高考数学专题复习：离散型随机变量的均值

高考数学专题复习：离散型随机变量的均值

‎2.3.1　离散型随机变量的均值 一、选择题 ‎1、某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)‎ A．100 B．‎200 ‎ C．300 D．400‎ ‎2、一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后尚余子弹数目的均值为(　　)‎ A．2.44 B．‎3.376 ‎ C．2.376 D．2.4‎ ‎3、两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望是(　　)‎ A． B． C． D． ‎4、已知随机变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 则η＝2ξ＋3，则E(η)等于(　　)‎ A． B． C． D． ‎5、已知随机变量X的分布列是：‎ X ‎4‎ a ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.3‎ ‎0.1‎ b ‎0.2‎ E(X)＝7.5，则a等于(　　)‎ A．5 B．‎6 ‎ C．7 D．8‎ ‎6、设随机变量ξ的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，则E(X)的值为(　　)‎ A．2.5 B．‎3.5 ‎ C．0.25 D．2‎ 二、填空题 ‎7、某渔业公司要对下月是否出海做出决策，若出海后遇到好天气，则可得收益60 000元，若出海后天气变坏，则将损失80 000元，若不出海，则无论天气好坏都将损失10 000元，据气象部门的预测，下月好天气的概率为60%，坏天气的概率为40%，该公司应做出决策________(填出海或不出海)．‎ ‎8、某射手射击所得环数ξ的分布列如下：‎ ξ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P x ‎0.1‎ ‎0.3‎ y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．‎ ‎9、随机变量ξ的概率分布列由下表给出：‎ ξ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.3‎ ‎0.35‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ 则随机变量ξ的均值是________．‎ 三、解答题 ‎10、设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.‎ ‎(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；‎ ‎(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．‎ ‎11、一出租车司机从饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.‎ ‎(1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了2个交通岗的概率；‎ ‎(2)求这位司机在途中遇到红灯数ξ的数学期望．‎ ‎12、在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的死亡率，假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6，试问3个投保人中：‎ ‎(1)全部活到65岁的概率；‎ ‎(2)有2个活到65岁的概率；‎ ‎(3)有1个活到65岁的概率；‎ ‎(4)都活不到65岁的概率；‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、B　[种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，‎ 故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1 000，0.1)，‎ ‎∴E(ξ)＝1 000×0.1＝100，‎ 故需补种的期望为E(X)＝2·E(ξ)＝200.]‎ ‎2、C　[X＝k表示第(4－k)次命中目标，‎ P(X＝3)＝0.6，‎ P(X＝2)＝0.4×0.6，‎ P(X＝1)＝0.42×0.6，‎ P(X＝0)＝0.43×(0.6＋0.4)，‎ ‎∴E(X)＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6‎ ‎＝2.376.]‎ ‎3、B　[由题意知ξ～B(2，)，‎ ‎∴E(ξ)＝2×＝.]‎ ‎4、C　[E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝，‎ 又∵η＝2ξ＋3，‎ ‎∴E(η)＝2E(ξ)＋3＝2×＋3＝.]‎ ‎5、C　[∵E(X)＝4×0.3＋0.1×a＋9b＋2＝7.5，‎ ‎0．3＋0.1＋b＋0.2＝1，‎ ‎∴a＝7，b＝0.4.]‎ ‎6、A　[E(X)＝1×＋2×＋3×＋4× ‎＝×10＝2.5.]‎ 二、填空题 ‎7、出海 解析　设ξ为公司出海的获利，则ξ的分布列为 ξ ‎60 000‎ ‎－80 000‎ P ‎0.6‎ ‎0.4‎ 所以获利期望E(ξ)＝36 000－32 000＝4 000>－10 000，所以应出海．‎ ‎8、0.4‎ 解析　∵E(ξ)＝7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝7×(0.6－y)＋10y＋3.5＝7.7＋3y，‎ ‎∴7.7＋3y＝8.9，‎ ‎∴y＝0.4.‎ ‎9、8.2‎ 解析　E(ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.‎ 三、解答题 ‎10、解　由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，‎ 即S＝{x|－2≤x≤3}．‎ 由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．‎ ‎(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，‎ 所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，‎ 且有P(ξ＝0)＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝4)＝＝，‎ P(ξ＝9)＝.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋4×＋9×＝.‎ ‎11、解　(1)∵这位司机在第一个、第二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，‎ ‎∴P＝(1－)(1－)·＝.‎ ‎(2)∵ξ～B(6，)，‎ ‎∴E(ξ)＝6×＝2.‎ ‎12、解　3个投保人活到65岁的人数相当于作3次独立重复试验中事件发生的次数，由公式有 ‎(1)P(3)＝C×0.63×(1－0.6)0＝0.216；‎ ‎(2)P(2)＝C×0.62×(1－0.6)1＝0.432；‎ ‎(3)P(1)＝C×0.61×(1－0.6)2＝0.288；‎ ‎(4)P(0)＝C×0.60×(1－0.6)3＝0.064.‎