2017-2018学年福建省莆田第九中学高二下学期第二次月考数学（文）试题（Word版）

2017-2018学年福建省莆田第九中学高二下学期第二次月考数学（文）试题（Word版）

福建省莆田第九中学 2017-2018 学年高二下学期第二次月考 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.设命题 ， ，则 为（ ） A． B． C． D． 2.“ ”是“复数 为纯虚数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条 D．既不充分也不必要条件 3.关于相关关系，下列说法不正确的是（ ） A．相关关系是一种非确定关系 B．相关关系 越大，两个变量的相关性越强 C．当两个变量相关且相关系数 时，表明两个变量正相关 D．相关系数 的绝对值越接近 ，表明两个变量的相关性越强 4.直线 的参数方程是（ ） A． （ 为参数） B． （ 为参数） C. （ 为参数） D． （ 为参数） 5.通过随机询问 名不同性别的高中生在购买食物时是否看营养说明书，得到如下列联表： 女 男 总计 读营养说明说 不读营养说明说 总计 从调查的结果分析，认为性别和读营养说明书的关系为（ ） :p x R∀ ∈ 2 1 0x + > p¬ 2 0 0, 1 0x R x∃ ∈ + > 2 0 , 1 0x R x∀ ∈ + ≤ 2 0 0, 1 0x R x∃ ∈ + < 2 0 0, 1 0x R x∃ ∈ + ≤ 0x = 2 ( 1) ( )z x x x i x R= − + − ∈ r 0r > r 1 2 1y x= + 2 22 1 x t y t  = = + t 2 1 4 1 x t y t = −  = + t 1 2 1 x t y t = −  = − t sin 2sin 1 x y θ θ =  = + θ 250 90 60 150 30 70 100 120 130 250 A． 以上认为无关 B． 认为有关 C. 认为有关 D． 以上认为有关 附： 6.在同一平面的直角坐标系中，直线 变成直线 的伸缩变换是（ ） A． B． C. D． 7.某餐厅的原料费支出 与销售额 （单位：元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二 乘法得出 与 的线性回归方程为 ，则表中 的值为（ ） A． B． C. D． 8.极坐标方程 表示的曲线是（ ） A．一个圆 B．两个圆 C. 两条直线 D．一个圆和一条直线 9.下面四个推理中，属于演绎推理的是（ ） A．观察下列各式： 则 的末两位数字为 43 B．观察 ， ， ，可得偶函数的导函数为奇函数 C.在平面内，若两个正三角形的边长比为 ，则它们的面积之比为 .类似地，在空间中，若两个正四 面体的棱长比为 ，则它们的体积之比为 D．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生还原反应 10.已知过曲线 （ 为参数，且 ）上一点 和原点 的直线 的倾斜角为 ，则 点 的坐标是（ ） 95% 90% ~ 95% 95% ~ 99.9% 99.9% 2 0( )P K k≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 2 2x y− = 2 ' ' 4x y− = ' 1' 4 x x y y = = ' 4 ' x x y y =  = ' ' 4 x x y y =  = ' 4 1' 4 x x y y = = x y y x ˆ 8.5 7.5y x= + m x 2 4 5 6 8 y 25 35 m 55 75 50 55 60 65 2 cos 3 cos 3 0ρ θ ρ θ ρ− + − = 2 3 47 49,7 343,7 2401,...,= = = 20157 2( )' 2x x= 4 3( )' 4x x= (cos )' sinx x= − 1: 2 1: 4 1: 2 1:8 3cos 4sin x y θ θ =  = θ 0 θ π≤ ≤ P O PO 4 π P A． B． C. D． 11.若 ，则 的大小关系为（ ） A． B. C. D．由 的取值决定 12.极坐标方程 表示的曲线是（ ） A．抛物线 B．椭圆 C.双曲线的一支 D．圆 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.在极坐标系中，直线 的方程为 ，则点 到直线 的距离为 ． 14. 在极坐标系中， 是极点，设点 ，则 的面积是 ． 15. …观察上面列出的等式，则可得 出第 个等式为 ． 16.在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 （ 为参数）与曲线 异于点 的交点为 ，与曲线 异于点 的交点为 ，则 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）；在极坐标系（与直角 坐标系 取相同的单位长度，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，直线 的方程为 . （1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （2）求直线 被曲线 截得的弦长. 18. 某校为了分析本校高中生的性别与是否喜欢数学之间的关系，在高中生中随机地抽取了 名学生调查， 得到了如下列联表： 3 2 ,2 22       12 12,5 5      3 2 , 2 22  − −    12 12,5 5  − −   7, 3 4( 0)P a a Q a a a= + + = + + + ≥ ,P Q P Q> P Q= P Q< a 24 sin 52 θρ = l sin 3ρ θ = (2, )6 π l O 54, , 5,3 6A B π π   −       OAB∆ 2 2 2 21 1 ,2 3 4 3 ,3 4 5 6 7 5 ,4 5 6 7 8 9 10 7= + + = + + + + = + + + + + + = n xOy O x 3 x t y t = − = t 1 : 4sinC ρ θ= O A 2 : 2sinC ρ θ= O B AB = xOy C 2 2cos 2sin x y θ θ = +  = θ xOy O x l sin 4 πρ θ +   C C l C 90 喜欢数学 不喜欢数学 总计 男 ① 女 ② 总计 ③ ④ （1）求①②③④处分别对应的值； （2）能有多大把握认为“高中生的性别与喜欢数学”有关？ 附： 19. 已知直线 （ 为参数），曲线 （ 为参数）. （1）设 与 相交于 两点，求 的值； （2）若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 ，纵坐标压缩为原来的 ，得到曲线 ，设点 是曲 线 上的一个动点，求它到直线 的距离的最小值. 20. 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ ， 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的 极坐标方程为 ，若直线 与曲 线 相切. （1）求曲线 的极坐标方程； （2）在曲线 上取两点 与原点 构成 ，且满足 ，求 面积的最大值. 21. 已知在直角坐标系 中，曲线 的方程是 ，直线 经过点 ，倾斜角 为 ，以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出曲线 的极坐标方程和直线 的参数方程； 30 45 25 45 90 2 0( )P K k≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 1 : 3 x t l y t = + = t 1 2cos: 2sin xC y θ θ =  = θ l 1C ,A B AB 1C 1 4 3 4 2C P 2C l xOy C 3 cos 1 sin x r y r ϕ ϕ  = + = + 0r > ϕ O x l sin( ) 13 πρ θ − = l C C C ,M N O MON∆ 6MON π∠ = MON∆ xOy C 2 2( 2) ( 1) 4x y− + − = l (3, 3)P 6 π O x C l （2）设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位，以原点为极点， 轴正半轴为极轴.已知曲线 的极坐标 为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ），射线 与曲线 交于（不包括极点 ）三点 ， （1）求证： ； （2）当 时， 两点在曲线 上，求 与 的值. 试卷答案 一、选择题 l C ,A B OA OB⋅ xOy x 1C 4cosρ θ= 2C cos sin x m t y t α α = +  = t 0 α π≤ ≤ , ,4 4 π πθ ϕ θ ϕ θ ϕ= = + = − 2C O , ,A B C 2OB OC OA+ = 12 πϕ = ,B C 2C m a 1-5:DCBCD 6-10:CCDDB 11、12：CA 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17. 解：（1） ∵ 曲线 的参数方程为 （ 为参数）， ∴ 消去参数 得到曲线 的普通方程为 ； ∵ 直线 的极坐标方程为 ， ∴ 直线 的直角坐标方程为 ； （2）∵ 曲线 的圆心 到直线 的距离 ，半径 ， ∴ 直线 被曲线 截得的弦长为 . 18. 解：（1） ， ， ， ； （2）∵    又 , ∴ 有超过 的把握，认为“高中生的性别与喜欢数学”有关. 19. 解：（1）直线 的普通方程为 ，曲线 的普通方程为 ． ∵ 圆心 到直线 的距离 ，圆 的半径 ， ∴   ； （2）把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 ，纵坐标压缩为原来的 ，得到曲线 ， 2 5 2 *( 1) ( 2) ... (3 2) (2 1) ( )n n n n n n N+ + + + + + − = − ∈ 3 C 2 2cos 2sin x y θ θ = +  = θ θ C 2 2( 2) 4x y− + = l sin 2 24 πρ θ + =   l 4 0x y+ − = C (2,0) : 4 0l x y+ − = 2 2 2 d = = 2R = l C 2 22 2 2R d− = 15 20 50 40 2 2 90(30 25 15 20) 9 4.5 3.84150 40 45 45 2K × − ×= = = >× × × 2( 3.841) 0.05P K ≥ = 95% l 3 3 0x y− − = 1C 2 2 4x y+ = 1(0,0)C l 3 2d = 1C 2R = 2 22 13AB R d= − = 2 2 1 : 4C x y+ = 1 4 3 4 2 2 2 4: 4 13C x y+ = 设点 ，则点 到直线 的距离 ， 当 时取等号 . 20.解：（1）曲线 的普通方程为 ，直线 的直角坐标方程为 ， ∵ 直线 与曲线 相切， ∴ ， ∴ 曲线 的方程为 ，极坐标方程为 ； （2）∵ 点 在曲线 上，且 ， ∴ 不妨设曲线 上的点 ． 则 ，当 时取等号． ∴ 面积的最大值为 . 21. 解：（1）曲线 的方程是 的极坐标方程为 ， ∵ 直线 经过点 ，倾斜角为 ， ∴ 直线 的参数方程可以写成 （ 为参数）； （2）直线 过原点 ，以点 为参考点的直线 的参数方程为 （ 为参数）． 代入曲线 的方程 中整理得 ， ∴ 1 3( cos , sin )2 2P θ θ P l 3 3 6 6cos sin 3 cos( ) 3 32 2 2 4 2 2 3 6 2 2 4d πθ θ θ− − + − − −= = ≥ = cos( ) 14 πθ + = C 2 2 2( 3) ( 1)x y r− + − = l 3 2 0x y− + = l C 3 1 2 22 r − + = = C 2 2( 3) ( 1) 4x y− + − = 4sin( )3 πρ θ= + ,M N C 6MON π∠ = C 1 2( , ), ( , )6M N πρ θ ρ θ + 1 2 1 sin 4sin( )cos 2sin(2 ) 3 2 32 6 3 3MONS π π πρ ρ θ θ θ∆ = = + = + + ≤ + sin(2 ) 13 πθ + = MON∆ 2 3+ C 2 2( 2) ( 1) 4x y− + − = 2 4 cos 2 sin 1 0ρ ρ θ ρ θ− − + = l (3, 3)P 6 π l 33 2 13 2 x t y t  = +  = + t l O O l 3 2 1 2 x t y t  =  = t C 2 2( 2) ( 1) 4x y− + − = 2 (2 3 1) 1 0t t− + + = 1 2 1 22 3 1, 1t t t t+ = + = ∴ . 22.（1）证明：∵ 曲线 的极坐标为 ，射线 与曲线 交（不 包括极点 ）三点 ， ∴ ， ， ， ∴ ，证毕； （2）解：当 时，点 的极坐标为 ，直角坐标为 ；点 的极坐标为 ， 直角坐标为 ． ① 当 时，曲线 的参数方程为 （ 为参数），不满足条件； ② 当 时 ，消去参数 得 的方程为 ， ∵ 两点在曲线 上， ∴ ，解得     . 1 2 1OA OB t t⋅ = ⋅ = 1C 4cosρ θ= , ,4 4 π πθ ϕ θ ϕ θ ϕ= = + = − 1C O , ,A B C 4cosOA ϕ= 4cos( )4OB πϕ += 4cos( )4OC πϕ −= 4cos( ) 4cos( ) 4 2 cos 24 4OB OC OA π πϕ + ϕ − ϕ+ = + = = 12 πϕ = B (2, )3 π (1, 3)B C (2 3, )6C π− (3, 3)C − 2a π= 2C x m y t =  = t 2a π≠ 0 a π≤ ≤ t 2C tan ( )y a x m= ⋅ − ,B C 2C 3 tan (1 ) 3 tan (3 ) a m a m  = − − = − 22, 3m a π= =