人教A版理科数学课时试题及解析（29）等比数列B

人教A版理科数学课时试题及解析（29）等比数列B

课时作业(二十九)B　[第29讲　等比数列]‎ ‎[时间：35分钟　分值：80分]‎ ‎1． 已知数列{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项的和．若a1＝3，a‎2a4＝144，则S10的值是(　　)‎ A．511 B．1 ‎023 C．1 533 D．3 069‎ ‎2． 在等比数列{an}中，若a‎2a3a6a9a10＝32，则的值为(　　)‎ A．4 B．‎2 C．－2 D．－4‎ ‎3． 等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1，S3，S2成等差数列，则数列{an}的公比等于(　　)‎ A．1 B. C．－ D. ‎4． 在△ABC中，tanA是以－4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则tanC＝________.‎ ‎5． 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2 011＝3S2 010＋2 012，a2 010＝3S2 009＋2 012，则公比q等于(　　)‎ A．3 B. C．4 D. ‎6． 在等比数列{an}中，a1＝4，公比为q，前n项和为Sn，若数列{Sn＋2}也是等比数列，则q等于(　　)‎ A．2 B．－‎2 C．3 D．－3‎ ‎7． 设等差数列{an}的公差d≠0，a1＝4d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k＝(　　)‎ A．3或－1 B．3或1‎ C．3 D．1‎ ‎8． 在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k为(　　)‎ A．0 B．‎1 C．－1 D．2‎ ‎9． 在等比数列{an}中，a1＝1，且a1＋1，a2＋2，a3＋2依次成等差数列，则{an}的前6项和等于________．‎ ‎10． 已知a，b，c是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则的值为________．‎ ‎11． 在等比数列{an}中，首项a1＝，a4＝(1＋2x)dx，则公比q为________．‎ ‎12．(13分) 设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(λ＋1)－λan，其中λ是不等于－1和0的常数．‎ ‎(1)证明：{an}是等比数列；‎ ‎(2)设数列{an}的公比q＝f(λ)，数列{bn}满足b1＝，bn＝f(bn－1)(n∈N，n≥2)，求数列的前n项和Tn.‎ ‎13．(12分) 设数列{an}为等比数列，数列{bn}满足：bn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an，n∈N*，已知b1＝m，b2＝，其中m≠0.‎ ‎(1)求数列{an}的首项和公比；‎ ‎(2)当m＝1时，求bn；‎ ‎(3)设Sn为数列{an}的前n项和，若对于任意的正整数n，都有Sn∈[1,3]，求实数m的取值范围．‎ 课时作业(二十九)B ‎【基础热身】‎ ‎1．D　[解析] 由已知a‎2a4＝144，得a1q·a1q3＝144，则q4＝＝16，即q＝2，‎ ‎∴S10＝＝＝3 069，故选D.‎ ‎2．B　[解析] 根据等比数列的性质，有a‎2a10＝a‎3a9＝a，又已知a‎2a3a6a9a10＝32，则a＝32，即a6＝2，a1q5＝2，‎ ‎∴＝＝a1q5＝2，故选B.‎ ‎3．C　[解析] 由已知S1，S3，S2成等差数列，得 ‎2S3＝S1＋S2，即2(a1＋a1q＋a1q2)＝a1＋a1＋a1q，‎ 化简，得‎2a1(1＋q＋q2)＝a1(2＋q)，即2q2＋q＝0，‎ 解得q＝－，故选C.‎ ‎4．1　[解析] 由已知，有解得 ‎∴tanC＝－tan(A＋B)＝－＝1.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．C　[解析] 由已知，有a2 011＝3S2 010＋2 012，a2 010＝3S2 009＋2 012，‎ 两式相减，得a2 011－a2 010＝‎3a2 010，即a2 011＝‎4a2 010，‎ 则公比q＝4，故选C.‎ ‎6．C　[解析] 由已知，有S1＝a1＝4，S2＝a1＋a2＝4(1＋q)，S3＝a1＋a2＋a3＝4(1＋q＋q2)，‎ 因为数列{Sn＋2}是等比数列，‎ 所以(S2＋2)2＝(S1＋2)(S3＋2)，‎ 即(4q＋6)2＝6(6＋4q＋4q2)，解得q＝3，故选C.‎ ‎7．C　[解析] 由数列{an}是等差数列，得ak＝a1＋(k－1)d，a2k＝a1＋(2k－1)d.‎ ‎∵ak是a1与a2k的等比中项，‎ ‎∴a＝a‎1a2k，即[a1＋(k－1)d]2＝a1[a1＋(2k－1)d]，‎ 化简，得(k－1)2d2－a1d＝0.‎ 把a1＝4d代入，得k＝3，故选C.‎ ‎8．C　[解析] 解法一：由Sn＝3n＋k，得a1＝S1＝3＋k，a2＝S2－S1＝(32＋k)－(3＋k)＝6，‎ a3＝S3－S2＝(33＋k)－(32＋k)＝18.‎ 由an＋1＝can(c为非零常数)，知数列{an}是等比数列，则 a＝a‎1a3，即62＝18(3＋k)，解得k＝－1，故选C.‎ 解法二：由题意知，数列{an}是公比为c的等比数列，且c≠0，c≠1.‎ 设＝t，则 Sn＝＝－tqn＋t＝3n＋k，‎ ‎∴k＝t＝－1，故选C.‎ ‎9．63　[解析] 设等比数列{an}的公比为q，‎ 则a2＝q，a3＝q2，‎ 由a1＋1，a2＋2，a3＋2依次成等差数列，得 ‎2(a2＋2)＝(a1＋1)＋(a3＋2)，‎ 即2(q＋2)＝(1＋1)＋(q2＋2)，‎ 化简，得q2－2q＝0，解得q＝2.‎ 则数列{an}的前6项和为S6＝＝63.‎ ‎10．20　[解析] 依题意，得 ‎①或②或③ 由①得a＝b＝c与“a，b，c是递减的等差数列”矛盾；‎ 由②消去c整理得(a－b)(a＋2b)＝0，又a>b，‎ ‎∴a＝－2b，c＝4b，＝20；‎ 由③消去a整理得(c－b)(c＋2b)＝0，又b>c，‎ 因此有c＝－2b，a＝4b，＝20.‎ ‎11．3　[解析] a4＝(1＋2x)dx＝(x＋x2)＝(4＋42)－(1＋12)＝18，‎ 又a4＝a1q3，a1＝，则q3＝27，即q＝3.‎ ‎12．[解答] (1)证明：∵Sn＝(λ＋1)－λan，‎ ‎∴Sn－1＝(λ＋1)－λan－1(n≥2)，‎ ‎∴an＝－λan＋λan－1，即(1＋λ)an＝λan－1.‎ 又λ≠－1且λ≠0，∴＝.‎ 又a1＝1，∴{an}是以1为首项，为公比的等比数列．‎ ‎(2)由(1)知q＝f(λ)＝，‎ ‎∴bn＝f(bn－1)＝(n≥2)，‎ 故有＝＝＋1，∴－＝1(n≥2)，‎ ‎∴是以3为首项，1为公差的等差数列．‎ ‎∴Tn＝3n＋＝.‎ ‎【难点突破】‎ ‎13．[解答] (1)由已知b1＝a1，所以a1＝m；‎ b2＝‎2a1＋a2，所以‎2a1＋a2＝m，解得a2＝－；‎ 所以数列{an}的公比q＝－.‎ ‎(2)当m＝1时，an＝n－1，‎ bn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an，①‎ ‎－bn＝na2＋(n－1)a3＋…＋2an＋an＋1，②‎ ‎②－①得－bn＝－n＋a2＋a3＋…＋an＋an＋1，‎ 所以－bn＝－n＋ ‎＝－n－，‎ bn＝＋－n＝.‎ ‎(3)Sn＝＝·，‎ 因为1－n>0，‎ 所以由Sn∈[1,3]得≤≤，‎ 注意到，当n为奇数时，1－n∈；‎ 当n为偶数时，1－n∈，‎ 所以1－n的最大值为，最小值为.‎ 对于任意的正整数n都有≤≤，‎ 所以≤≤2，解得2≤m≤3.‎