2017-2018学年河北省定州市第二中学高二上学期第一次月考数学（理）试题
定州二中 2017--2018 年度第一学期第一次月考
数学学科高二理科试题
总分：120 分 考试时间：90 分钟
第 I 卷（共 18 分）
1.（本小题 3 分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如下
甲 乙
8 0
4 6 3 1 2 5
3 6 8 2 5 4
3 8 9 3 1 6 1 6 7 9
4 4 9
1 5 0
据此分析，甲、乙两位运动员得分的中位数分别为（ ）
A.23,36B.26,31C.26,36D.28,37
2.（本小题 3 分)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
3.（本小题 3 分）某种饮料每箱装 6 听，其中 2 听不合格，问质检人员从中随机抽出 2 听，
则检出不合格的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.（本小题 3 分）下列命题中真命题的个数为（ ）
（1）若 ，则方程 有实数根的逆命题；
（2）条件 是条件 的必要条件；
（3） 的否定.
A.0 B.1 C.2 D.3
5.（本小题 3 分）在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足，
当点 在圆上运动时，线段 的中点 的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
15
1
15
4
15
8
15
9
0>m 02 =−+ mxx
bap >: bcacq >:
01, 0
2
00 ≤+−∈∃ xxRx
422 =+ yx P P x PD D
P PD M
122 =+ yx 14
2
2
=+ yx 14
2
2 =+ yx 222 =+ yx
6.（本小题 3 分）《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的更相减损术也可以用来求两个
数的最大公约数，“即可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求
其等也。以等数约之。”翻译成现代语言如下：第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否
都是偶数。若是，则用 2 约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接
着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等
为止，则这个等数就是所求的最大公约数。其中所说的等数，就是最大公约数。我们在用更
相减损术求 98 与 63 的最大公约数时最后一步中的被减数是（ ）
A．7 B.14 C.21 D.28
第 II 卷(共 42 分)
7.（本小题 3 分）“若 ，则 ”的逆否命题是（ ）
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
8.（本小题 3 分） ( )
A. B.
C. D.
9.(本小题 3 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 的值等于( )
A．18 B．20 C．21 D．40
12
xx 或 12 >x 11 −≤≥ xx 或 12 ≥x
为则使 pxxxp ¬>−−>∃ ,032,1: 0
2
00
,032,1 2 ≤−−≤∀ xxx ,032,1 2 ≤−−>∀ xxx
,032,1 2 >−−≤∀ xxx ,032,1 0
2
00 ≤−−>∃ xxx 使
S
（9 题图）（10 题图）
10.(本小题 3 分）给出计算 的值的一个程序框图如图，其中判断框内应
填入的条件是（ ）
A.i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20
11.(本小题 5 分）学校为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一 600 人，高
二 780 人，高三 人中，抽取 35 人进行问卷调查，已知高二被抽去的人数为 13 人，则 =．
12.（本小题 5 分）将参加夏令营的 600 名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方
法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003，这 600 名学生分住在三个营区．从
001 到 300 在第Ⅰ营区，从 301 到 495 在第Ⅱ营区，从 496 到 600 在第Ⅲ营区．第二个营区被
抽中的人数为．
13.（本小题 5 分）从某班 5 位老师中随机选两位老师值班，有女老师被选中的概率为 ，
则在这 5 位老师中，女老师有人.
14.（本小题 4 分） 为 轴上一点， 是椭圆的两个焦点， 为正三角形，且
的中点 恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为．
15. （ 本 小 题 5 分 ） 在 平 面 坐 标 系 中 ， 的 顶 点 ，顶 点 在 椭 圆
上，则 ．
16.（本小题 5 分）已知 是三角形 所在平面内一点， ，现将一粒
黄豆撒在 内，则黄豆落在 内的概率为．
第 卷（共 60 分）
17.（本小题 12 分）已知命题 ，命题 ，
若命题 是真命题，求实数 的取值范围。
18.（本小题 12 分）我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了制定合理的节水方案,
对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位:
吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成 9 组,制成了如下的频率分布直方图.
20
1
6
1
4
1
2
1 +⋅⋅⋅+++
n n
10
7
A y 21,FF 21FAF∆
1AF B
ABC∆ )0,4(),0,4( CA − B
1925
22
=+ yx =+
B
CA
sin
sinsin
P ABC∆ 03 =++ PAPCPB
ABC∆ PBC∆
ΙΙΙ
[ ] 0,2,1: 2 ≤−∈∀ axxp 02,: 000 <++∈∃ axaxRxq
qp ∨ a
(1)求直方图中的 a 值.
(2)设该市有 30 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数,说明理由.
(3)估计居民月均用水量的中位数.
19.（本小题 12 分）据 2013 年 12 月 23 日新华社电中央办公厅印发《关于培育和践行
社会主义核心价值观的意见》，将 24 字核心价值观分成 3 个层面：国家层面：富强民
主文明和谐；社会层面：自由平等公正法治；公民层面：爱国敬业诚信友善共计 12 个
关键词。
（1） 从这 12 个词中随机选 1 个，求这个关键词属于国家层面的概率；
（2） 在社会层面和公民层面的关键词中各选 1 个，求选中“平等”和未选中“敬
业”的概率；
（3） 从这 12 个关键词中任选 2 个，求这 2 个关键词不属于同一个层面的概率。
20.（本小题 12 分）下表是定州二中从 2013 年到 2017 年，高考本一上线人数在参加高考的
学生总人数中的比重：
年份 2013 2014 2015 2016 2017
年份代码 1 2 3 4 5
本一上线人数比重 /% 44.3 45.5 46.9 48.1 50.5
根据表中信息回答下列问题：
（1） 通过分析得知本一上线人数比重 与年份代码 具有线性相关关系，求 关于 的回
归方程；
（2） 已知该校 2016 级在校生为 3000 人，按照当前的变化趋势，预测 2019 年该校本一上线
人数（保留到整数）.
x
y
y x y x
附：回归直线 的斜率和截距：
，
，
21.（本小题 12 分）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为椭
圆的左右焦点， 分别为椭圆的上顶点与右顶点，且
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 的斜率为 ，直线 与椭圆 交于 两点，又定点 ，求 面积的最
大值.
xbay
^^^ +=
∑
∑
=
=
−
−−
=
n
i
i
i
n
i
i
xx
yyxx
b
1
2
1
^
)(
)()(
xbya
^^ −=
)0(1: 2
2
2
2
1 >>=+ bab
y
a
xC 2
3
21, FF
ED, 322
−=∆DEFS
1C
l 2
1 l 1C BA, )1,2(P PAB∆
高二数学理科参考答案
1-5 CDDBC 6-10 BDBBA
11、720 12、17 13、2 14、 15、 16、
17、解：若 真则 ；若 真则 ；因为 是真命题所以 或
18、解：(1)由概率统计相关知识,各组频率之和的值为 1,因为频率=(频率/组距)×组
距,所以 0.5×(0.08+0.16+0.42+0.5+0.12+0.08+0.04+2a)=1,得 a=0.3.
(2)由图可知,全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数所占百分比为 0.5×
(0.12+0.08+0.04)=12%,所以全市月均用水量不低于 3 吨的人数为:30×12%=3.6(万).
(3)设中位数为 x 吨,因为前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,
而 前 4 组 的 频 率 之 和 为 0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5, 所 以 2 ≤ x<2.5, 由 0.5 ×
=0.5-0.48,解得 x=2.04,故可估计居民月均用水量的中位数为 2.04 吨.
19、（1） ；（2） ；（3）
20、（1）回归直线方程为 ；（2）2019 年的年份代码为 7 代入回归直线方程
可得 ，所以本一上线人数为
21、（1）由题意得 解得 所以
（2）设直线方 程 ， 联立
消去 得 得解得| |<2
则 ， 又 到 直 线 的 距 离
13 −
4
5
5
3
p 4≥a q 1≤a qp ∨ 1≤a 4≥a
3
1
12
4 ==P 16
3=P 11
8
66
48 ==P
56.425.1
^ += xy
06.53
^ =y 15928.1591%06.533000 ≈=×
+=
−=−⋅=
=
∆
222
32)(2
1
2
3
2
cba
cabS
a
c
DEF
=
=
2
22
b
a 128
22
=+ yx
l mxy +=
2
1 ),(),,( 2211 yxByxA
=+
+=
128
2
1
22 yx
mxy
y 0422 22 =−++ mmxx m 42,2 2
2121 −=−=+∴ mxxmxx
)4(54)(4
11 2
21
2
21 mxxxxAB −=−+×+= P
当且仅当
5
||2
4
11
|| mmd =
+
=
22
4)4()4(5
5
||2
2
1||2
1 22
222 =−+≤−=−××==∴ ∆
mmmmmmABdS PAB
时取得最大值。即 2,22 ±== mm
