江苏省启东中学2017高考数学押题卷13

江苏省启东中学2017高考数学押题卷13

卷13‎ 一.填空题（每题5分，共70分）‎ ‎1. 复数的虚部是 ‎ ‎2．如,则实数的值等于 ‎ ‎3. 若函数，则 ‎ ‎4．等比数列中，表示前顶和，，则公比为 ‎ ‎5．在集合中先后随机地取两个数，若把这两个数按照取的先后顺序组成一个二位数，则“个位数与十位数不相同”的概率是 . ‎ ‎6．设为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：‎ ‎①若；②若∥∥，则∥；‎ ‎③若；④若，‎ 其中所有正确命题的序号是 ．‎ ‎7．已知，则的最小值为 ‎ ‎8．已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则给出如下四个判断：正确的有 ‎ ‎① ② ③ ④‎ ‎9．已知角A、B、C是的内角，分别是其对边长，向量，，，且则 ‎ ‎10．直线通过点,则的取值范围为 ‎ ‎11．已知，且在区间有最小值，无最大值，则__________．‎ ‎12. 在区间上满足不等式的解有且只有一个，则实数 ‎ ‎13． 在△中，，H在BC边上，则过点B以A、H为两焦点的双曲线的离心率为 ‎ ‎14. 已知数列满足：（为正整数），，若，则所有可能的取值为 ‎ 二.解答题（请给出完整的推理和运算过程，否则不得分）‎ ‎15.（14分）设函数的最大值为，最小值为，‎ 其中．‎ ‎（1）求、的值（用表示）；‎ ‎（2）已知角的顶点与平面直角坐标系中的原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点．求的值． ‎ ‎16. （14分）在直角梯形PBCD中，，A为PD的中点，如下左图。将沿AB折到的位置，使，点E在SD上，且，分别是线段的中点，如右图．‎ ‎ （1）求证：平面ABCD；‎ ‎ （2）求证：平面∥平面．‎ ‎17. （14分）如图，在一条笔直的高速公路的同旁有两个城镇，它们与的 距离分别是与，在上的射影之间距离为，现计划修普通公路把这两个城镇与高速公路相连接，若普通公路造价为万元/；而每个与高速公路连接的立交出入口修建费用为万元．设计部门提交了以下三种修路方案：‎ 方案①：两城镇各修一条普通公路到高速公路，并各修一个立交出入口；‎ 方案②：两城镇各修一条普通公路到高速公路上某一点，并 在点修一个公共立交出入口；‎ 方案③：从修一条普通公路到，再从修一条普通公路到 高速公路，也只修一个立交出入口． ‎ 请你为这两个城镇选择一个省钱的修路方案．‎ ‎18. （16分）已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为． ‎ ‎（1）（ⅰ）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率的值； ‎ ‎ （ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围；‎ ‎（2）设直线与轴、轴分别交于点，问当点P在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论．‎ ‎19. （16分）对于数列，定义数列为的“差数列”.‎ ‎ （I）若的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出的一个通项公式；‎ ‎ （II）若的“差数列”的通项为，求数列的前n项和；‎ ‎ （III）对于（II）中的数列，若数列满足且，求：①数列的通项公式；②当数列前n项的积最大时n的值．‎ ‎20. （16分）已知函数的图像在[a,b]上连续不断，定义：‎ ‎，，其中表示函数在D上的最小值，表示函数在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数为上的“k阶收缩函数”‎ ‎（1）若，试写出，的表达式；‎ ‎（2）已知函数试判断是否为[-1,4]上的“k阶收缩函数”，‎ 如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由；‎ （3） 已知，函数是[0,b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围 ‎ ‎ 附加题 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎21.（选修4—2：矩阵与变换）‎ 已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．‎ ‎22．（选修4—4：坐标系与参数方程）‎ 已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段长度.‎ ‎23．某中学选派名同学参加青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．‎ ‎(Ⅰ)从“青志队”中任意选名学生，求这名同学中至少有名同学参加活动次数恰好相等的概率；‎ ‎(Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．‎ 活动次数 参加人数 ‎24．用四个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同. 例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是，……， 如图所示.记这含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的种数为.‎ ‎（1）试用数学归纳法证明：；‎ ‎（2）现从四个字母组成的含个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是的概率为，求证：.‎ 参考答案 一.填空题（每题5分，共70分）‎ ‎1. 2．-1 3. 3 4．3 5． 6．①③ 7． 8．.④ 9．10．‎ ‎11． 12. 13． 14. 56和9 ‎ 二.解答题（请给出完整的推理和运算过程，否则不得分）‎ ‎15. 解（１） 由题可得而．．．．．．３分 所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．６分 ‎（２）角终边经过点，则．．．．．．．．．．１０分 ‎　　所以，．．．．．．．．１４分 ‎16. （14分）（1）证明：由题意可知，为正方形，‎ 所以在图中，，‎ ‎ 四边形ABCD是边长为2的正方形，‎ ‎ 因为，ABBC，‎ ‎ 所以BC平面SAB， ………………………………3分 ‎ 又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，‎ ‎ 所以SA平面ABCD，………………………………6分 ‎（2）证明：连接BD，设， 连接，‎ 正方形中，因为分别是线段的中点，所以，‎ ‎ 且，……………………9分 又，所以：，所以 所以平面平面。……………………………12分 ‎17. （14分）解：方案①：共修普通公路和两个立交出入口，‎ 所需资金为万元； ‎ 方案②：取关于的对称点，连与交于，‎ 在修一个出入口，则路程最短，共需资金：‎ 万元； ‎ 方案③：连接沿修路，在修一个出入口，共需资金：‎ 万元 ‎ 由于，比较大小有，（12分）故选择方案（3）．‎ ‎18. （16分）解：（1）（ⅰ）∵ 圆过椭圆的焦点，圆： ，∴ ，‎ ‎∴ ， ，∴． ‎ ‎（ⅱ）由及圆的性质，可得，∴∴‎ ‎∴，． ‎ ‎（2）设0，则 ‎, 整理得 ‎ ∴方程为：，‎ 方程为：．‎ 从而直线AB的方程为：．令，得，令，得，∴，∴为定值，定值是.‎ ‎19. （16分）（1）解：如（答案不惟一，结果应为 的形式，其中）‎ ‎（2）解：依题意 所以 从面是公比数为2的等比数列，所以 ‎（3）①解：由，两式相除得 所以数列分别是公比为的等比数列由 令 所以数列的通项为 ‎②记数列前n项的积为Tn.‎ 令即 所以当n是奇数时，‎ 从而 当n是偶数时，‎ 从而 注意到 所以当数列前n项的积Tn最大时 ‎20. 解：（1）由题意可得：，。‎ ‎ （2），，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当时，‎ 综上所述，。‎ 即存在，使得是[-1,4]上的“4阶收缩函数”。‎ ‎（3），令得或。‎ 函数的变化情况如下：‎ ‎ x ‎0‎ ‎2‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎4‎ 令得或。‎ ‎（i）当时，在上单调递增，因此，，。因为是上的“二阶收缩函数”，所以，‎ ‎①对恒成立；‎ ‎②存在，使得成立。‎ ‎①即：对恒成立，由解得或。‎ 要使对恒成立，需且只需。‎ ‎②即：存在，使得成立。‎ 由解得或。‎ 所以，只需。‎ 综合①②可得。‎ ‎（i i）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，，，，显然当时，不成立。‎ ‎（i i i）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，，，，显然当时，不成立。‎ 综合（i）（i i）（i i i）可得：。‎ 附加题 ‎21．解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝可得， ＝6，‎ 即c＋d＝6； ………………………………………3分 由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得 ＝，‎ 即‎3c－2d＝－2， …………………………………………6分 解得即A＝， …………………………8分 A逆矩阵是 ‎22．解：将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，‎ 即，它表示以为圆心，2为半径的圆，…………………………4分 直线方程的普通方程为，………………………………6分 圆C的圆心到直线l的距离，…………………………………………………8分 故直线被曲线截得的线段长度为． …………………10分 ‎23、(Ⅰ)这名同学中至少有名同学参加活动次数恰好相等的概率为 ‎ …………………………………………4分 ‎ …………………………………………5分 ‎(Ⅱ)由题意知 ‎……………………………………6分 ‎……………………………………7分 ‎……………………………………8分 ‎　的分布列：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…………………………………………10分 的数学期望: …………12分 ‎24．解（1）：证明：‎ ‎（ⅰ）当时，因为，，所以等式正确.‎ ‎（ⅱ）假设时，等式正确，即，‎ 那么，时，因为 ‎，‎ 这说明时等式仍正确.‎ 据（ⅰ），（ⅱ）可知，正确.‎ ‎（2）易知，‎ ‎①当为奇数（）时，，因为，所以，又 ‎，所以；‎ ‎②当为偶数（）时，，因为，所以，又，所以.综上所述，.‎