数学卷·2018届浙江省诸暨市牌头中学高三1月月考（2018

数学卷·2018届浙江省诸暨市牌头中学高三1月月考（2018

牌头中学2017-2018学年第一学期1月考试卷 高三数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(请把选择题答案涂在答题卷上)‎ ‎1、集合，若，，则集合中的元素个数为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎2、已知向量，，若与平行，则实数的值是 （ ）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A． B．0 C．1 D．2‎ ‎3、已知，则“函数在上单调递增”是“数列是递增数列”的 充分而不必要条件必要而不充分条件充要条件既不充分也不必要条件 （ ）‎ ‎4、在的展开式中，常数项为 （ ）‎ A．-240 B．-60 C．60 D．240‎ ‎5、已知函数，是奇函数，则 （ ）‎ A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 ‎6、在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。”则下列说法错误的是 （ ）‎ A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.‎ C．此人第三天走的路程占全程的 D．此人后三天共走了42里路 ‎7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （ ）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A．16 B．‎ C．12 D．‎ ‎8、若实数满足的最大值是，则的值是 （ ）‎ ‎ 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎9、已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为 （ ）‎ A．36 B．40 C． D．‎ ‎10、设、分别是正方形中、边的中点，将沿对角线 对折，使得直线与异面，记直线与平面所成角为，与异面直线所成角为，则当时， （ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。(请把填空题答案写在答题卷上)‎ ‎11、已知为虚数单位，复数，则复数的实部是___________； ．‎ ‎12、设双曲线的右焦点坐标为 ，则到渐近线的距离为 ．‎ ‎13、设公差不为零的等差数列满足：是和的等比中项，‎ 则 ，的前项和 ‎ ‎14、袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球。若不放回摸球，每次1球，摸取3次，则恰有2次红球的概率为 ；若有放回摸球，每次1球，摸取3次，则摸到红球次数的期望为 ． ‎ ‎15、若实数满足，则的取值范围是 ．‎ ‎16、在中，，，，为的外心，且，则 ．‎ ‎17、已知函数在区间内既有极大值又有极小值，‎ 则的取值范围是 ．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎18.（本题14分）在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围．‎ ‎（解答过程写在答题卷上！）‎ ‎19.（本题15分）如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，过作平面与直线平行，交于.‎ ‎（1）求证：为的中点；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎（解答过程写在答题卷上！）‎ ‎20.（本题15分）已知函数，且。‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）证明：存在唯一的极大值点，且.‎ ‎（解答过程写在答题卷上！）‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎21.（本题15分）已知椭圆过点，两点．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率．‎ ‎（Ⅱ）设为第三个象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．‎ ‎（解答过程写在答题卷上！）‎ ‎22.（本题15分）定义数列如下：，‎ 求证：（Ⅰ）对于恒有成立； ‎ ‎（Ⅱ）（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎（解答过程写在答题卷上！）‎ 牌头中学2017-2018学年第一学期1月考试卷 高三数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(请把选择题答案涂在答题卷上)‎ ‎1、集合，若，，则集合中的元素个数为（ C ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎2、已知向量，，若与平行，则实数的值是 （ D ）‎ A． B．0 C．1 D．2‎ ‎3、已知，则“函数在上单调递增”是“数列是递增数列”的 充分而不必要条件必要而不充分条件充要条件既不充分也不必要条件 （ A ）‎ ‎4、在的展开式中，常数项为 （ D ）‎ A．-240 B．-60 C．60 D．240‎ ‎5、已知函数，是奇函数，则 （ B ）‎ A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 ‎6、在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。”则下列说法错误的是 （ C ）‎ A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.‎ C．此人第三天走的路程占全程的 D．此人后三天共走了42里路【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （ B ）‎ A．16 B． ‎ C．12 D．‎ ‎8、若实数满足的最大值是，则的值是 （ D ）‎ ‎ 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎9、已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与 交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为 （ A ）‎ A．36 B．40 C． D．‎ ‎10、设、分别是正方形中、边的中点，将沿对角线对折，使得直线与异面，记直线与平面所成角为，与异面直线所成角为，则当时， （ C ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。(请把填空题答案写在答题卷上)‎ ‎11、已知为虚数单位，复数，则复数的实部是___________； ．‎ ‎12、设双曲线的右焦点坐标为 ，则到渐近线的距离为 1 ．‎ ‎13、设公差不为零的等差数列满足：是和的等比中项，‎ 则 ，的前项和 ‎ ‎14、袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球。若不放回摸球，每次1球，摸取3次，则恰有2次红球的概率为 ；若有放回摸球，每次1球，摸取3次，则摸到红球次数的期望为 ． ‎ ‎15、若实数满足，则的取值范围是 ‎ ‎16、在中，，，，为的外心，且，则 ‎ ‎17、已知函数在区间内既有极大值又有极小值，‎ 则的取值范围是 ‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎18.（本题14分）在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围．‎ ‎（解答过程写在答题卷上！）‎ 解（Ⅰ）由余弦定理可得：，即，‎ ‎∴，由得． ………5分 ‎（Ⅱ）由得，，………6分 ‎∴ ‎ ‎．………9分 ‎∵ ，∴ ，………10分 ‎∴ ，………11分 ‎∴ 的取值范围为．………12分 ‎19.（本题15分）如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，过作平面与直线平行，交于.‎ ‎（1）求证：为的中点；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎（解答过程写在答题卷上！）‎ ‎19．解：（1）证明：连结，设，连接，则为的中点，且面面，‎ ‎∵平面，∴，∴为的中点.‎ ‎（2）∵，∴底面，∴.‎ 又∵，，∴平面.‎ 过点作的垂线，交于，连接.‎ ‎∵，∴，∴为所求的平面角.‎ ‎，∴，又，∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎20.（本题15分）已知函数，且。‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）证明：存在唯一的极大值点，且.‎ ‎（解答过程写在答题卷上！）‎ 解：（1）的定义域为 设，则等价于 因为，故，‎ 而，‎ 得;若，则 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增 所以是的极小值点，故 综上，‎ ‎（2）由（1）知 设，则 当时，；当时，.‎ 所以在单调递减，在单调递增.‎ 又，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；当 时，.‎ 因为，所以是的唯一极大值点.‎ 由得，故.‎ 由得.‎ ‎21.（本题15分）已知椭圆过点，两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率．‎ ‎（Ⅱ）设为第三个象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．‎ ‎（解答过程写在答题卷上！）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 解：（Ⅰ）∵椭圆，过点，两点，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴椭圆的标准方程为，‎ 离心率．‎ ‎（Ⅱ）设点坐标为，则直线的方程为，‎ 点坐标为，直线的方程为，‎ 点坐标为，则，，‎ 所以 ‎①，‎ 又∵，‎ ‎∴，代入①得：‎ ‎．‎ 故四边形的面积为定值．‎ ‎22.（本题15分）定义数列如下：‎ 求证：（Ⅰ）对于恒有成立； ‎ ‎（Ⅱ）（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎（解答过程写在答题卷上！）‎ 证明：（1）因为 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 因为，所以由归纳法可知 ………..4分 ‎ （2）由得：‎ ‎ … … ‎ ‎ 以上各式两边分别相乘得： ，又 ‎ ………..7分 ‎ 又 ‎ ‎ 又 ‎ 原不等式得证。 ………..15分