2020高中数学 课时分层作业2 导数的几何意义 新人教A版选修2-2

2020高中数学 课时分层作业2 导数的几何意义 新人教A版选修2-2

课时分层作业(二)　导数的几何意义 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　) ‎ ‎【导学号：31062016】‎ A．不存在　　 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直 B　[由导数的几何意义可知选项B正确．]‎ ‎2．若函数f(x)＝x＋，则f′(1)＝(　　)‎ A．2 B． C．1 D．0‎ D　[f′(1)＝ ‎＝ ＝0.]‎ ‎3．已知点P(－1,1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为(　　)‎ A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1‎ C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2‎ B　[由题意可知， 曲线在点P处的切线方程为 y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.]‎ ‎4．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是(　　)‎ A．(0,0) B．(2,4)‎ C． D． D　[∵y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x，‎ ‎∴令2x＝tan ＝1，得x＝.∴y＝2＝，所求点的坐标为.]‎ 6‎ 图1110‎ ‎5．如图1110，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于(　　)‎ ‎ 【导学号：31062017】‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ A　[易得切点P(5,3)，∴f(5)＝3，k＝－1，即f′(5)＝－1.∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.]‎ 二、填空题 ‎6．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.‎ ‎[解析]　∵f′(1)＝2，‎ 又 ＝ ＝ (aΔx＋‎2a)＝‎2a，∴‎2a＝2，∴a＝1.又f(1)＝a＋b＝3，∴b＝2.‎ ‎∴＝2.‎ ‎[答案]　2‎ ‎7．曲线y＝x2－2x＋3在点A(－1,6)处的切线方程是__________. ‎ ‎【导学号：31062018】‎ ‎[解析]　因为y＝x2－2x＋3，切点为点A(－1,6)，所以斜率k＝y′|x＝－1‎ ‎＝ ‎＝ (Δx－4)＝－4，‎ 所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.‎ ‎[答案]　4x＋y－2＝0‎ ‎8．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________．‎ ‎[解析]　设P(x0，y0)，则 y′|x＝x0＝ ‎＝ (2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.‎ 因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，‎ 所以点P处的切线的斜率为2，‎ 所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0,0)．‎ 6‎ ‎[答案]　(0,0)‎ 三、解答题 ‎9．若曲线y＝f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，求a的值．‎ ‎[解]　∵f′(a)＝ ＝‎3a2，∴曲线在(a，a3)处的切线方程为y＝－a3＝‎3a2(x－a)，切线与x轴的交点为.‎ ‎∴三角形的面积为·|a3|＝，得a＝±1.‎ ‎10．已知曲线y＝x2，‎ ‎(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；‎ ‎(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程. 【导学号：31062019】‎ ‎[解]　(1)设切点为(x0，y0)，‎ ‎∵y′|x＝x0＝ ‎＝ ＝2x0，‎ ‎∴y′|x＝1＝2.‎ ‎∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，‎ 即y＝2x－1.‎ ‎(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为A(x0，y0)，‎ 由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，‎ ‎∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，‎ 由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)， ①‎ 再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x， ②‎ 联立①，②得x0＝1或x0＝5.‎ 从而切点为(1,1)时，‎ 切线的斜率为k1＝2x0＝2，‎ 此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，‎ 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，‎ 此时切线方程为y－25＝10(x－5)，‎ 即y＝10－25.‎ 综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.‎ ‎[能力提升练]‎ 6‎ ‎1．已知函数f(x)的图象如图1111所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　)‎ 图1111‎ A．0f′(3)．记A(2，f(2))，B(3，f(3))，作直线AB，则直线AB的斜率k＝＝f(3)－f(2)，由函数图象，可知k1>k>k2>0，即f′(2)>f(3)－f(2)>f′(3)>0.故选B.]‎ ‎2．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为(　　)‎ A．2 B．－1‎ C．1 D．－2‎ D　[∵ ‎＝ ＝－1，‎ ‎∴ ＝－2，即f′(1)＝－2.‎ 由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝－2，故选D.]‎ ‎3．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是________. ‎ ‎【导学号：31062020】‎ ‎[解析]　因为y＝x3，所以y′＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.‎ 由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.‎ 当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.‎ 6‎ 故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)．‎ ‎[答案]　(1,1)或(－1，－1)‎ ‎4．已知函数y＝f(x)的图象如图1112所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是__________(填序号)．‎ 图1112‎ ‎[解析]　由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．‎ ‎[答案]　②‎ ‎5．已知曲线f(x)＝.‎ ‎(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；‎ ‎(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．‎ ‎[解]　(1)f′(x)＝ ‎＝ ＝－.‎ 设过点A(1,0)的切线的切点为P， ①‎ 则f′(x0)＝－，即该切线的斜率为k＝－.‎ 因为点A(1,0)，P在切线上，‎ 所以＝－， ②‎ 解得x0＝.‎ 故切线的斜率k＝－4.‎ 故曲线过点A(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)，‎ 6‎ 即4x＋y－4＝0.‎ ‎(2)设斜率为－的切线的切点为Q，‎ 由(1)知，k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±.‎ 所以切点坐标为或.‎ 故满足斜率为－的曲线的切线方程为 y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，‎ 即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.‎ 6‎