高考数学一轮复习练案73第十章统计统计案例第三讲变量间的相关关系统计案例含解析

高考数学一轮复习练案73第十章统计统计案例第三讲变量间的相关关系统计案例含解析

- 1 - [练案 73]第三讲　变量间的相关关系、统计案例 A 组基础巩固 一、单选题 1．观察下列各图形， 其中两个变量 x，y 具有相关关系的图是(　C　) A．①②　 B．①④　 C．③④　 D．②③ [解析]　由散点图知③中的点都分布在一条直线附近．④中的点都分布在一条曲线附近， 所以③④中的两个变量具有相关关系． 2．(2019·广西柳州模拟)根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0 得到了回归方程 y^ ＝bx＋a，则(　C　) A．a>0，b>0　　 B．a<0，b>0 C．a>0，b<0　　 D．a<0，b<0 [解析]　由表格数据可知 y 与 x 是负相关关系，所以 b<0，且当 x＝0 时，y>0，所以 a>0，故选 C. 3．(2019·山东师大附中模拟)为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为 此进行了 5 次试验，得到 5 组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，根据 收集到的数据可知 x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝150，由最小二乘法求得回归直线方程为 y^ ＝0.67x＋ 24.9，则 y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝(　C　) A．45　 B．125.4　 C．225　 D．350.4 [解析]　因为 x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝150，所以x＝ x1＋x2＋x3＋x4＋x5 5 ＝ 150 5 ＝30.又因为 (30，y)在回归直线y ^ ＝0.67x＋24.9 上，将(30，y)代入y ^ ＝0.67x＋24.9，可求得y＝45＝ y1＋y2＋y3＋y4＋y5 5 ，所以 y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝225，故选 C. 4．(2020·西北狼联盟质检)广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续 5 个年 - 2 - 度的广告费 x 和销售额 y 进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元) 广告费 x 2 3 4 5 6 销售额 y 29 41 50 59 71 由上表可得回归方程y ^ ＝10.2x＋a ^ ，据此模型，预测广告费为 10 万元时销售额约为 (　B　) A．118.2 万元　　 B．111.2 万元 C．108.8 万元　　 D．101.2 万元 [解析]　由表格中数据可得，x＝4，y＝50， ∴50＝4×10.2＋a ^ ，解得a ^ ＝9.2， ∴回归方程为y ^ ＝10.2x＋9.2， ∴当 x＝10 时，y ^ ＝10.2×10＋9.2＝111.2， 即预测广告费 10 万元时销售额约为 111.2，故选 B. 5．(2019·沧州七校联考)通过随机询问 200 名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动， 计算得到统计量 K2 的观测值 k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是(　C　) P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 k 2.706 3.841 5.024 A.有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B．有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C．在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D．在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 6．(2019·河南商丘)某医疗所为了检查新开发的流感疫苗对甲型 H1N1 流感的预防作用， 把 1 000 名注射疫苗的人与另外 1 000 名未注射疫苗的人半年的感冒记录作比较，提出假设 H0： “这种疫苗不能起到预防甲型 H1N1 流感的作用”，并计算得P(K2≥6.635)≈0.01，则下列说 法正确的是(　C　) A．这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的有效率为 1% B．若某人未使用疫苗则他在半年中有 99%的可能性得甲型 H1N1 流感 C．有 99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的作用” D．有 1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的作用” [解析]　因为 P(K2≥6.635)≈0.01，这说明假设不合理的程度为 99%，即这种疫苗不能起 到预防甲型 H1N1 流感的作用不合理的程度约为 99%，所以有 99%的把握认为“这种疫苗能起 到预防甲型 H1N1 流感的作用”，故选 C. 7．(2020·吉林省吉林市调研)对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：(0.675， - 3 - －0.989)，(1.102，－0.010)，(2.899,1.024)，(9.101,2.978)，下列函数模型中拟合较好 的是(　D　) A．y＝3x　　 B．y＝3x C．y＝－(x－1)2　　 D．y＝log3x [解析]　如图，作出 A，B，C，D 中四个函数图象， 同时描出题中的四个点，它们在曲线 y＝log3x 的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因 此 D 是正确选项，故选 D. 二、多选题 8．某车间为了规划生产进度提高生产效率，记录了不同时段生产零件个数 x(单位：百个) 与相应加工总时长 y(单位：小时)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 y 关于 x 的线 性回归方程为 y^ ＝0.7x＋0.05，则下列结论正确的是(　ABC　) x 2 3 4 5 y 1.5 2 m 3.5 A.加工总时长与生产零件数呈正相关 B．该回归直线一定过点(3.5,2.5) C．零件每增加 1 百个，相应加工总时长约增加 0.7 小时 D．m 的值是 2.85 [解析]　依题意，对于 A，注意到 0.7>0，因此加工总时长与生产零件数呈正相关，选项 A 正确；对于 B，当 x＝3.5 时，y＝0.7×3.5＋0.05＝2.5，因此回归直线一定过点(3.5,2.5)， 选项 B 正确；对于 C，易知零件每增加 1 百个，相应加工总时长约增加 0.7 小时，因此选项 C 正确；回归直线必过样本点的中心，x＝ 2＋3＋4＋5 4 ＝3.5，于是有y＝ 1.5＋2＋m＋3.5 4 ＝2.5， 由此解得 m＝3，因此选项 D 不正确．故选 A、B、C. 9．(2020·山东日照联考)某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能 力测试．学校对参加测试的 200 名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩 进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是(　AC　) - 4 - A．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 B．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 C．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前 D．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 [解析]　根据图示，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前， 他的阅读表达成绩排名靠后．故选 AC. 10．(2020·山东烟台期末)某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了 50 名男生和 50 名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联 表．经计算 K2 的观测值 k≈4.762，则可以推断出(　ACD　) 满意 不满意 男 30 20 女 40 10 P(k2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 3 5 B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意 C．有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D．在犯错概率不超过 5%的前提下认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 [ 解 析 ] 　 由 表 易 知 男 生 比 女 生 对 食 堂 服 务 满 意 率 低 ， 故 B 错 ， 又 K2 ＝ 100 × 30 × 10－40 × 202 70 × 30 × 50 × 50 ≈4.8>3.841，∴ACD 正确． 三、填空题 11．关于独立性检测，K2 越大，则“X 与 Y 有关系”这种判断犯错的概率__越小__． 12．(2019·吉林市五地六校适应性考试)公司对 2019 年 1～4 月份的获利情况进行了数 据统计，如下表所示： 月份 x 1 2 3 4 - 5 - 利润 y/万元 5 6 6.5 8 利用线性回归分析思想，预测出 2019 年 8 月份的利润为 11.6 万元，则 y 关于 x 的线性 回归方程为　 y^ ＝0.95x＋4　. [解析]　设线性回归方程为 y^ ＝b ^ x＋ a^ ， 因为 x－ ＝ 5 2， y－ ＝ 51 8 ， 由题意可得Error!，解得b ^ ＝0.95， a^ ＝4， 即 y^ ＝0.95x＋4.故答案为 y^ ＝0.95x＋4. 四、解答题 13．(2020·唐山模拟)随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网 站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站 2017 年 1－ 8 月促销费用 x(万元)和产品销量 y(万件)的具体数据. 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 促销费用 x 2 3 6 10 13 21 15 18 产品销量 y 1 1 2 3 3.5 5 4 4.5 (1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请用相关系数 r 加以说明；(系数精确到 0.001) (2)建立 y 关于 x 的回归方程 y^ ＝b ^ x＋ a^ (系数精确到 0.01)，如果该公司计划在 9 月份实 现产品销量超 6 万件，预测至少需投入促销费用多少万元．(结果精确到 0.01) 参考数据： ∑ 8 i＝1 (xi－11)(yi－3)＝74.5， ∑ 8 i＝1 (xi－11)2＝340， ∑ 8 i＝1 (yi－3)2＝16.5， 340≈18.44， 16.5＝4.06，其中 xi，yi 分别为第 i 个月的促销费用和产品销量，i＝ 1,2,3，…，8. 参 考 公 式 ： (i) 样 本 (xi ， yi)(i ＝ 1,2 ， … ， n) 的 相 关 系 数 r ＝ ∑ n i＝1 xi－xyi－y ∑ n i＝1 xi－x2 ∑ n i＝1 yi－y2 . (ii)对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程 y^ ＝b ^ x＋ a^ 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为b ^ ＝ ∑ n i＝1 xi－xyi－y ∑ n i＝1 xi－x2 ， a^ ＝y－b ^ x－ . - 6 - [解析]　(1)由题可知 x－ ＝11， y－ ＝3， 将数据代入 r＝ ∑ n i＝1 xi－xyi－y ∑ n i＝1 xi－x2 ∑ n i＝1 yi－y2 ， 得 r≈ 74.5 18.44 × 4.06＝ 74.5 74.866 4≈0.995. 因为 y 与 x 的相关系数近似为 0.995，说明 y 与 x 的线性相关性很强，从而可以用线性回 归模型拟合 y 与 x 的关系．(需要突出“很强”，“一般”或“较弱”不给分) (2)将数据代入b ^ ＝ ∑ n i＝1 xi－xyi－y ∑ n i＝1 xi－x2 ， 得b ^ ＝ 74.5 340 ＝0.219， a^ ＝y－b ^ x－ ＝3－0.219×11≈0.59， 所以 y 关于 x 的回归方程为 y^ ＝0.22x＋0.59. 由 y^ ＝0.22x＋0.59>6，解得 x>24.59， 即至少需要投入促销费用 24.59 万元． 14．(2020·山东潍坊期末)读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养 浩然正气．书籍是文化的重要载体．读书是承继文化的重要方式．某地区为了解学生课余时 间的读书情况．随机抽取了 n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制 成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于 40 分钟的学生称为“读书之星”， 日均课余读书时间低于 40 分钟的学生称为“非读书之星”．已知抽取的样本中日均课余读书 时间低于 10 分钟的有 10 人． (1)求 n，p 的值； (2)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表，并判断是否有 95%以上的把握认为“读书之星” 与性别有关？ - 7 - 非读书之星 读书之星 总计 男 女 10 55 总计 (3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取 3 名学生，每 次抽取 1 名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量 X， 求 X 的分布列和期望 E(X)． 附：K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d，其中 n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 [解析]　(1)由频率分布直方图可知，p＝0.01， 所以 n＝ 10 0.1＝100. (2)因为 n＝100， 所以“读书之星”有 100×0.25＝25， 从而 2×2 列联表如下图所示： 非读书之星 读书之星 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计 75 25 100 将 2×2 列联表中的数据代入公式计算得 K2＝ 100 × 30 × 10－15 × 452 45 × 55 × 75 × 25 ＝ 100 33 ≈3.030， 因为 3.030<3.841，所以没有 95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关． (3)将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为 1 4， 由题意可知 X～B(3， 1 4)， 所以 P(X＝0)＝C03( 1 4)0×(1－ 1 4)3＝ 27 64， P(X＝1)＝C13× 1 4×(1－ 1 4)2＝ 27 64， P(X＝2)＝C23( 1 4)2×(1－ 1 4)＝ 9 64， P(X＝3)＝C33×( 1 4)3＝ 1 64， - 8 - 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 64 27 64 9 64 1 64 故 E(X)＝3× 1 4＝ 3 4. B 组能力提升 1．(2020·西安模拟)以模型 y＝cekx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，则 z＝ln y，其变换后得到线性回归方程 z＝0.3x＋4，则 c＝(　D　) A．0.3　 B．e0.3　 C．4　 D．e4 [解析]　z＝ln y＝ln(cekx)＝ln c＋kx，因为 z＝0.3x＋4，所以 ln c＝4，则 c＝e4.故选 D. 2．(2019·湖南师大附中模拟)在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，已经成为 全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取 100 只小鼠进行试验，得 到如下列联表： 感染 未感染 总计 服用 10 40 50 未服用 20 30 50 总计 30 70 100 参考公式：K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d P(K2>k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参照附表，在犯错误的概率最多不超过　5%　(填百分比)的前提下，可认为“该种疫苗 有预防埃博拉病毒感染的效果”． [解析]　由题意可得，K2＝ 100 × 10 × 30－20 × 402 50 × 50 × 30 × 70 ≈4.762>3.841，参照附表 可得，在犯错误的概率不超过 5%的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效 果”． 3．(2019·赣州模拟)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散点图中，若 所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，6)都在曲线y＝bx2－ 1 3附近波动，经计算 ∑ 6 i＝1xi＝11， ∑ 6 i＝1yi＝ 13， ∑ 6 i＝1x2i＝21，则实数 b 的值为　 5 7　. - 9 - [解析]　令 t＝x2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即 y＝bt－ 1 3，此时t＝ ∑ 6 i＝1x2i 6 ＝ 7 2，y＝ ∑ 6 i＝1yi 6 ＝ 13 6 ，代入 y＝bt－ 1 3，得 13 6 ＝b× 7 2－ 1 3，解得 b＝ 5 7. 4．(2019·福建龙岩、漳州模拟)某手机厂商在销售 200 万台某型号手机时开展“手机碎 屏险”活动．活动规则如下：用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为x 元．若 在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕．该手机厂商将在这 200 万台该型号手机全部 销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机后一年内未发生碎屏的用户中随机抽取 1000 名，每名 用户赠送 1000 元的红包．为了合理确定保费 x 的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得 到下表(其中 y 表示保费为 x 元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例)： x 10 20 30 40 50 y 0.79 0.59 0.38 0.23 0.01 (1)根据上面的数据求出 y 关于 x 的回归直线方程； (2)通过大数据分析，在使用该型号手机的用户中，购机后一年内发生碎屏的比例为 0.2%.已知更换一次该型号手机屏幕的费用为 2 000 元，若该手机厂商要求在这次活动中因销 售该“手机碎屏险”产生的利润不少于 70 万元，能否把保费 x 定为 5 元？ 参 考 公 式 ： 回 归 方 程 y ＝ bx ＋ a 中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 分 别 为 b ^ ＝ ∑n i＝1 xi－ x－ yi－ y－  ∑n i＝1 xi－ x－ 2 ， a^ ＝ y－ －b ^ x－ . 参考数据：表中 x 的 5 个值从左到右分别记为 x1，x2，x3，x4，x5，相应的 y 值分别记为 y1，y2，y3，y4，y5，经计算有 5 ∑ i＝1 (xi－ x－ )(yi－ y－ )＝－19.2， 其中 x－ ＝ 1 5 5 ∑ i＝1 xi， y－ ＝ 1 5 5 ∑ i＝1 yi. [解析]　(1)由 x－ ＝30， y－ ＝0.4， 5 ∑ i＝1 (xi－ x－ )(yi－ y－ )＝－19.2， 5 ∑ i＝1 (xi－ x－ )2＝1 000， 得b ^ ＝ ∑5 i＝1 xi－ x－ yi－ y－  ∑5 i＝1 xi－ x－ 2 ＝－0.019 2， a^ ＝ y－ －b ^ x－ ＝0.976， - 10 - 所以 y 关于 x 的回归直线方程为 y＝－0.019 2x＋0.976. (2)能把保费 x 定为 5 元． 理由如下：若保费 x 定为 5 元，则估计 y＝－0.019 2×5＋0.976＝0.88 估计该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润为 2 000 000×0.88×5－2 000 000×0.88×0.2%×2 000－1 000×1 000＝0.76×106(元)＝ 76(万元)>70(万元) 所以能把保费 x 定为 5 元． 5．(2020·百校联盟(全国Ⅰ卷)教质监)为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃 圾分类，从我做起”的知识问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类， 统计如下所示． (1)是否有 90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？ (2)在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取 9 人进行座谈，再从这 9 人中 随机抽取 5 人发送奖品，记拿到奖品的男生人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 E(X). 不合格 合格 男生 14 16 女生 10 20 参考公式：K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d，其中 n＝a＋b＋c＋d. 参考数据： P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 [解析]　(1)完善列联表如下所示： 不合格 合格 男生 14 16 30 女生 10 20 30 合计 24 36 60 ∴K2＝ 60 × 14 × 20－10 × 162 30 × 30 × 24 × 36 ≈1.111<2.706， 故没有 90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关． (2)依题意，成绩合格的男生抽取 4 人，成绩合格的女生抽取 5 人， 故 X 的可能取值为 0,1,2,3,4， - 11 - P(X＝0)＝ C55 C59＝ 1 126， P(X＝1)＝ C45C14 C59 ＝ 20 126＝ 10 63， P(X＝2)＝ C35C24 C59 ＝ 60 126＝ 10 21， P(X＝3)＝ C25C34 C59 ＝ 40 126＝ 20 63， P(X＝4)＝ C15C44 C59 ＝ 5 126， 故 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 1 126 10 63 10 21 20 63 5 126 所以 E(X)＝0× 1 126＋1× 20 126＋2× 60 126＋3× 40 126＋4× 5 126＝ 20 9 .