专题31 “形影不离”的三角与向量的综合问题-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

专题31 “形影不离”的三角与向量的综合问题-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

考纲要求:‎ ‎1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．‎ 基础知识回顾:‎ ‎1．平面向量数量积有关性质的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到：‎ ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝＝.‎ ‎(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎2．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(±β)＝sin cos β ± cos sin β；cos(∓β)＝cos cos β ± sin sin β；‎ tan(±β)＝.‎ ‎3.二倍角的正弦、余弦、正切公式：sin 2＝2sin cos ；cos 2＝cos2－sin2＝2cos2－1‎ ‎ ＝1－2sin2；tan 2＝.1＋sin2＝(sin＋cos)2,1－sin2＝(sin－cos)2.‎ ‎4．辅助角公式：，其中sin＝，cos＝.‎ ‎5.正弦定理及变形：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．‎ ‎ 变形：(1) a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.‎ ‎6．余弦定理及变形：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C．‎ 变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.‎ 应用举例:‎ 类型一、向量与三角函数相结合 ‎【例1】【2017年全国普通高等学校招生统一考试数学江苏卷】‎ 已知向量a=（cosx,sinx）, , .‎ ‎（1）若a∥b，求x的值；‎ ‎（2）记,求的最大值和最小值以及对应的x的值 ‎【答案】（1）（2）时， 取到最大值3； 时， 取到最小值.‎ ‎（2）.‎ 因为，所以，‎ 从而.‎ 于是，当，即时， 取到最大值3；‎ 当，即时， 取到最小值.‎ 点睛:（1）向量平行： ， ， ；（2）向量垂直： ；（3）向量加减乘： ．‎ ‎【例2】【贵州省遵义市第四中学2018届高三上学期第一次月考】‎ 已知向量， ， ．‎ ‎（1）当时，求的值；‎ ‎（2）若，且，求的值．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ．‎ 类型二、向量与解三角形相结合 ‎【例3】【湖北省部分重点中学2018届高三起点考试】已知，其中，，．‎ ‎ (1)求的单调递增区间；‎ ‎ (2)在中，角所对的边分别为，，，且向量与共线，求边长b和c的值．‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析; （1）根据向量数量积的公式进行化简得到的解析式，再结合三角函数的辅助角公式进行转化求解，由正弦函数的单调区间可求的单调递增区间． （2）根据条件先求出A的大小，结合余弦定理以及向量共线的坐标公式进行求解即可．‎ ‎【例4】【辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学2018届高三10月月考】的内角所对的边分别为，已知向量，，.‎ ‎（1）若，，求的面积；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】(1)；(2)2.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量数量积为﹣1，利用平面向量数量积运算法则计算列出关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，确定出A的度数，由a与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，即可确定出△ABC的面积；‎ ‎（Ⅱ）原式利用正弦定理化简后，根据A的度数，得到B+C的度数，用C表示出B，代入关系式整理后约分即可得到结果．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵ ‎ ‎∴∵∴‎ 由得，‎ ‎∴∴‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果. ‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 ‎(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．‎ ‎(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．‎ ‎2.利用向量解三角形问题的一般步骤为：‎ 第一步：分析题中条件，观察题中向量和三角形的联系；‎ 第二步：脱去向量外衣，利用数量积将已知条件转化成三角形中的边角关系；‎ 第三步：利用正弦定理或余弦定理解三角形；‎ 第四步：反思回顾，检查所得结果是否适合题意作答．‎ 实战演练:‎ ‎1．【山东省德州市2018届高三上学期期中考试】已知向量.‎ ‎（1）当时，求的值；‎ ‎（2）当时， (为实数），且，试求的最小值.‎ ‎【答案】(1) 或;(2) .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2．【福建省三明市第一中学2018届高三上学期期中考试】在中，角, , 所对的边为, ， ‎ ‎,，‎ ‎， ，若 ‎（1）求函数的图象的对称点；‎ ‎（2）若,且的面积为，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）20. ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎∴.‎ ‎3．【全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考】已知向量， ，其中，且.‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）若，且，求角.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知得，从而由即可得和，由二倍角公式即可得解；‎ ‎（2）由利用两角差的正弦展开即可得解.‎ 试题解析：‎ ‎ ‎ ‎4．【河南省南阳市2017年秋期高中三年级期中】已知向量.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）记，求函数的最大值和最小值及对应的的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）时； 时 ‎【解析】试题分析：（1）根据向量的平行即可得到 ， ，问题得以解决；（2）根据平面向量的数量积公式和两角的正弦公式可得，再利用余弦函数的性质即可求出结果.‎ 试题解析：（1），‎ 即.‎ ‎（2）‎ 当时，即时；‎ 当，即时.‎ ‎5．【江西省宜春昌黎实验学校2018届高三第二次段考】在△中，角所对的边分别为，且， .‎ ‎(Ⅰ) 求角的大小；‎ ‎(Ⅱ) 若，求证：△为等边三角形.‎ ‎【答案】(1) ；(2)见解析.‎ 因为，所以，‎ 解得或． 因为，所以． ‎ ‎(Ⅱ)在△ABC中， ，且，‎ 所以， ① ‎ 又，所以，‎ 代入①整理得，解得． ‎ 所以，于是，‎ 即为等边三角形． ‎ 点睛：利用向量的数量积转化为关于的一元二次方程，继而求出角的大小，在遇到边长的数量关系时可以运用正弦定理或者余弦定理求得边长，证得三角形形状。‎ ‎6．【江西省南昌市莲塘一中2018届高三10月月考】已知向量， ，函数， . ‎ ‎（1）若的最小值为-1，求实数的值；‎ ‎（2）是否存在实数，使函数， 有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎ ‎ ‎（2）令，即，‎ ‎∴或，∵ ， 有四个不同的零点，‎ ‎∴方程和在上共有四个不同的实根，‎ ‎∴∴∴.‎ ‎7．【陕西省渭南市尚德中学2018届高三上学期第二次月考】已知向量 ‎ （1）若a∥b,求x的值；‎ ‎ （2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）3，.‎ ‎ 8．【湖北省黄冈市2018届高三9月质量检测】已知向量， .‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）设函数，将函数的图像上所有的点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再把所得的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求的单调增区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）kZ.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）先考察向量平行，得到==,然后利用其次弦化切，得到答案。‎ ‎（2）由数量级公式和辅助角公式可知f(x)= p =+=2，根据移动法则得到g (x)= 2，g (－x)= 2，从而得到单调增区间。‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵,∴==, ‎ ‎∴－cos2x=== ‎ ‎（2）f(x)= p =+=2,由题意可得 g (x)= 2, g (－x)= 2，由2x+ , ‎ ‎－x ,‎ ‎∴单调递增区间为kZ.‎ ‎9．【河南省天一大联考2018届高三上学期阶段性测试（二）】已知向量，.‎ ‎（Ⅰ）若，求函数的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若向量满足，，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ 所以.因为，所以.‎ 所以，从而.‎ ‎10．【福建省三明市第一中学2018届高三上学期第一次月考】已知向量，，函数的最大值为.‎ ‎(1)求的大小；‎ ‎(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，‎ 得到函数的图象，作出函数在的图象．‎ ‎【答案】(1)；(2)图象见解析.‎ ‎ ‎ ‎ ‎