数学卷·2017届河北省定州中学高三下学期周练（5

数学卷·2017届河北省定州中学高三下学期周练（5

河北定州中学2016-2017学年第二学期 高三数学周练试题（5.7）‎ ‎ 一、选择题 ‎1．抛物线的焦点为，过作斜率为的直线与抛物线在轴右侧的部分相交于点，过作抛物线准线的垂线，垂足为，则的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为，，（且），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 乙和丙都有可能 ‎3．已知过定点的直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积最大时，直线的倾斜角为 A. B. C. D. ‎ ‎4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线，其左、右焦点分别是，‎ ‎，已知点坐标为，双曲线上点在第一象限，满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．若实数、、，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．设实数，满足，则的最大值为（ ）‎ A. 25 B. 49 C. 12 D. 24‎ ‎8．已知函数，若存在实数满足时，成立，则实数的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．三棱锥中，，，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球表面积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知是双曲线：的右焦点，，分别为的左、右顶点. 为坐标原点，为上一点，轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点,直线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为（ )‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎11．已知函数，其中.若函数的最大值记为，则的最小值为( )‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎12．若函数在区间上的值域为，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎13．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点.设这两曲线的一个交点为，若，则点的横坐标是_______；该双曲线的渐近线方程为_______．‎ ‎14．设公差不为0的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，且，则的值是__________．‎ ‎15．巳知函数是定义在上的奇函数，且当时，都有不等式成立，若，则的大小关系是__________．‎ ‎16．若数列的首项，且（），则数列的通项公式是__________．‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）对任意，都有，求的取值范围.‎ ‎18．已知函数 ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）当时，过原点分别做曲线 与的切线，，若两切线的斜率互为倒数，求证：.‎ ‎19．已知函数，.‎ ‎（1）求证：（）；‎ ‎（2）设，若时，，求实数的取值范围.‎ ‎20．定义的零点为的不动点，已知函数.‎ Ⅰ.当时，求函数的不动点；‎ Ⅱ.对于任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；‎ Ⅲ.若函数只有一个零点且,求实数的最小值.‎ 参考答案 ‎1．C ‎【解析】由抛物线的定义可得， ，则 的斜率等于 ， 的倾斜角等于 ，可得 ，故 为等边三角形，又因为焦点 ， 的为 ，与可得点 ，抛物线的定义可得 故等边 的边长 ，的面， ，故选C.‎ ‎2．B ‎【解析】‎ 射击 击剑 游泳 马术 越野跑 总分 甲 ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎22‎ 乙 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎9‎ 丙 ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎ ‎ 总分为，所以，只有两种可能或。显然不符，因为即使五个第一名也不够22分。所以。所以上面可知，甲其余四个选项都是第一名，马术第二名，记2分，总共22分。‎ 由于丙马术第三名，记1分，所以其余四项均第二名，记2分，共9分。‎ 乙马术第一名，记5分，其余四项均第三名，记1分，共9分。所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 对于复杂的逻辑关系，我们可以采用列表格的方式，以便于我们理清，多个量中的逻辑关系。此题就是很好的体现。‎ ‎3．A ‎【解析】由题意可画图如下：‎ ‎ ‎ 由面积公式可知时取最大值。由于圆的半径为，所以点到直线的距离为1.所以倾斜角为。选A.‎ ‎【点睛】‎ 在解析几何中解决三角形面积问题时，选择合适的公式是重要的，本题选择使得运算更简单。同时注重“先几何后代数”的原则，结合图象得，可得直线倾斜角为。迅速解决问题。处理面积问题还有底乘高的一半，还有割补法等。‎ ‎4．C ‎【解析】三视图还原图形三棱锥，如下图：‎ ‎ ‎ ‎,所以最长边为，选C.‎ ‎5．A ‎【解析】由题意可得双曲线方程为，已知中的，表示在方向上的投影，表示在方向上的投影，即表示投影相等，根据平面几何可知是的角平分线，设为的内心，轴，由角平分线定理可知 ，即是双曲线的右顶点，即所在的直线方程为，所以点重合，点就是的内心， ，故选A.‎ ‎【点睛】本题以向量为背景，考查了双曲线的几何性质以及三角形的内心等知识，考查了转化与化归的能力，知识的考查综合性比较强，属于难题，向量的数量积有一条性质，设是两个不共线的向量，是与同方向的单位向量，则 ，表示在方向上的投影，这样转化为平面几何的知识，再和双曲线的定义相结合，从而确定点的位置，突破难点，才能为求面积扫平障碍.‎ ‎6．D ‎【解析】因为，所以 ，所以=，当且仅当 时，等号成立. 故选D.‎ 点睛：本题主要考查均值不等式的灵活应用，关键是对已知等式分解为.‎ ‎7．A ‎【解析】不等式组的图象如图 ‎ ‎ 由图象知 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，经检验 在可行域内，故 的最大值为25.故选A.‎ ‎8．B ‎【解析】 由题意得，定义域为，则，‎ ‎ 当时，恒成立，不符合要求，‎ ‎ 当时，由，得，‎ ‎ 因为存在时，成立，‎ ‎ 所以，此时在上递增，在单调递减，‎ ‎ 由于，‎ ‎ ①当，即是，只需，即，‎ 所以；‎ ‎②当，即时，只需，即，所以 ‎ 综上所述，所以实数的最大值为.‎ 点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，解答的关键在于正确的理解题设条件，转化为函数的单调性与极值（最值）的应用，其中根据值之间的关系是解答本题的难点. ‎ ‎9．B ‎【解析】 如图所示，过点作，连接，‎ 则为直线与平面所成最大角，‎ 设，则中，，‎ 所以，解得，‎ 此时可把该三棱锥补成一个长方体，所以长方体的对角线长等于球的直径，‎ 即，所以球的表面积为，故选B.‎ ‎ ‎ 点睛：本题主要考查了的直线与平面所成的角的应用和组合体的性质等知识点，解答此类问题的关键在于正确作出几何体的结构图，找到线面角的最大值，确定的长，进而利用组合体得到球的直径，计算球的表面积.‎ ‎10．C ‎【解析】‎ 由题意得，因为轴，‎ ‎ 设，则在中，，所以，‎ ‎ 又中，，所以，‎ ‎ 又由，即，解得，所以.‎ ‎11．D ‎【解析】 由题意得 ‎ ‎ ‎ ‎ 设，即，‎ ‎ 所以二次函数开口向下，对称轴为， 所以函数的最大值为，‎ ‎ 因为，所以，‎ ‎ 所以的最小值为.‎ ‎12．D ‎【解析】令，则－，所以函数为奇函数，其对称中心为，所以函数的中心为，所以 ‎，故选D．‎ 点睛：本题主要考查函数的值域、函数的图象，以函数为载体，借助函数的对称性，考查逻辑思维能力、运算求解能力．解答本题的关键是根据函数的奇偶性的性质进行推理.‎ ‎13． 3 ‎ ‎【解析】由题意可得，抛物线的焦点，所以双曲线，解得。代入双曲线方程得。解得。所以双曲线渐近线方程为。填 (1). 3 (2). 。‎ ‎【点睛】‎ 对于形式为结构的抛物线，焦半径公式为。‎ 对于形式为结构的抛物线，焦半径公式为。‎ 对于形式为结构的抛物线，焦半径公式为。‎ 对于形式为结构的抛物线，焦半径公式为。‎ ‎14．9‎ ‎【解析】 由题意得，因为成等比数列，得，‎ 即，解得，‎ 又，所以，‎ 整理得，因为且为整数，‎ 所以且，所以 ‎ 点睛：本题主要考查了等差、等比数列的通项公式以及数列的求和问题，其中利用题设条件，利用等差数列的求和公式得出是解答的关键，再根据且为整数进行整体赋值和代换是解答的难点.‎ ‎15．‎ ‎【解析】设函数，则，所以根据题中条件，当时，，即函数在上单调递增，又因为为奇函数，所以为偶函数，根据偶函数性质，又因为，所以，即. ‎ 点睛：本题主要考查抽象函数导数问题，此类问题常考常新，成为近年来命题的热点，主要是利用导数研究函数单调性，根据题中条件，结合导数四则运算法则和复合函数求导来构造新函数，使多个分散条件集中指向某一个函数的导数，然后通过新函数的单调性来解题.在构造的过程中，有的需要直接构造，有的需要变形构造，不论哪种构造，都要结合问题的外形结构特征及求导法则的特征进行合理恰当的构造.‎ ‎16．‎ ‎【解析】，得（）,两式相减得，即（），，得，经检验n=1不符合。所以 ‎， ‎ ‎17．（Ⅰ）单调减区间是，单调增区间是；（Ⅱ）当时，；当时，.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知得，的定义域为，则，即可求解函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）由，得，即. ‎ 由（Ⅰ）知，分三种情况分类讨论，即可求解实数的取值范围.‎ 试题解析：‎ 由已知得，的定义域为. ‎ ‎（Ⅰ），‎ 令，得，令，得. ‎ 所以函数的单调减区间是，单调增区间是. ‎ ‎（Ⅱ）由，‎ 得，即. ‎ 由（Ⅰ）知，‎ ‎（1）当时，在上单调递减，所以，所以；‎ ‎（2）当时，在上单调递增，所以，‎ 所以；‎ ‎（3）当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以.‎ 又，,‎ 若，即，所以，此时，‎ 所以.‎ 若，即，所以，此时，所以 综上所述，当时，；当时， .‎ ‎18．（1）函数有极大值，无极小值.（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)对函数求导，‎ ‎①若时，在无极大值和极小值 ‎②若，函数有极大值，无极小值. ‎ ‎(2) 设出切线方程，构造函数，分段讨论函数的性质可得.‎ 试题解析：‎ 解：（1）‎ ‎①若时， ‎ 所以函数在单调递增，故无极大值和极小值 ‎②若，由得，‎ 所以.函数单调递增，，函数单调递减 故函数有极大值，无极小值. ‎ ‎（2）设切线的方程为，切点为，则，‎ ‎，所以，，则．‎ 由题意知，切线的斜率为，的方程为．‎ 设与曲线的切点为，则 ，‎ 所以，．‎ 又因为，消去和后，整理得 令，则，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增．‎ 又为的一个零点，所以 ‎①若，因为，，所以，‎ 因为 所以 ，所以．‎ ‎②若，因为在上单调递增，且，则，‎ 所以（舍去）．‎ 综上可知，‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎19．（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）证明：令，则，‎ 所以时，时，‎ 所以，即 ‎（2）解： ，．‎ 因为 ，‎ 所以在上递增 ‎①当时，，‎ 又 ‎ 则存在，使得．‎ 所以在上递减，在上递增，又，‎ 所以不恒成立，不合题意．‎ ‎②当时，‎ 因为，所以在上恒成立 即在上为增函数，所以恒成立，符合题意．‎ 综合①②可知，所求实数的取值范围是．‎ ‎20．(1) 的不动点为3，-1;(2) ;(3) 的最小值为1.‎ ‎【解析】试题分析: （1）将代入函数的表达式,根据零点概念求出方程的根;(2)把函数恒有两个相异的不动点,转化为对于任意实数，恒有两个不等的实数根问题,即对任意实数都成立,求出b的范围即可;(3) 函数只有一个零点,则，利用分离参数法得出,根据基本不等式求出最值.‎ 试题解析:（1），‎ ‎，‎ 或-1.‎ 故函数的不动点为3，-1．‎ ‎ （2） 对于任意实数，函数恒有两个相异的不动点，‎ 则对于任意实数，恒有两个不等的实数根．‎ 所以，恒成立，‎ 所以，‎ 所以对任意实数都成立，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎（3），函数只有一个零点，，‎ 则，‎ 所以，‎ 所以 ．‎ 当且仅当时等号成立，‎ 所以，的最小值为1.‎