2019-2020学年广东省梅州市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年广东省梅州市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年广东省梅州市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．设全集，，,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先确定集合U,再利用交集与补集运算即可 ‎【详解】‎ ‎，则=‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算，准确确定集合U是关键，是基础题 ‎2．=(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用诱导公式将化为，结合特殊角的三角函数可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.‎ ‎3．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）‎ A．y B．y＝3x﹣3﹣x C．y＝tanx D．y ‎【答案】B ‎【解析】对选项逐一分析函数的定义域、单调性和奇偶性，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，函数定义域为，在定义域上没有单调性.‎ 对于B选项，在上是增函数又是奇函数，符合题意.‎ 对于C选项，函数的定义域为，在定义域上没有单调性.‎ 对于D选项，函数的定义域为，为非奇非偶函数.‎ 综上所述，符合题意的是B选项.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的定义域、单调性和奇偶性，属于基础题.‎ ‎4．设x∈R，向量（x，1），（1，2），若⊥，则＝（ ）‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用向量垂直的坐标表示列方程，求得的值，由此求得 ‎【详解】‎ 由于⊥，所以，解得，所以，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查向量加法、模的坐标运算，属于基础题.‎ ‎5．下列各式中成立的是（ ）‎ A．log76＜log67 B．log0.44＜log0.46‎ C．1.013.4＞1.013.5 D．3.50.3＜3.40.3‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据对数函数、指数函数和幂函数的性质，判断出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，根据对数函数的性质可知，故A选项正确.‎ 对于B选项，由于在上递减，所以 ‎，故B选项错误.‎ 对于C选项，由于在上递增，所以，故C选项错误.‎ 对于D选项，由于在上递增，所以，故D选项错误.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据对数函数、指数函数、幂函数的性质比较大小，属于基础题.‎ ‎6．若x0＝cosx0，则（ ）‎ A．x0∈（，） B．x0∈（，） C．x0∈（，） D．x0∈（0，）‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数，利用零点存在性定理，判断出零点所在的区间 ‎【详解】‎ 画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数，，，根据零点存在性定理可知，的唯一零点在区间.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎7．函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由，解得，也即函数的定义域为，由此排除A,B选项.当时，，由此排除D选项.所以正确的为C选项.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.‎ ‎8．sin1，cos1，tan1的大小关系为（ ）‎ A．sin1＞cos1＞tan 1 B．cos1＞sin1＞tanl C．tan1＞sin1＞cos1 D．sinl＞tanl＞cosl ‎【答案】C ‎【解析】根据的大小，判断出的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 由于，所以，所以C选项正确. ‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数值比较大小，属于基础题.‎ ‎9．设函数，则满足的x的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分类讨论：当时；当时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．‎ ‎【详解】‎ 当时，的可变形为，，．‎ 当时，的可变形为，，故答案为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．‎ ‎10．若函数y＝f（x）的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍；再将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到函数ysinx的图象；则函数y＝f（x）的解析式是（ ）‎ A．ysin（） B．ysin（）‎ C．ysin（2x） D．ysin（2x）‎ ‎【答案】D ‎【解析】将图像变换反过来，由变换为，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 依题意，由向右移个单位，得到，再纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的，得到.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查求三角函数图像变换前的解析式，属于基础题.‎ ‎11．给出下列命题：①存在实数α，使sinα•cosα＝1； ②函数y＝sin（x）是偶函数：③直线x是函数y＝sin（2x）的一条对称轴：④若α、β 是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ．其中正确的命题是（ ）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．②③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用二倍角公式和三角函数的值域，判断①的正确性；利用诱导公式及三角函数的奇偶性判断②的正确性；将代入，根据结果判断③的正确性；根据特殊角的三角函数值，判断④的周期性.‎ ‎【详解】‎ 对于①，由于，所以①错误.‎ 对于②，由于，所以函数为偶函数，所以②正确.‎ 对于③，将代入得，所以是的一条对称轴，所以③正确.‎ 对于④，例如为第一象限角，则，即，所以④错误.‎ 故正确的为②③.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数的图像与性质，考查二倍角公式和诱导公式，属于基础题.‎ ‎12．关于函数f（x）（x∈R），有下述四个结论：‎ ‎①任意x∈R，等式f（﹣x）+f（x）＝0恒成立；‎ ‎②任意x1，x2∈R，若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；‎ ‎③存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|＝m有两个不等实数根；‎ ‎④存在k∈（1，+∞），使得函数g（x）＝f（x）﹣kx在R上有三个零点．‎ 其中包含了所有正确结论编号的选项为（ ）‎ A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数的奇偶性判断①的正确性，根据函数的单调性判断②的正确性，根据的图像判断③的正确性，根据与的图像判断④的正确性.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为，且，所以，即函数为奇函数，故①正确.‎ 为上的奇函数，，当时，为增函数，所以在上是增函数，所以②正确.‎ 是上的奇函数、增函数，且当时，.则为偶函数，且当时，，递增；当时，；当时，递减.由此画出的图像如下图所示，由图可知，当是，与有两个不同的交点，所以③正确.‎ 画出与的图像如下图所示，由图可知，当时，两个函数图像没有三个交点，所以④正确.证明如下：当时，，，，所以于的图像相切.当时，，，，所以于的图像相切.结合图像可知与的图像只有一个公共点，当时，与的图像也只有一个公共点.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，考查方程的根、函数的零点、两个函数图像的交点问题的研究，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．函数y的定义域为_____．‎ ‎【答案】（1，2）．‎ ‎【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零，偶次方根被开发数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.‎ ‎【详解】‎ 依题意，，解得，所以函数的定义域为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.‎ ‎14．已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为_____．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】根据两个向量垂直的表示列方程，结合向量数量积的运算公式，化简求得与的夹角的余弦值，进而求得夹角的大小.‎ ‎【详解】‎ 由于（）⊥，所以，即，，‎ ‎，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.‎ ‎15．已知sin2α，则tanα＝_____．‎ ‎【答案】或．‎ ‎【解析】利用“”的代换的方法，化简求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，化简得，即，，解得或.‎ 故答案为：或 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二倍角公式，考查齐次方程的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎16．函数f（x）＝log2（kx2+4kx+3）．①若f（x）的定义域为R，则k的取值范围是_____；②若f（x）的值域为R，则k的取值范围是_____．‎ ‎【答案】[0，） k ‎ ‎【解析】（1）根据的定义域为，对分成三种情况分类讨论，结合判别式，求得的取值范围.‎ ‎（2）当值域为时，由求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）＝log2（kx2+4kx+3）．‎ ‎①若f（x）的定义域为R，可得kx2+4kx+3＞0恒成立，‎ 当k＝0时，3＞0恒成立；当k＞0，△＜0，即16k2﹣12k＜0，解得0＜k；当k＜0不等式不恒成立，‎ 综上可得k的范围是[0，）；‎ ‎②若f（x）的值域为R，可得y＝kx2+4kx+3取得一切正数，‎ 则k＞0，△≥0，即16k2﹣12k≥0，解得k．‎ 故答案为：(1). [0，） (2). k ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据对数型复合函数的定义和值域求参数的取值范围，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知f（α）．‎ ‎（1）化简f（α）；‎ ‎（2）若f（α），且α为第三象限角，求cos（α）的值．‎ ‎【答案】（1）f（α），（2）．‎ ‎【解析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简表达式.‎ ‎（2）由，求得的值，进而求得的值，再由两角和的余弦公式，求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）f（α），‎ ‎（2）由f（α），‎ 又已知α为第三象限角，所以sinα＜0，‎ 所以sinα，‎ 所以cos（α）＝cosαcossinαsin ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎18．已知函数是指数函数．‎ ‎(1)求的表达式；‎ ‎(2)判断的奇偶性，并加以证明 ‎ ‎(3)解不等式：．‎ ‎【答案】（1）（2）见证明；（3）‎ ‎【解析】(1)根据指数函数定义得到，检验得到答案.‎ ‎(2) ，判断关系得到答案.‎ ‎(3)利用函数的单调性得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵函数是指数函数，且，‎ ‎∴，可得或（舍去），∴；‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴，∴，∴是奇函数；‎ ‎（3）不等式：，以2为底单调递增，‎ 即，‎ ‎∴，解集为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎19．已知向量，．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，，求的值域．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）根据的坐标关系，得到，再代入即可求值.‎ ‎（2）用正弦、余弦，二倍角公式和辅助角公式化简，得到，根据，求出的值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若，则，‎ ‎∴.∴.‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴的值域为．‎ ‎【点睛】‎ 本题第一问主要考查向量平行的坐标表示和正切二倍角公式，考查计算能力.第二问主要考查正弦，余弦的二倍角公式和辅助角公式以及三角函数的值域问题，属于中档题.‎ ‎20．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x（台）是仪器的月产量．‎ ‎（1）将利润表示为月产量的函数；‎ ‎（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益总成本利润）‎ ‎【答案】（1）；（2）每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．‎ ‎【解析】（1）利润收益成本，由已知分两段当时，和当时，求出利润函数的解析式；‎ ‎（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）月产量为台，则总成本为元，从而 ‎．‎ ‎（2）由（1）可知，当时，，‎ 当时，；‎ 当时，是减函数，，‎ 当时，，‎ 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．‎ ‎21．已知函数f（x）＝2sin（3ωx），其中ω＞0．‎ ‎（1）若f（x+θ）是最小周期为2π的偶函数，求ω和θ的值；‎ ‎（2）若f（x）在（0，]上是增函数，求ω的最大值．‎ ‎【答案】（1）ω，θ＝kπ，k∈Z．（2）最大值为．‎ ‎【解析】（1）先求得的表达式，根据的最小正周期和奇偶性，求得的值，‎ ‎（2）先有，求得，由求得的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由f（x）＝2sin（3ωx），其中ω＞0，‎ ‎∴f（x+θ）＝2sin（3ωx+3ωθ），‎ ‎∵f（x+θ）是最小周期为2π的偶函数，‎ ‎∴2π，∴ω，‎ ‎∵3ωθkπ，k∈Z，即 θ＝kπ，k∈Z．‎ 综上可得，ω，θ＝kπ，k∈Z．‎ ‎（2）（x）＝2sin（3ωx）在（0，]上是增函数，‎ 在（0，]上，3ωx∈（，ωπ]，‎ ‎∴ωπ，∴ω，即ω的最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据三角函数的周期性和奇偶性求参数值，考查根据三角函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.‎ ‎22．设为实数，函数．‎ ‎（1）若函数是偶函数，求实数的值；‎ ‎（2）若，求函数的最小值；‎ ‎（3）对于函数，在定义域内给定区间，如果存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，‎ 是它的一个“均值点”．如函数是上的平均值函数，就是它的均值点．现有函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用通过整理即可得到；（2）此函数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在，使得”从而转化为一元二次方程有解问题．‎ 试题解析：解：（1）是偶函数，在上恒成立，‎ 即，所以得 ‎（2）当时，‎ 所以在上的最小值为，‎ 在上的的最小值为f（）＝，‎ 因为＜5，所以函数的最小值为．‎ ‎（3）因为函数是区间上的平均值函数，‎ 所以存在，使 而，存在，使得 即关于的方程在内有解；‎ 由得 解得所以即 故的取值范围是 ‎【考点】函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题．‎