专题42+不等式选讲-2019年高考数学（理）考点分析与突破性讲练

专题42+不等式选讲-2019年高考数学（理）考点分析与突破性讲练

一、考纲要求：‎ ‎1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).‎ ‎2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.‎ ‎3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．‎ 二、概念掌握和解题上注意点：‎ ‎1.解绝对值不等式的基本方法 ‎(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论，用零点分段法转化为解不含绝对值符号的普通不等式，零点分段法的操作程序是：找零点，分区间，分段讨论；‎ ‎(2)当不等式两端均非负时，可通过两边平方的方法转化为解不含绝对值符号的普通不等式；‎ ‎(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．‎ ‎2.作差比较法证明不等式的步骤：(1）作差；(2）变形；(3）判断差的符号；(4）下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负.‎ ‎3.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.‎ ‎4.分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”.‎ 三、高考考题题例分析 例1.（2018全国卷I）已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．‎ ‎（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；‎ ‎（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（，+∞）；（2）0，2]‎ ‎【解析】：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|=，‎ 由f（x）＞1，‎ ‎∴或，‎ 解得x＞，‎ 故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），‎ 例2.（2018全国卷II）设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．‎ ‎（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；‎ ‎（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）[﹣2，3]；（2）[﹣6，2]‎ ‎【解析】：（1）当a=1时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=．‎ 当x≤﹣1时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤1，‎ 当﹣1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，‎ 当x≥2时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，‎ 综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，‎ 例3.（2018全国卷III）设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．‎ ‎（1）画出y=f（x）的图象；‎ ‎（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】：（1）当x≤﹣时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x，‎ 当﹣＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2，‎ 当x≥1时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x，‎ 则f（x）=对应的图象为：‎ 画出y=f（x）的图象； ‎ 例10.(2016全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.‎ ‎【答案】(1) M＝{x|－1＜x＜1}；(2)见解析 不等式选讲练习题 ‎1．已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．‎ ‎(1)求m＋n的值；‎ ‎(2)若|x－a|＜m，求证：|x|＜|a|＋1.‎ ‎【答案】(1) m＋n＝3；(2)见解析 ‎2．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为a.‎ ‎(1)求实数a的值；‎ ‎(2)解不等式f(x)≤5. ‎ ‎【答案】(1) a＝2；(2) ‎【解析】：　(1)f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|a－4|＝a，从而解得a＝2.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝|x－4|＋|x－2|‎ ‎＝ 故当x≤2时，令－2x＋6≤5，得≤x≤2，‎ 当24时，令2x－6≤5，得40)．‎ ‎(1)证明：f(x)≥2；‎ ‎(2)当a＝1时，求不等式f(x)≥5的解集．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) ‎5．设函数f(x)＝|x－1|－|2x＋1|的最大值为m. ‎ ‎(1)作出函数f(x)的图象；‎ ‎(2)若a2＋2c2＋3b2＝m，求ab＋2bc的最大值．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】：　(1)f(x)＝ 画出图象如图，‎ ‎6．已知函数f(x)＝(a≠0)．‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)若当x∈[0,1]时，不等式f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2) －1≤a≤5且a≠0.‎ ‎【解析】：　(1)|ax－2|≤4⇔－4≤ax－2≤4⇔－2≤ax≤6，‎ 当a>0时，函数f(x)的定义域为；‎ 当a<0时，函数f(x)的定义域为.‎ ‎(2)f(x)≥1⇔|ax－2|≤3，记g(x)＝|ax－2|，‎ 因为x∈[0,1]，‎ 所以只需⇔⇔－1≤a≤5，‎ 又a≠0，所以－1≤a≤5且a≠0.‎ ‎7.已知函数f(x)＝|x－2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)＋x2－4>0的解集；‎ ‎(2)设g(x)＝－|x＋7|＋3m，若关于x的不等式f(x)2或x<－1}；(2) (3，＋∞)‎ ‎8.已知函数f(x)＝|x＋a2|＋|x－a－1|.‎ ‎(1)证明：f(x)≥；‎ ‎(2)若f(4)<13，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(1)见解析 ；(2) (－2,3)．‎ ‎【解析】：　(1)证明：f(x)＝|x＋a2|＋|x－a－1|‎ ‎≥|(x＋a2)－(x－a－1)|‎ ‎＝|a2＋a＋1|‎ ‎＝＋≥.‎ ‎(2)因为f(4)＝|a2＋4|＋|a－3|＝ 所以f(4)<13⇔或 解得－2a＋b ‎【解析】：　(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，‎ 解得00.‎ 故ab＋1>a＋b.‎ ‎12．已知函数f(x)＝|x|＋|x－1|.‎ ‎(1)若f(x)≥|m－1|恒成立，求实数m的最大值M；‎ ‎(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝M，证明：a＋b≥2ab.‎ ‎【答案】(1) m的最大值M＝2.；(2)见解析 ‎13．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值．‎ ‎【答案】 ‎【解析】：　由柯西不等式得 ‎(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，‎ ‎∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]‎ ‎≥(2a＋2b＋c－1)2.‎ ‎∵2a＋2b＋c＝8，‎ ‎∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，‎ 当且仅当＝＝c－3时等号成立，‎ ‎∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.‎ ‎14．已知函数f(x)＝k－|x－3|，k∈R，且f(x＋3)≥0的解集为[－1,1]．‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)若a，b，c是正实数，且＋＋＝1.‎ 求证：a＋2b＋3c≥9.‎ ‎【答案】(1) k＝1；(2)见解析 ‎15．已知函数f(x)＝|x＋1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M；‎ ‎(2)设a，b∈M，证明：f(ab)＞f(a)－f(－b). ‎ ‎【答案】(1) M＝{x|x＜－1或x＞1}；‎ ‎ (2)见解析 ‎【解析】：　(1)①当x≤－1时，原不等式可化为－x－1＜－2x－2，解得x＜－1；‎ ‎②当－1＜x＜－时，原不等式可化为x＋1＜－2x－2，解得x＜－1，此时原不等式无解；‎ ‎③当x≥－时，原不等式可化为x＋1＜2x，解得x＞1.‎ 综上，M＝{x|x＜－1或x＞1}．‎