2018-2019学年河北省鹿泉县第一中学高二5月月考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年河北省鹿泉县第一中学高二5月月考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年河北省鹿泉县第一中学高二5月月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．复数的虚部为　　‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】对复数进行化简计算，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 所以的虚部为 故选B项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.‎ ‎2．有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点,因为函数满足，所以是函数的极值点”，结论以上推理　　‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．没有错误 ‎【答案】A ‎【解析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．‎ ‎【详解】‎ 对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，‎ 而大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，‎ ‎∴大前提错误，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．‎ ‎3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到如表的列联表：‎ ‎  ‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由公式算得：‎ 附表：‎ ‎2.702‎ 参照附表，得到的正确结论是　　‎ A．有以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”‎ B．有以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”‎ C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”‎ D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关”‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据条件中所给的观测值，同观测值表进行检验，得到观测值对应的结果，得到结论有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．‎ ‎【详解】‎ K27.8＞6.635．‎ 即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．‎ ‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验的应用，考查对于观测值表的认识，是一个基础题．‎ ‎4．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据图象和导数的几何意义即可判断．‎ ‎【详解】‎ 由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大，‎ ‎∵a，‎ ‎∴f′（1）＜a＜f′（2），‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义以及函数的变化率，属于基础题．‎ ‎5．已知函数，则的图象在点处的切线方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由题求出f（x）的导函数，可得出在点（0，f（0））的斜率，再根据切线公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（x）= ，‎ ‎∴f′（x）=，‎ ‎∴f′（0）=-1，f（0）=1，‎ 即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为-1，‎ ‎∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x+1，‎ 即x+y-1=0．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了曲线的切线方程，求导和熟悉公式是解题的关键，属于基础题.‎ ‎6．用反证法证明命题：“，且，则中至少有一个负数”时的假设为（ ）‎ A．至少有一个正数 B．全为正数 C．全都大于等于 D．中至多有一个负数 ‎【答案】C ‎【解析】解：因为用反证法证明命题：“,,,且,则中至少有一个负数”时的假设为全都大于等于0‎ ‎7．以下四个命题中：‎ 在回归分析中，可用相关指数的值判断拟合的效果，越大，模型的拟合效果越好； 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；若数据，，，，的方差为1，则，，的方差为2；对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为　　‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意得，若数据的方差为1，则的方差为，所以③不正确；对分类变量与的随机变量 的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握程度越小，所以④不正确；其中①、②值正确的，故选B.‎ ‎【考点】统计的基本概念.‎ ‎8．若函数在区间内是减函数，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题首先可以求出函数的导函数，然后根据“函数在区间内是减函数”即可推出“导函数在区间内小于等于0”，最后即可通过计算得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 因为函数在区间内是减函数，‎ 所以导函数在区间内小于等于0，‎ 即，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是导函数的相关性质，主要考查导函数与函数单调性之间的联系，考查函数求导，考查推理能力，是简单题。‎ ‎9．函数，的图象大致是　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵函数f（x）=2x﹣4sinx，∴f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，‎ 所以函数f（x）=2x﹣4sinx的图象关于原点对称，排除AB，‎ 函数f′（x）=2﹣4cosx，由f′（x）=0得cosx=，故x=2k（k∈Z），‎ 所以x=±时函数取极值，排除C，‎ 故选：D．‎ 点睛：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．‎ ‎10．的三边长分别为，的面积为，内切圆半径为，则，类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为、、、，内切球半径为，四面体的体积为，则(    )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 设四面体的内切球的球心为，则 球心到四面体的距离都是，‎ 所以四面体的体积等于以为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积和，‎ 则四面体的体积为，‎ 所以，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了类比推理的应用，其中对于类比推理的步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论，熟记类比推理的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎11．小赵、小钱、小孙、小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由条件概率公式计算即可.‎ 详解：，，，‎ 则.‎ 故选：A.‎ 点睛：本题考查条件概率.‎ ‎12．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作：设三个电子元件的使用寿命单位：小时均服从正态分布，若每个元件使用寿命超过1200小时的概率为，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过800小时的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得每个元件寿命不足800小时的概率为，故元件1，2，3的使用寿命超过800小时的概率均为1，可得所求事件的概率为（1），计算求得结果 ‎【详解】‎ 设该部件的使用寿命超过800小时的概率为P（A）．因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，σ2），‎ 每个元件使用寿命超过1200小时的概率为，故每个元件寿命不足800小时的概率为，‎ 所以，元件1，2，3的使用寿命超过800小时的概率均为1，‎ ‎∴P（A）＝（1），‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．曲线，所围成的封闭图形的面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：曲线，的交点为，所求封闭图形面积为.‎ ‎【考点】曲边梯形面积.‎ ‎14．二项式的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出n＝6，再求出其通项公式，令x的指数为0，求出r，再代入通项公式即可求出常数项的值．‎ ‎【详解】‎ 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，所以n＝6．‎ ‎ 其通项公式Tr+1＝C6r•（）r•，‎ 令30，求得r＝2，可得展开式中的常数项为C62•（）2，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理中的常用结论：如果n为奇数，那么是正中间两项的二项式系数最大；如果n为偶数，那么是正中间一项的二项式系数最大，考查通项公式的应用，是基础题 ‎15．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数的期望是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在一次试验中成功的概率为1－×＝，‎ ‎∵X～B，∴E(X)＝np＝10×＝.‎ ‎16．若函数在处取得极小值，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，得，‎ 若时，令，得，令，得，即函数在处取得极大值（舍）；当时， 恒成立，即函数不存在极值；若时，令，得，令，得，即若函数在处取得极小值，此时.‎ 点睛：本题考查利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的极值时，要注意可导函数在时存在极值，则，且两侧的导函数异号，若时， ， 时， ，则在时取得极小值，往往忽视验证两侧的导函数是否异号.‎ 三、解答题 ‎17．当实数为何值时．‎ 为实数；‎ 为纯虚数；‎ 对应的点在第一象限．‎ ‎【答案】 或； 0； 或．‎ ‎【解析】（1）复数为实数，则虚部等于0；（2）复数为纯虚数，则实部为0，虚部不等于0；（3）若复平面内对应的点位于第一象限，则实部大于0，虚部大于0．‎ ‎【详解】‎ 若复数z是实数，则，得或；‎ ‎ 复数z是纯虚数，则由，得．‎ 在复平面内对应的点位于对应的点在第一象限，‎ 则，解得或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的有关概念，建立条件关系是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎18．十九大指出，必须树立“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，这一理念将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展以下是近几年我国新能源汽车的年销量数据及其散点图如图所示：‎ 年份 ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 年份代码 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 新能源汽车的年销量万辆 ‎(1)请根据散点图判断与中哪个更适宜作为新能源汽车年销量 关于年份代码的回归方程模型？给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎ (2)根据的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并预测2019年我国新能源汽车的年销量精确到 ‎ 附令，‎ ‎10‎ ‎374‎ ‎851.2‎ ‎【答案】(1)更适宜；(2)万辆．‎ ‎【解析】（1）根据散点图知y＝cx2+d更适宜回归方程；（2）依题意计算与回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算x＝7时的值即可．‎ ‎【详解】‎ 根据散点图得，更适宜作为年销量y关于年份代码x的回归方程  ‎ 依题意得，，，   ‎ 则，   ‎ 令，则，‎ 故预测2019年我国新能源汽车的年销量为万辆．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了散点图、变量间的相关关系、非线性回归分析等基础知识，也考查了数据处理能力、运算求解能力和应用概率统计知识进行决策的意识，是基础题．‎ ‎19．某校设计了一个实验考察方案：考生从6道备选题中随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中的2道题便可通过己知6道备选题中考生甲有4道能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．‎ 求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，和甲、乙两考生的数学期望；‎ 请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）甲的实验操作能力较强．‎ ‎【解析】（1）首先确定甲、乙做对题数可能的取值；根据超几何分布和二项分布的概率求解方法得到每个取值所对应的概率，从而得到分布列；再利用数学期望公式求解得到结果；（2）分别计算方差和甲、乙两人通过的概率；则可知甲较稳定，且通过的概率较大，从而可知甲实验操作能力更强.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为，‎ 的取值分别为；的取值分别为 ‎；；‎ 考生甲正确完成题数的分布列为：‎ ‎；；‎ ‎；‎ 考生乙正确完成题数的分布列为：‎ ‎（2）‎ 又，‎ 从数学期望角度考察，两人做对题数水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成题的概率考察，甲获得通过的可能性大 甲的实验操作能力较强 ‎【点睛】‎ 本题考查离散型随机变量的分布列、均值和方差，以及利用均值和方差解决实际问题，关键是能够确定二人做对题数的概率分布服从于超几何分布和二项分布，从而利用概率公式求解得到结果.‎ ‎20．已知数列，，，，，，记数列的前项和．‎ ‎1计算，，，；‎ ‎2猜想的表达式，并用数学归纳法证明．‎ ‎【答案】1 ，，，；2 ，证明见解析.‎ ‎【解析】（1）S1＝a1，由S2＝a1+a2求得S2，同理求得 S3，S4．（2）由（1）猜想猜想，n∈N+，用数学归纳法证明，检验n＝1时，猜想成立；假设，则当n＝k+1时，由条件可得当n＝k+1时，也成立，从而猜想仍然成立．‎ ‎【详解】‎ ‎ ；；；；‎ 猜想．‎ 证明：当时，结论显然成立；‎ 假设当时，结论成立，即，‎ 则当时，，‎ 当时，结论也成立，‎ 综上可知，对任意，．‎ 由，知，等式对任意正整数都成立．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据递推关系求数列的通项公式的方法，证明n＝k+1时，是解题的难点．‎ ‎21．设函数，.‎ 求函数的单调区间；‎ 当时，若函数没有零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】 当时，的增区间是，当时，的增区间是，减区间是； ‎ ‎【解析】（1）求函数f（x）的导数，利用导数和单调性之间的关系即可求函数的单调区间；（2）根据函数f（x）没有零点，转化为对应方程无解，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ 当时，，在区间上单调递增，‎ 当时，令，解得；‎ 令，解得，‎ 综上所述，当时，函数的增区间是，‎ 当时，函数的增区间是，减区间是；‎ 依题意，函数没有零点，‎ 即无解，‎ 由1知：当时，函数在区间上为增函数，区间上为减函数，‎ 只需，‎ 解得．‎ 实数a的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，函数的零点，考查学生的运算能力，是中档题 ‎22．已知曲线的参数方程为(为参数在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.‎ ‎1求曲线的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎2若与相交于两点，设点，求的值．‎ ‎【答案】（1）的普通方程为.的直角坐标方程为.（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）消参后得到曲线的普通方程；根据得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到关于的一元二次方程，而 ，代入根与系数的关系得到结果.‎ 试题解析：（I）（为参数） ，‎ 所以曲线的普通方程为. ‎ ‎，‎ 所以的直角坐标方程为. ‎ ‎（Ⅱ）由题意可设，与两点对应的参数分别为，‎ 将的参数方程代入的直角坐标方程，‎ 化简整理得，，所以， ‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以 ‎【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程，以及普通方程和参数方程的转化关系，对于第二问中的弦长问题，过定点，倾斜角为的参数方程 ‎，与曲线相交交于两点，， ，，根据图象和二次方程去绝对值，后根据根与系数的关系得到结果.‎