真一假，
当 p 真 q 假时，由{a|-3＜a＜1}∩{a|a≤0}={a|-3＜a≤0}
当 p 假 q 真时，由{a|a≤-3，或 a≥1}∩{a|a＞0}={a|a≥1}
综上可知 a 的取值范围为：{a|-3＜a≤0，或 a≥1}
19. 【解析】设 0 0( , ), ( , )Q x y M x y ，
∵ M 是 AQ 的中点，∴
0
0
0 0
1
2 12
0 2
2
x x x x
y y yy
，
∵Q 为椭圆
2
2 14
x y 上的点，∴
2
20
0 14
x y ，
∴
2
22 1 2 14
x y ，即 2 21( ) 4 12x y ，
∴点 M 的轨迹方程为 2 21( ) 4 12x y ．
20. 【解析】(1)∵ =(-2,-1,3), =(1,-3,2),
∴cos∠BAC= = ,∴∠BAC=60°,∴S=| || |sin 60°=7 .
(2)设 a=(x,y,z),则 a⊥ ⇒-2x-y+3z=0,
a⊥ ⇒ x-3y+2z=0,|a|= ⇒ x2+y2+z2=3,解得 x=y=z=1 或
x=y=z=-1,
∴a=(1,1,1),或 a=(-1,-1,-1).
21. 解 以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立如图所
示的空间直角坐标系 D－xyz.
依题设 B(2,2,0)，C(0, 2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．
DE
→
＝(0,2,1)，DB
→
＝(2,2,0)，A1C
→
＝(－2,2，－4)，DA1
→
＝(2,0,4)．
(1)∵A1C
→
·DB
→
＝0，A1C
→
·DE
→
＝0，
∴A1C⊥BD，A1C⊥DE.
又 DB∩DE＝D，
∴A1C⊥平面 DBE.
(2)设向量 n＝(x，y，z)是平面 DA1E 的法
向量，则 n⊥DE
→
，n⊥DA1
→
.
∴2y＋z＝0,2x＋4z＝0.
令 y＝1，则 z＝－2，x＝4，
∴n＝(4,1，－2)．
∴cos〈n，A1C
→
〉＝
n·A1C
→
|n||A1C
→
|
＝ 14
42 .
∵〈n，A1C
→
〉等于二面角 A1－DE－B 的平面角，
∴二面角 A1－DE－B 的余弦值为 14
42 .
22. 解：(1)设椭圆 C 的半焦距是 c.依题意，得 c＝1.
因为椭圆 C 的离心率为1
2
，
所以 a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3.
故椭圆 C 的方程为x2
4
＋y2
3
＝1.
(2)当 MN⊥x 轴时，显然 y0＝0.
当 MN 与 x 轴不垂直时，可设直线 MN 的方程为
y＝k(x－1)(k≠0)．
由
y＝kx－1，
x2
4
＋y2
3
＝1，
消去 y 并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0，
则 x1＋x2＝ 8k2
3＋4k2.
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段 MN 的中点为 Q(x3，y3)，
则 x3＝x1＋x2
2
＝ 4k2
3＋4k2
，y3＝k(x3－1)＝ －3k
3＋4k2.
线段 MN 的垂直平分线的方程为
y＋ 3k
3＋4k2
＝－1
k
x－ 4k2
3＋4k2 .
在上述方程中，令 x＝0，得 y0＝ k
3＋4k2
＝ 1
3
k
＋4k
.
当 k<0 时，3
k
＋4k≤－4 3；当 k>0 时，3
k
＋4k≥4 3.
所以－ 3
12
≤y0<0 或 0
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