高中数学第6章（第10课时）不等式的证明（5）

高中数学第6章（第10课时）不等式的证明（5）

课 题：不等式的证明（5）‎ 教学目的：‎ 要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式;‎ 教学重点： 放缩法 教学难点：反证法 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎ 1．重要不等式：‎ 如果 ‎2．定理：如果a,b是正数，那么 ‎3公式的等价变形：ab≤，ab≤（）2‎ ‎4． ≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；‎ ‎5．定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）‎ ‎6．推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”）‎ ‎7．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 ‎8．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法 用综合法证明不等式的逻辑关系是：‎ 综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 ‎9分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法 用分析法证明不等式的逻辑关系是：‎ 分析法的思维特点是：执果索因 分析法的书写格式：‎ ‎ 要证明命题B为真，‎ ‎ 只需要证明命题为真，从而有……‎ ‎ 这只需要证明命题为真，从而又有……‎ ‎ ……‎ 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故命题B必为真 ‎10三角换元：‎ 若0≤x≤1，则可令x = sinq ()或x = sin2q ()‎ 若，则可令x = cosq , y = sinq ()‎ 若，则可令x = secq, y = tanq ()‎ 若x≥1，则可令x = secq ()‎ 若xÎR，则可令x = tanq ()‎ ‎11代数换元：“整体换元”,“均值换元”,“设差换元”的方法 二、讲解新课：‎ ‎1放缩法:‎ ‎2反证法:‎ 三、讲解范例：‎ 例1若a, b, c, dÎR+，求证：‎ 证明：（用放缩法）记m = ‎ ‎∵a, b, c, dÎR+ ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∴1 < m < 2 即原式成立 例2当 n > 2 时，求证：‎ 证明：（用放缩法）∵n > 2 ∴‎ ‎∴‎ ‎∴n > 2时, ‎ 例3 求证：‎ ‎ 证明：（用放缩法）‎ ‎∴‎ 一、 ‎：‎ 例4 设0 < a, b, c < 1，求证：(‎1 - a)b, (1 - b)c, (‎1 - c)a,不可能同时大于 ‎ 证明：（用反证法）设(‎1 - a)b >, (1 - b)c >, (‎1 - c)a >,‎ 则三式相乘：(‎1 - a)b•(1 - b)c•(‎1 - c)a > ①‎ 又∵0 < a, b, c < 1 ∴‎ 同理 , ‎ 将以上三式相乘 (‎1 - a)a•(1 - b)b•(‎1 - c)c≤ 此与①矛盾 ‎∴(‎1 - a)b, (1 - b)c, (‎1 - c)a,不可能同时大于 例4 已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 ‎ ‎ 证明：（用反证法）设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0‎ 又由a + b + c > 0, 则b + c >-a > 0‎ ‎∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 此与题设矛盾 又 若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0‎ 同理可证 b > 0, c > 0‎ 四、小结 ：‎ 五、课后作业：‎ 证明下列不等式：‎ ‎1．设x > 0, y > 0,, ，求证：a < b 放缩法：‎ ‎2．lg9•lg11 < 1‎ 放缩法：‎ ‎3．‎ 放缩法：‎ ‎4．若a > b > c, 则 放缩法：‎ ‎5．‎ 放缩法：左边 ‎6．‎ 放缩法：‎ ‎7．已知a, b, c > 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn < cn (n≥3, nÎR*)‎ 放缩法： ∵，又a, b, c > 0, ∴‎ ‎ ∴ an + bn < cn ‎8．设0 < a, b, c < 2，求证：(‎2 - a)c, (2 - b)a, (‎2 - c)b,不可能同时大于1‎ 反证法：(‎2 -‎ a)c>1, (2 - b)a>1, (‎2 -‎ c)b>1,则(‎2 -‎ a)c(2 - b)a(‎2 - c)b>1 …①‎ 又因为设0 < a, b, c < 2，(‎2 -‎ a) a,‎ 同理 (2 - b) b≤1, (‎2 -‎ c) c≤1,所以(‎2 -‎ a)c(2 - b)a (‎2 -‎ c)b≤1此与①矛盾 ‎9．若x, y > 0，且x + y >2，则和中至少有一个小于2‎ 反证法：设≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾 六、板书设计（略）‎ 七、课后记：‎