2020年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（二）数学（文）试题

2020年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（二）数学（文）试题

秘密★启用前 ‎2020年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（二）‎ 数 学（文）‎ ‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，‎ ‎ 只有一项是符号题目要求的）.‎ ‎1．已知集合，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若，，则复数的虚部为（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．命题“若，则”的逆否命题是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎4．国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数 在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在20～30岁为“成年型”人口；年龄中 位数在30岁以上为“老龄型”人口．‎ 如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口 年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为“成年型”人口；②从2010‎ ‎ 年至2020年为“老龄型”人口；③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．其 ‎ 中正确的是（ ）‎ A．②③ B．①③ C．② D．①②‎ ‎5．记，那么( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎6． 设点是线段的中点，点在直线外，，，‎ ‎ 则 ( )‎ ‎ A．8 B．4 C．2 D．1‎ ‎7．已知双曲线：的左焦点为，点的坐标为，‎ 若直线的倾斜角为，则的离心率为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．2‎ ‎8．一个算法的程序框图如图所示，若执行该程序输出 的结果是，则判断框内可填入的条件是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．已知锐角的内角的对边分别为，，‎ ‎，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知函数.若且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知，函数在上单调递减.则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎12.已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 ‎ （ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、 填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13．柜子里有双不同的鞋子，随机地取出只，则取出的 只鞋子刚好成对的概率为 ．‎ ‎14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ． ‎ ‎15．设偶函数满足，‎ 则 ． ‎ ‎16．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，‎ ‎ 点是原点，若；则的面积为 ．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（12分）已知递减等差数列，满足，.‎ ‎（1）求等差数列的通项公式；‎ ‎（2）设是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和.‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥中，四边形 为平行四边形，为侧棱的中点，‎ 为与的交点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若平面平面，，‎ ‎ ，，求证：．‎ ‎19．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元 的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。‎ ‎（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单 位：枝，）的函数解析式。 ‎ ‎（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）‎ 的平均数；‎ ‎（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.‎ ‎20．（12分）已知椭圆：过点，且离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）设直线交椭圆于，两点，判断点与以 线段为直径的圆的位置关系，并说明理由．‎ ‎21.（12分）已知函数，且在上的最大值为，‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）判断函数在内的零点个数，并加以证明.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22．(10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点 且倾斜角为的直线与交于两点．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求中点的轨迹的参数方程．‎ ‎23．(10分）[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知正实数，满足.‎ （1） 求的最小值； ‎ ‎（2）求证：. ‎ ‎2020年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（二）‎ 数学参考答案及评分标准 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B B C A B C C D D C A C 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16． ‎ 三、解答题 ‎17. （1）因为是递减等差数列，且，所以.............................................2分 又，所以，，....................................................................................................4分 即.........................................................................................................................................................5分 所以........................................................................................................6分 ‎（2）由题意，所以........................................................8分 ‎=...................................................................................12分 ‎（若结果对一半，只扣2分）‎ ‎18. 证明（1）因为四边形为平行四边形，为与的交点，‎ 所以为 的中点.......................................................................................................................................1分 又因为为侧棱的中点，‎ 所以.................................................................................................................................................3分 又因为平面,平面，‎ 所以平面....................................................................................................................................5分 ‎（2）在中，因为，，，‎ 由正弦定理，‎ 可得，........................................................................................7分 所以，即...................................................................................................................8分 又因为四边形为平行四边形，‎ 所以，所以....................................................................................................................9分 又因为平面平面，‎ 平面平面，平面,‎ 所以平面......................................................................................................................................11分 又因为平面，所以.....................................................................................................12分 19. ‎（1）当日需求量时，利润．...........................................................................................2分 当日需求量时，利润．..................................................................................................4分 所以关于的函数解析式为（）．............................................................6分 （2） ‎①这天中有天的日利润为元，天的日利润为元，天的日利润为元，天 的日利润为元，.............................................................................................................................................8分 所以这天的日利润的平均数为×．....................10分 ‎②利润不低于元时日需求量不少于枝，‎ 故当天的利润不少于元的概率为．....................................12分 20. 解法一：（Ⅰ）由已知得 ‎，解得 所以椭圆的方程为．...............................................................................................................5分 ‎（Ⅱ）设点中点为．‎ 由得................................................................................................6分 所以从而..............................................................................7分 所以 ‎..........................................8分 ‎.................................................................................9分 故.................11分 所以，故在以为直径的圆外．...................................................................12分 解法二：（Ⅰ）同解法一.‎ ‎（Ⅱ）设点，则 ............................6分 由得，所以.......................8分 从而 ‎.................................10分 所以不共线，所以为锐角.................................................11分 故点在以为直径的圆外．..................................................................................................12分 21. ‎(1)由已知得，对于任意的 ，有，.........1分 当时， ，不合题意；.......................................................................................................2分 当时，，，从而在单调递减，‎ 又函数在 上图象是连续不断的，‎ 故函数在上的最大值为，不合题意；.......................................................................................3分 当时，，，从而在单调递增，‎ 又函数在上图象是连续不断的，‎ 故函数在上的最大值为，解得，................................................4分 综上所述，得；..............................................................................................5分 ‎（2）函数在内有且仅有两个零点.证明如下：................................................................6分 由（1）知，，从而有，，‎ 又函数在上图象是连续不断的，所以函数在内至少存在一个零点，..................7分 又由（1）知在单调递增，故函数在内仅有一个零点................................8分 当时，令，‎ 由，，且在上的图象是连续不断的，‎ 故存在，使得......................................................................................................9分 由，知时，有，‎ 从而在上单调递减...........................................................................................................10分 当，，即，‎ 从而在内单调递增 故当)时，，‎ 从而在内无零点；...........................................................................................................11分 当时，有，即，‎ 从而在内单调递减.‎ 又，且在上的图象是连续不断的，‎ 从而在内有且仅有一个零点.‎ 综上所述，函数在内有且仅有两个零点.........................................................................12分 22. ‎（1）的直角坐标方程为．...................................................................................1分 当时，与交于两点．.........................................................................................................2分 当时，记，则的方程为．.................................................................3分 与交于两点当且仅当，解得或，....................................................4分 即或．‎ 综上，的取值范围是．.....................................................................................................5分 ‎（2）的参数方程为为参数， ．‎ 设，，对应的参数分别为，，，则，...................................................6分 且，满足．‎ 于是，．..........................................................................................7分 又点的坐标满足....................................................................................8分 所以点的轨迹的参数方程是 为参数， ．............10分 ‎（漏掉范围扣1分）‎ ‎22．（1）法一：由得：，‎ 当且仅当“”，即时等号成立.‎ ‎∴的最小值为1..........................................................................................................................5分 ‎（不写取等条件扣1分）‎ 法二：∵，，，‎ ‎∴，‎ 即时等号成立，∴的最小值为1.‎ 法三：由柯西不等式得：，‎ 又，进而得：，故的最小值为1.‎ 当且仅当“”时等号成立.‎ 注：其它解法相应给分.‎ ‎（2）法一：由，‎ 得：，‎ 由（1）知：，‎ 进而得：，‎ 当且仅当“”时等号成立.....................................................................................................10分 ‎（不写取等条件扣1分）‎ 法二：由得：，，‎ 由，‎ 当且仅当“”时等号成立.‎ 法三：由柯西不等式得：‎ ‎.‎ （1）