2018-2019学年内蒙古集宁一中高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年内蒙古集宁一中高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年内蒙古集宁一中高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．一元二次不等式的解集是 ( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用一元二次不等式的解法直接求解。‎ ‎【详解】‎ 令，解得：，‎ 所以的解集为：‎ 故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题。‎ ‎2．,且与互相垂直，则的值 ( )‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由已知，，，因为与互相垂直，所以 ，即，，．故选D．‎ ‎【考点】两向量垂直．‎ ‎3．已知函数，为的导函数，则的值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用乘法的求导法则对函数进行求导，将代入导函数，求得正确选项.‎ ‎【详解】‎ 依题意，故，所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查两个函数相乘的导数的运算，考查基本初等函数的导数，属于基础题.‎ ‎4．等比数列的前项和为，且， ， 成等差数列，若，则（ ）‎ A．7 B．8 C．15 D．16‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：设等比数列的公比为， 成等差数列，则即，解得， ，则；‎ ‎【考点】等比数列；等差中项；‎ ‎5．设，则下列各不等式一定成立的是 ( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，计算的值，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 令，则故，所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查不等式的基本性质，考查利用特殊值解法比较大小，属于基础题.‎ ‎6．的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且 ‎，所以 ‎【考点】1．正弦定理；2．面积公式．‎ ‎7．已知数列为等差数列,为等比数列，且满足：，，,为的导函数，则 （　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据等差数列的性质求得，根据等比数列的性质求得，求得函数的导函数后，计算出相应的导数值.‎ ‎【详解】‎ 根据等差数列的性质由，根据等比数列的性质有...故本题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等差数列的性质，考查等比数列的性质，考查基本初等函数的导函数以及导数的计算，属于基础题. 等差数列的性质是：若，则，若，则.如果数列是等比数列，则数列的性质为：若，则，若，则 ‎8．已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可。‎ 详解：‎ 所以双曲线的渐近线方程为 所以点（4，0）到渐近线的距离 故选D 点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题。‎ ‎9．若x，y满足 则x + 2y的最大值为 A．1 B．3‎ C．5 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：如图，画出可行域，‎ 表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值时常将函数转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于截距形式.‎ ‎10．以下判断正确的是 （ ）‎ A．函数为上的可导函数，则是为函数极值点的充要条件 B．若命题为假命题，则命题与命题均为假命题 C．若，则的逆命题为真命题 D．在中，“”是“”的充要条件 ‎【答案】D ‎【解析】根据极值点的定义，判断A选项是否正确.根据含有简单逻辑联结词命题的真假，判断B选项是否正确.写出原命题的逆命题并判断真假，由此得出C选项是否正确.根据三角形大角对大边以及正弦定理，判断D选项是否正确.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，由于导数为零的点不一定是极值点，故A选项错误.对于B选项，由于为假命题，则至少有一个为假命题，故B选项错误.对于C选项，原命题的逆命题为“若，则”，显然，但是，故逆命题为假命题，所以C选项错误.对于D选项，根据三角形中大角对大边，及正弦定理有，所以D选项正确.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查极值点的概念，考查含有简单逻辑联结词命题真假性判断，考查逆命题真假性的判断，考查正弦定理以及充要条件等知识，属于中档题.‎ ‎11．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ）‎ A．8 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式 详解：在长方体中，连接，‎ 根据线面角的定义可知，‎ 因为，所以，从而求得，‎ 所以该长方体的体积为，故选C.‎ 点睛：该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长久显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.‎ ‎12．已知抛物线，圆，过点作直线，自上而下顺次与上述两曲线交于点（如图所示），则的值正确的是 ( )‎ A．等于 B．最小值是 C．等于 D．最大值是 ‎【答案】C ‎【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为，代入抛物线和圆的方程，求得 A,B,C,D四个点的坐标，由此求得的值.当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用抛物线的定义和圆的半径求得的表达式，由此求得的取值范围，进而得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入抛物线方程和圆的方程，求得的纵坐标分别为，故.当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，代入抛物线方程并化简得，.根据抛物线的定义以及圆的半径可知 .故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的几何性质以及圆的性质，考查化归与转化的数学思想方法.属于中档题.由于题目所给直线没有说明直线斜率是否存在，所以首先要对直线斜率分成斜率存在和斜率不存在两种情况来讨论.抛物线的定义在解有关过抛物线焦点的弦问题时，要重点考虑.‎ 二、填空题 ‎13．命题“ ,”的否定是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据特称命题的否定是全称命题，写出原命题的否定.‎ ‎【详解】‎ 原命题是特称命题，故其否定是全称命题，为“”‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定是全称命题.属于基础题.‎ ‎14．若双曲线的离心率为，则实数__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】， .渐近线方程是.‎ ‎15．若直线过点（1,2）,则2a+b的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ，当且仅当 时取等号.‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎16．已知直线与曲线相切于点，则的值为____.‎ ‎【答案】2019‎ ‎【解析】将切点代入曲线方程求得，将切点代入直线方程，将切点横坐标代入曲线对应函数的导函数，求得切线的斜率，由此列方程组，解方程组求得的值.‎ ‎【详解】‎ 将点坐标代入曲线方程得，曲线方程为，对应函数的导数为.依题意得，解得，.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数导数与切线方程，考查待定系数法求曲线的解析式，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知是公差不为零的等差数列,成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项; ‎ ‎（2）求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1)(2) ‎ ‎【解析】分析：（1）由题设知公差，由 成等比数列，可 得，解出即可得出．‎ ‎(2) ，利用“裂项求和”即可求得．‎ 详解： ‎ ‎(1)由题设知公差，‎ 由成等比数列得, ‎ 解得d＝1，d＝0(舍去)， ‎ 故的通项. ‎ ‎(2) , ‎ ‎.‎ 点睛：本题考查了“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎18．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 ‎ ‎（1）求C；‎ ‎（2）若，求c.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得的大小.（2）利用余弦定理求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得，即，即，由于在三角形中，故.（2）由余弦定理得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查两角和的正弦公式以及余弦定理解三角形，属于基础题.‎ ‎19．设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4.‎ ‎（1）求直线AB的斜率；‎ ‎（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，求M点的坐标及切线方程.‎ ‎【答案】（1）1（2）‎ ‎【解析】（1）设出直线的方程，代入抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用横坐标和为列方程，求得直线的斜率.（2）令导数等于直线的斜率，解方程求得切点的横坐标，进而求得切点坐标以及切线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于直线和开口向上的抛物线相交于两点，故直线的斜率存在，设直线方程为，代入抛物线方程并整理得，所以，即直线斜率为.（1）依题意，代入抛物线方程求得，故切点坐标为，且斜率为，由点斜式得，即.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查利用导数求曲线的切点坐标以及切线方程，属于中档题.‎ ‎20．如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边，连接A1B,A1C,A1D.‎ ‎（1）求长方体ABCD-A1B1C1D1体积的最大值 ；‎ ‎（2）当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B-A1C-D的大小.‎ ‎【答案】(1)1;(2)‎ ‎【解析】（1）用表示出长方体ABCD-A1B1C1D1体积为：，，求该二次函数类型函数的最大值即可。‎ ‎（2）由（1）得时，长方体ABCD-A1B1C1D1体积最大，此时该几何体为正方体，过点作垂直A1C于点E，连接ED，则就是二面角B-A1C-D的一个平面角，解三角形即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）长方体ABCD-A1B1C1D1体积为：，，当时，，所以长方体ABCD-A1B1C1D1体积的最大值为1.‎ ‎（2）由（1）得时，长方体ABCD-A1B1C1D1体积最大，此时该几何体为正方体，过点作垂直A1C于点E，连接ED，‎ 由正方体可得：,所以就是二面角B-A1C-D的一个平面角，‎ 在正方体ABCD-A1B1C1D1中可得：，，‎ 在三角形由余弦定理得：‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数思想，二次函数类型函数的最值及二面角的概念，还考查了余弦定理及计算能力，属于基础题。‎ ‎21．已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，．‎ ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）若，求的最大值.‎ ‎【答案】(1)(2)当直线过原点时最大，为 ‎【解析】（1）由椭圆离心率为，焦距为列方程组求解即可。‎ ‎（2）设直线方程为：，由直线与椭圆有两个不同的交点，得到的范围，联立直线与椭圆方程，整理，表示出，，从而表示出，转化成函数最大值问题求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题可得：，解得：，‎ 所以椭圆的方程为：。‎ ‎（2）设直线方程为：，联立直线与椭圆方程得：，整理得：‎ ‎，所以，‎ 直线与椭圆有两个不同的交点，，则：，‎ 解得：。‎ 所以=，‎ 当且仅当时，等号成立。‎ 所以的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的简单性质，还考查了韦达定理、弦长公式及直线与椭圆相交知识，考查了转化思想及计算能力，属于基础题。‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）求在处的切线方程；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）比较与的大小.‎ ‎【答案】(1)y=x-1；(2)(0,e)单调递增，（e,+）单调递减 ； （3） ‎ ‎【解析】（1）求出及，从而求得切线斜率，问题得解。‎ ‎（2）对的正负分析，从而判断函数的单调区间。‎ ‎（3）把与的大小转化成与的大小，利用（2）的结论即可判断。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题可得：，，所以，‎ 所以所求切线方程为：，即：‎ ‎（2），‎ 当时，‎ 当时，‎ 所以函数在区间上单调递增，在上单调递减。‎ ‎（3）因为函数在上单调递减，所以，‎ 即： ，整理得：，‎ 即，由在递增可得：‎ ‎。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性及利用函数单调性判断大小，还考查了转化思想及对数函数的运算及性质，计算能力，属于中档题。‎