安徽省合肥市2020届高三第一次教学质量检测 数学（理）试题（扫描版）

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合肥市 2020 届高三第一次教学质量检测 数学试题(理科) (考试时间：120 分钟 满分：150 分) 第Ⅰ卷 (60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合  2 20A x x x    ，  2 1 0B x x   ，则 ABU ( ). A.  1  ， B. 1 12   ， C. 1 22   ， D. 1 2  ， 2.设复数 z 满足 1izz   ( i 为虚数单位)， z 在复平面内对应的点为( x ， y )，则( ). A. yx B. yx C.   221 1 1xy    D.   221 1 1xy    3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线 国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容 的命运共同体.自 2013 年以来，“一带一路”建设成果显著.右 图是 2013-2017 年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况 统计图，下列描述错误．．的是( ). A.这五年，2013 年出口额最少 B.这五年，出口总额比进口总额多 C.这五年，出口增速前四年逐年下降 D.这五年，2017 年进口增速最快 4.下列不等关系，正确的是( ). A. 2 3 4log 3 log 4 log 5 B. 2 4 3log 3 log 5 log 4 C. 2 4 3log 3 log 5 log 4 D. 2 3 4log 3 log 4 log 5 5.已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 3a  ， 4 7329aa  ，则 7S 的值等于( ). A.21 B.1 C.-42 D.0 6.若执行右图的程序框图，则输出 i 的值等于( ). A.2 B.3 C.4 D.5 7.函数 22 cos xx y xx   的图象大致为( ). 8.若函数   sin 2f x x 的图象向右平移11 6  个单位得到的图象对应的函数为  gx，则下列说法正确的是 ( ). A.  gx的图象关于 12x  对称 B.  gx在 0 ， 上有 2 个零点 C.  gx在区间 5 36   ， 上单调递减 D.  gx在 02  ， 上的值域为 3 02   ， 9.已知双曲线 C： 22 221xy ab( 00ab， )的左右焦点分别为 12FF， ，圆 2F 与双曲线C 的渐近线相切，M 是圆 2F 与双曲线 C 的一个交点.若 12=0F M F M uuuur uuuuur ，则双曲线C 的离心率等于( ). A. 5 B.2 C. 3 D. 2 10.射线测厚技术原理公式为 0 tI I e  ，其中 0II， 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的 底数，t 为被测物厚度， 为被测物的密度， 是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅 241( 241 Am )低 能  射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为 0.8，钢的密度为 7.6，则这种射线的吸收系数 为( ). (注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2 0.6931 ，结果精确到 0.001) A. 0.110 B. 0.112 C. 0.114 D. 0.116 11.已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ，过对角线 1BD 作平面 交棱 1AA 于点 E，交棱 1CC 于点 F，则： ①平面 分正方体所得两部分的体积相等； ②四边形 1BFD E 一定是平行四边形； ③平面 与平面 1DBB 不可能垂直； ④四边形 1BFD E 的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为( ). A.①④ B.②③ C. ①②④ D. ①②③④ 12.已知函数   0 1 ln 0 x x exfx xe x x x       ， ， ，则函数       F x f f x ef x的零点个数为( ) ( e 是 自然对数的底数). A.6 B.5 C.4 D.3 第Ⅱ卷 (90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题—第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.已知向量 a  r (1，1)，   2bm r ， ，且 a r ∥  2ab rr，则 m 的值等于 . 14.直线 l 经过抛物线 C ： 2 12yx 的焦点 F ，且与抛物线C 交于 A ， B 两点，弦 AB 的长为 16，则直 线 l 的倾斜角等于 . 15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容， 立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.假设在这 些栏目中，某时段更新了 2 篇文章和 4 个视频，一位学习者准备学习这 2 篇文章和其中 2 个视频，则这 2 篇文章学习顺序不相邻的学法有 种. 16.已知三棱锥 A BCD 的棱长均为 6，其内有 n 个小球，球 1O 与三棱锥 A BCD 的四个面都相切，球 2O 与三棱锥 A BCD 的三个面和球 1O 都相切，如此类推，…，球 nO 与三棱锥 A BCD 的三个面和球 1nO  都相切 ( 2n  ，且 nN )，则球 1O 的体积等于 ，球 nO 的表面积等于 . 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分 12 分) 在 ABC 中，内角 A B C， ， 所对的边分别为 a b c， ， ，若 2a  ， cos cos 2 cos 0a C c A b B   . (1)求 B ； (2)若 BC 边的中线 AM 长为 5 ，求 ABC 的面积. 18.(本小题满分 12 分) “大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风 光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习 生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在 前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了 100 所学校，统计如下： 研学游类 型 科技体验 游 民俗人文 游 自然风光 游 学校数 40 40 20 该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了 3 所学校，并以统计的频率代替 学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果 的影响)： (1)若这 3 所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择 的概率； (2)设这 3 所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量 X，求 X 的分布列与数学期望. 19.(本小题满分 12 分) 如图，已知三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，平面 11AAC C  平面 ABC ， 1AA AC ， AC BC . (1)证明： 1AC  1AB ； (2)设 2AC CB ， 1 60A ACo ，求二面角 11C AB B的余弦值. 20.(本小题满分 12 分) 设椭圆 :C 22 221xy ab( 0ab)的左右顶点为 12AA， ，上下顶点为 12BB， ，菱形 1 1 2 2A B A B 的内切圆C的 半径为 2 ，椭圆的离心率为 2 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 MN， 是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点 P 满足 PM PN ，试判断直线 PM PN， 与圆 C的位置关系，并证明你的结论. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数   21 x xfx e  ( e 为自然对数的底数). (1)求函数  fx的零点 0x ，以及曲线  y f x 在 0xx 处的切线方程； (2)设方程  f x m ( 0m  )有两个实数根 1x ， 2x ，求证： 12 1212x x m e     . 请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题 目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 23 2 21 2 xt yt     (t 为参数)，在以坐标原点为极点， x 轴正半轴 A C B B1 C1 A1 为极轴的极坐标系中，曲线 C 的方程为 4cos 6sin  . (1)求曲线 C 的直角坐标方程； (2)设曲线 C 与直线 l 交于点 MN， ，点 A 的坐标为(3，1)，求 AM AN . 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 已知函数   2f x x m x    ( mR )，不等式  20fx的解集为  4， . (1)求 m 的值； (2)若 0a  ， 0b  ， 3c  ，且 22a b c m   ，求   1 1 3abc   的最大值. 合肥市 2020 届高三第一次教学质量检测数学试题(理科) 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.-2 14. 3  或 2 3  15.72 16. 6 ， 1 6 4n   (第一空 2 分，第二空 3 分) 三、解答题：大题共 6 小题，满分 70 分. 17.(本小题满分 12 分) 解：(1)在 ABC 中， sin sin sin a b c A B C，且 cos cos 2 cos 0a C c A b B   ， ∴sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B B   ，∴  sin 1 2 cos 0BB   ， 又∵sin 0B  ，∴ 2cos 2B  . ∵ B 是三角形的内角， ∴ 3 4B  . ………………………………5 分 (2)在 ABM 中， 3154BM AM B AB c   ， ， ， ， 由余弦定理得  222 2 cosAM c BM c BM B     ，∴ 2 2 4 0cc   ， ∵ 0c  ，∴ 2c  . 在 ABC 中， 2a  ， ， 3 4B  ， ∴ ABC 的面积 1 sin 12S ac B. ………………………………12 分 18.(本小题满分 12 分) (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为 2 5 ，选择“自然风光游”的概率为 1 5 ， ∴若这 3 所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概 率为： 22 22 33 2 1 1 2 18 5 5 5 5 125P C C                        . ………………………………5 分 (2) X 可能取值为 0，1，2，3. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D B A B A C C B 则   3 0 3 3 270 5 125P X C    ，   2 1 3 2 3 541 5 5 125P X C          ，   2 2 3 2 3 362 5 5 125P X C             ，   3 3 3 283 5 125P X C    ， ∴ X 的分布列为 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 ∴ 27 54 36 8 60 1 2 3125 125 125 125 5EX          . ……………………………12 分 或解：∵随机变量 服从 23 5XB  ∼ ， ，∴ 263 55EX np    . ……………………………12 分 19.(本小题满分 12 分) (1)连结 1AC . ∵ 1AA AC ，四边形 11AAC C 为菱形，∴ 11AC AC . ∵平面 11AAC C  平面 ABC ，平面 11AAC C I 平面 ABC AC ， BC  平面 ABC ， BC  AC ， ∴ 平面 11AAC C . 又∵ 11//BC B C ，∴ 11BC  平面 11AAC C ，∴ 1 1 1B C AC . ∵ 1 1 1 1AC B C CI ， ∴ 1AC  平面 11AB C ，而 1AB 平面 11AB C ， ∴ 1AC  1AB . …………………………5 分 (2)取 11AC 的中点为 M ，连结CM . ∵ 1AA AC ，四边形 11AAC C 为菱形， 1 60A ACo ，∴ 11CM AC ，CM AC . 又∵CM BC ，以 C 为原点，CA CB CM， ， 为正方向建立空间直角坐标系，如图. 设 1CB  ， 22AC CB， 1AA AC ， 1 60A ACo ， ∴ C (0，0，0)， 1A (1，0， 3 )， A (2，0，0)， B (0，1，0)， 1B (-1，1， 3 ). 由(1)知，平面 11C AB 的一个法向量为  1 1 0 3CA  uuuv ，， . 设平面 1ABB 的法向量为  n x y z v ， ， ，则 1 n AB n AB v uuuv v uuuuv， ，∴ 1 0 0 n AB n AB    v uuuv v uuuuv . ∵  2 1 0AB  uuuv ，， ，  1 3 1 3AB  uuv ，， ，∴ 20 3 3 0 xy x y z       . 令 1x  ，得 12 3 yz， ，即 112 3 n   v ， ， . ∴ 1 1 1 23cos 4162 3 CA nCA n CA n       uuuv vuuuv v uuuv v， ， ∴二面角 11C AB B的余弦值为 3 4 . ……………………………12 分 20.(本小题满分 12 分) (1)设椭圆的半焦距为 c .由椭圆的离心率为 2 2 知， 2b c a b， . 设圆C的半径为 r ，则 22r a b ab   ， ∴ 22 3 2bb ，解得 3b  ，∴ 6a  ， ∴椭圆 C 的方程为 22 163 xy. ……………………………5 分 (2)∵ MN， 关于原点对称， PM PN ，∴OP MN . 设  11M x y， ，  22P x y， . 当直线 PM 的斜率存在时，设直线 PM 的方程为 y kx m. 由直线和椭圆方程联立得  22 26x kx m   ，即  2 2 21 2 4 2 6 0k x kmx m     ， ∴ 12 2 2 12 2 4 21 26 21 kmxx k mxx k        . ∵  11OM x y uuuuv ， ，  22OP x y uuuv ， ， ∴   1 2 1 2 1 2 1 2OM OP x x y y x x kx m kx m       uuuuv uuuv       2 2 2 2 2 1 2 1 2 22 2 6 4112 1 2 1 m kmk x x km x x m k km mkk             22 2 3 2 2 021 mk k   ， ∴ 222 2 0mk   ， 2222mk， ∴圆C的圆心 O 到直线 PM 的距离为 2 2 1 m r k   ，∴直线 PM 与圆C相切. 当直线 的斜率不存在时，依题意得  11,N x y ，  11,P x y . 由 得 1122xy ，∴ 22 11xy ，结合 22 11163 xy得 2 1 2x  ， ∴直线 到原点 O 的距离都是 2 ， ∴直线 PM 与圆C也相切. 同理可得，直线 PN 与圆C也相切. ∴直线 PM 、 PN 与圆 相切. …………………………12 分 21.(本小题满分 12 分) (1)由   21 0x xfx e ，得 1x  ，∴函数的零点 0 1x  .   2 21 x xxfx e   ，  12fe  ，  10f . 曲线  y f x 在 1x  处的切线方程为  21y e x.   21f e   ，  10f  ， ∴曲线  y f x 在 1x  处的切线方程为  2 1yxe   .………………………5 分 (2)   2 21 x xxfx e   . 当     1 2 1 2 x     U， ， 时，   0fx  ；当  1 2 1 2x  ， 时，   0fx  . ∴  fx的单调递增区间为    1 2 1 2     ， ， ， ，单调递减区间为 1 2 1 2， . 由(1)知，当 1x  或 1x  时，   0fx ；当 11x   时，   0fx . 下面证明：当  1 1x， 时，    21e x f x . 当 时，       2 1112 1 2 1 0 02 x x xxe x f x e x ee          . 易知，   1 1 2 x xg x e   在  1 1x， 上单调递增， 而  10g ， ∴    10g x g   对  1 1x   ， 恒成立， ∴当 时，    21e x f x . 由  21y e x ym     得 12 mx e.记 1 12 mx e  . 不妨设 12xx ，则 121 1 2 1xx      ， ∴ 1 2 1 2 2 1 2 12 mx x x x x x x e         . 要证 12 1212x x m e     ，只要证 2 11 2 122 mxmee               ，即证 2 1xm . 又∵ 2 2 21 x xm e  ，∴只要证 2 2 2 2 11 x xx e  ，即    2 221 1 0xx e x     . ∵  2 1 2 1x  ， ，即证  2 2 10xex   . 令      11xxx e x x e    ， . 当  1 2, 0x 时，   0x  ，  x 为单调递减函数； 当  0,1x 时，   0x  ，  x 为单调递增函数. ∴    00x，∴  2 2 10xex   ， ∴ 12 1212x x m e     . …………………………12 分 22.(本小题满分 10 分) (1)曲线 C 的方程 4cos 6sin  ，∴ 2 4 cos 6 sin    ，∴ 2246x y x y   ， 即曲线 C 的直角坐标方程为：    222 3 13xy    . …………………………5 分 (2)把直线 23 2: 21 2 xt l yt     代入曲线C 得 2 2221 2 1322tt                 ， 整理得， 2 3 2 8 0tt   . ∵  2 3 2 32 0     ，设 12tt， 为方程的两个实数根，则 1232tt ， 12 8tt  ，∴ 12tt， 为异号， 又∵点 A (3，1)在直线 l 上， ∴  2 1 2 1 2 1 2 1 24 50 5 2AM AN t t t t t t t t          . …………………………10 分 23.(本小题满分 10 分) 解：(1)∵   2f x x m x    ，∴  2 2 0f x x m x      的解集为  4， ， ∴ 2x m x ，解得 28m，即 6m  . …………………………5 分 (2)∵ 6m  ，∴ 2 12a b c   . 又∵ 0a  ， 0b  ， 3c  ， ∴        1 2 2 31 1 3 2 a b cabc             3 331 2 2 31 1 2 1 12 322 3 2 3 2 3 a b c a b c                 ， 当且仅当 1 2 2 3a b c     ，结合 2 12a b c   解得 3a  ， 1b  ， 7c  时，等号成立， ∴    1 1 3abc   的最大值为 32. …………………………10 分