数学理卷·2017届江西省师大附中高三12月月考（2016

数学理卷·2017届江西省师大附中高三12月月考（2016

江西师大附中高三年级数学（理）月考试卷 ‎ 命题人：曾 敏 审题人：李清荣 2016. 12‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．定义集合，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数是纯虚数（为虚数单位），则的值为( )‎ A． B． C． D．或 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎3．下列说法正确的是（ ）‎ A．，“”是“”的必要不充分条件 B．“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件 C．命题“，使得”的否定是：“，”‎ D．命题：“，”，则是真命题 ‎4．已知向量满足，则在方向上的投影为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )‎ ‎ A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 ‎ C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 ‎6．已知等差数列满足数列的前项 ‎ 和为则的值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（），则 是的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得的近似分数为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．两圆和恰有三条公切线，若 ‎ 且，则的最小值为( )．‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．在平面直角坐标系中，点是由不等式组所确定的平面区域内的动点，‎ ‎ 是直线上任意一点，为坐标原点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，正三棱柱ABC−A1B‎1C1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D为AA1的中点．M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点（含端点），且满足BM=C1N．当M，N运动时，下列结论中不正确的是( ) ‎ A．平面DMN⊥平面BCC1B1‎ B．三棱锥A1−DMN的体积为定值 C．△DMN可能为直角三角形 D．平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为 ‎11.已知关于的方程在区间上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知正三棱锥的底面边长为，底边在平面内,绕旋转该三棱锥，若某个时刻它在平面上的正投影是等腰直角三角形,则此三棱锥高的取值范围是 （ ）‎ ‎． ．‎ ‎． ． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）‎ ‎13．在计算“1×2+2×3+．．．+n（n+1）”时，某同学学到了如下一种方法：‎ ‎ 先改写第k项：k（k+1）=‎ ‎ 由此得1×2．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎ ‎ ‎ ．．．．．．．．．．．．．‎ ‎ .‎ ‎ 相加，得1×2+2×3+．．．+n（n+1）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎ 类比上述方法，请你计算“1×2×3+2×3×4+．．．．”，其结果是__________．‎ ‎（结果写出关于的一次因式的积的形式）‎ ‎14．如图是一个几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为 ． ‎ ‎15．若正数a，b，c满足c2＋4bc＋‎2ac＋8ab＝8，则a＋2b＋c的最小值为______ 16．已知函数，若关于x的方程恰有两个不等实根、，则的最小值为_____． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ 设的内角所对应的边分别为, 已知 ‎（Ⅰ）求角 ‎（Ⅱ）若,求的面积。‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 已知正项等比数列满足成等差数列,且． ‎ ‎（1）求数列的通项公式;‎ ‎（2）设,求数列的前项和．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎ ‎ 如图，在多面体中，四边形为矩形，均为等边三角形，． ‎ ‎（Ⅰ）过作截面与线段交于点，使得//平面，‎ 试确定点的位置，并予以证明； ‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值． ‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 如图，四边形ABCD中，为正三角形，，，AC与BD交于O点．将沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为，且P点在平面ABCD内的射影落在内．‎ ‎ （Ⅰ）求证：平面PBD；‎ ‎ （Ⅱ）若已知二面角的余弦值为，求的大小．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点F重合，且点F到直线的距离为，与的一个交点的纵坐标为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（Ⅱ）过点F的直线l与交于两点，与交于C，D两点，求的取值范围．‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知函数，，且在点处的切线方程为．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎(Ⅰ）求的值；‎ ‎(Ⅱ）若函数在区间内有且仅有一个极值点，求的取值范围； ‎ ‎(Ⅲ）设为两曲线，的交点，且两曲线在交点处的切线分别为．若取，试判断当直线与轴围成等腰三角形时值的个数并说明理由．‎ 高三数学（理）答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B A A D D C B A A C D B ‎13. 14. 15. 16. ‎ ‎17. 解（Ⅰ）因为 所以，‎ 所以，‎ 所以，又因为，所以 ‎（Ⅱ）由可得, 由可得，‎ 而 所以的面积 ‎18. 解(1)设正项等比数列的公比为 由,因为,所以.‎ 又因为成等差数列,所以 所以数列的通项公式为.‎ ‎(2) 依题意得,则 ‎………… ‎…………‚ 由‚-得 所以数列的前项和 ‎19. 解：（Ⅰ）当为线段的中点时，使得平面，‎ 证法如下：‎ 连结,，设，‎ ‎∵四边形为矩形 ∴为的中点 ‎ 又∵为的中点 ∴为的中位线 ∴‎ ‎∵平面，平面 ‎ ‎∴平面，故为的中点时，使得平面. ‎ ‎（Ⅱ）过作分别与交于，‎ 因为为的中点，所以分别为的中点 ‎∵与均为等边三角形，且 ‎∴≌，连结，则得 ‎ ‎∵，，‎ ‎∴ ∴四边形为等腰梯形.‎ 取的中点，连结，则，‎ 又∵ ∴平面 ‎ 过点作于，则 ∴‎ 分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，‎ 不妨设，则由条件可得：‎ ‎…8分 设是平面的法向量，则即 所以可取 ‎ 由，可得 ‎ ∴直线与平面所成角的正弦值为. ‎ ‎20. 解：(Ⅰ)易知为的中点，则，又，‎ ‎ 又，平面， 所以平面 ‎ (Ⅱ)方法一：以为轴，为轴，过垂直于 平面向上的直线为轴建立如图所示空间 直角坐标系，则, ‎ 易知平面的法向量为 ‎，‎ 设平面的法向量为 则由得，‎ 解得，，令，则 则解得，，即 ‎，即，又，∴故 ‎21. 解：（Ⅰ）∵的焦点的坐标为 由点到直线的距离为得 ‎∵ 解得 又为椭圆的一个焦点 ∴ ① ‎ ‎∵与的公共弦长为，与都关于轴对称，‎ 而的方程为，从而与的公共点的坐标为 ∴ ②‎ 联立①②解得， ∴的方程为，点的坐标为 ‎ ‎（Ⅱ）当过点且垂直于轴时，的方程为代入求得 ‎∴ 把代入求得∴‎ 此时 ‎ 当与轴不垂直时，要使与有两个交点，可设的方程为，‎ 此时设 把直线的方程与椭圆的方程联立得得 ‎ 可得，，‎ ‎∴ ‎ 把直线的方程与抛物线的方程联立得得， ‎ 可得，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ∴ ∴‎ 综上可得的取值范围是. ‎ ‎22. 解：(Ⅰ），∴，又，∴． ‎ ‎(Ⅱ）； ∴‎ 由得， ∴或． ‎ ‎∵，当且仅当或时，函数在区间内有且仅有一个极值点．‎ 若，即，当时；当时，函数有极大值点，‎ 若，即时，当时；当时，函数有极大值点， 综上，的取值范围是．‎ ‎ (Ⅲ）当时，设两切线的倾斜角分别为，‎ 则，‎ ‎∵， ∴均为锐角，当，即时，若直线能与轴围成等腰三角形，则；当，即时，若直线能与轴围成等腰三角形，则．‎ 由得，，得，即，此方程有唯一解，直线能与轴围成一个等腰三角形．‎ 由得， ，得，即，‎ 设，，‎ 当时，，∴在单调递增，则在单调递增，由于，且，所以，则，‎ 即方程在有唯一解，直线能与轴围成一个等腰三角形． ‎ 因此，当时，有两处符合题意，所以能与轴围成等腰三角形时，值的个数有2个． ‎