【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第十章 第3讲 几何概型学案
第3讲 几何概型
一、知识梳理
1．几何概型
(1)几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
(2)几何概型的两个基本特点
2．几何概型的概率公式
P(A)＝.
二、习题改编
1．(必修3P142A组T3改编)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30 s，黄灯的时间为5 s，绿灯的时间为40 s，当某人到达路口时看见的是红灯的概率为 ．
答案：
2．(必修3P142A组T2改编)如图是某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动，当指针指向阴影区域时为中奖，则顾客中奖的概率是 ．
答案：
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )
(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( )
(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( )
(4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
二、易错纠偏
(1)易混淆几何概型与古典概型；
(2)几何概型的测度选择不正确．
1．如图，在一边长为2的正方形ABCD内有一曲线L围成的不规则图形．往正方形内随机撒一把豆子(共m颗)．落在曲线L围成的区域内的豆子有n颗(n
20时满足题意，由几何概型计算公式可得，甲比乙提前到达超过20分钟的概率为＝.故选B.
与体积有关的几何概型(师生共研)
一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADFBCE内自由飞翔，则它飞入几何体FAMCD内的概率为( )
A. B.
C. D.．
【解析】 因为VFAMCD＝×S四边形AMCD×DF＝a3，VADFBCE＝a3，所以它飞入几何体FAMCD内的概率为＝.
【答案】 D
与体积有关的几何概型的求法
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解．
在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A. B．1－
C. D．1－
解析：选B.点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．
记“点P到点O的距离大于1”为事件M，
则P(M)＝＝1－.
[基础题组练]
1．已知集合A＝，若在集合A内任取一个数a，使得1∈{x|2x2＋ax－a2＞0}的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由10＋3a－a2≥0，解得－2≤a≤5，即A＝[－2，5]．因为1∈{x|2x2＋ax－a2＞0}，故2＋a－a2＞0，解得－1＜a＜2.由几何概型的知识可得，所求的概率P＝＝.故选B.
2.(2020·湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )
A．1－ B.
C. D.1－
解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－，故选A.
3.(2020·安庆二模)中国人民银行发行了2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径为18 mm，小米同学为了测算图中装饰狗的面积，他用1枚针向纪念币上投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是( )
A. mm2 B. mm2
C. mm2 D. mm2
解析：选B.设装饰狗的面积为S mm2.由题意得＝，所以S＝ mm2.
4．(2020·湖南省五市十校联考)一只蚂蚁在三边长分别为6，8，10的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由题意，可得三角形为直角三角形，其面积为×6×8＝24，三角形内距离三角形的任意一个顶点的距离不大于1的区域如图中阴影部分所示，它的面积为半径为1的半圆面积，即S＝π×12＝，所以所求概率P＝＝，故选B.
5．在区间[0，6]上随机取一个数x，则log2x的值介于1到2之间的概率为 ．
解析：由题知10，且x＝≤1，满足可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界OC，BC，不包括边界OB)，由解得a＝，b＝，所以S△COB＝×4×＝，根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率为＝.
答案：
