2016年普通高等学校招生全国统一考试北京理科数学
2016年普通高等学校招生全国统一考试
北京理科数学
1.(2016北京,理1)已知集合A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3},则A∩B=( )
A.{0,1} B.{0,1,2}
C.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2}
答案C 由|x|<2,可知-2
y>0,则( )
A.1x-1y>0 B.sin x-sin y>0
C.12x-12y<0 D.ln x+ln y>0
答案C 由x>y>0,得1x<1y,即1x-1y<0,故选项A不正确;由x>y>0及正弦函数的单调性 ,可知sin x-sin y>0不一定成立,故选项B不正确;由0<12<1,x>y>0,可知12x<12y,即12x-12y<0,故选项C正确;由x>y>0,得xy>0,xy不一定大于1,故ln x+ln y=ln xy>0不一定成立,故选项D不正确.故选C.
6.
(2016北京,理6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )
A.16
B.13
C.12
D.1
答案A 由三视图 可得,三棱锥的直观图如图,则该三棱锥的体积V=13·12·1·1·1=16,故选A.
7.(2016北京,理7)将函数y=sin2x-π3图象上的点Pπ4,t向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图象上,则( )
A.t=12,s的最小值为π6 B.t=32,s的最小值为π6
C.t=12,s的最小值为π3 D.t=32,s的最小值为π3
答案A 设P'(x,y).由题意得,t=sin2×π4-π3=12,且P'的纵坐标与P的纵坐标相同,即y=12.又P'在函数y=sin 2x的图象上,则sin 2x=12,故点P'的横坐标 x=π12+kπ或5π12+kπ(k∈Z),由题意可得s的最小值为π4-π12=π6.
8.(2016北京,理8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
答案B 若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,选B.
9.(2016北京,理9)设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .
答案-1
解析∵(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i∈R,
∴a+1=0,即a=-1.
10.(2016北京,理10)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为 .(用数字作答)
答案60
解析∵二项展开式的通项 Tr+1=C6r16-r·(-2x)r=(-2)rC6rxr,∴x2的系数 为(-2)2C62=60.
11.(2016北京,理11)在极坐标系中,直线ρcos θ-3ρsin θ-1=0与圆ρ=2cos θ交于A,B两点,则|AB|= .答案2
解析直线ρcos θ-3ρsin θ-1=0化为直角坐标方程 为x-3y-1=0,圆ρ=2cos θ化为直角坐标方程 为(x-1)2+y2=1,可知圆心(1,0)在直线x-3y-1=0上,故|AB|=2.
12.(2016北京,理12)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= .
答案6
解析∵{an}是等差数列 ,∴a3+a5=2a4=0.∴a4=0.
∴a4-a1=3d=-6.∴d=-2.
∴S6=6a1+15d=6×6+15×(-2)=6.
13.(2016北京,理13)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a= .
答案2
解析∵四边形OABC是正方形,∴∠AOB=45°,∴不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线 的方程为y=x.∴ba=1,即a=b.又|OB|=22,∴c=22.∴a2+b2=c2,即a2+a2=(22)2,可得a=2.
14.(2016北京,理14)设函数f(x)=x3-3x,x≤a,-2x,x>a.
(1)若a=0,则f(x)的最大值为 ;
(2)若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是 .
答案(1)2 (2)(-∞,-1)
解析令g(x)=x3-3x,φ(x)=-2x.由g'(x)=3x2-3=0,得x=±1.可判断当x=1时,函数g(x)的极小值 为-2;当x=-1时,函数g(x)的极大值 为2,且g(x)与x轴的交点为(-3,0),(0,0),(3,0).又g(x)与φ(x)图象的交点为A(-1,2),O(0,0),B(1,-2),故可作出函数g(x)与φ(x)的大致图象如图所示.
(1)当a=0时,f(x)=x3-3x,x≤0,-2x,x>0,可知f(x)的最大值是f(-1)=2;
(2)由图象知,当a≥-1时,f(x)有最大值f(-1)=2;当a<-1时,有a3-3a<-2a,此时f(x)无最大值,∴a的取值范围是(-∞,-1).
15.(2016北京,理15)在△ABC中,a2+c2=b2+2ac.
(1)求B的大小;
(2)求2cos A+cos C的最大值.
解(1)由余弦定理 及题设得cos B=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.
又因为0=n·PB|n||PB|=-33.
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值 为33.
(3)设M是棱PA上一点,则存在λ∈[0,1]使得AM=λAP.
因此点M(0,1-λ,λ),BM=(-1,-λ,λ).
因为BM⊄平面PCD,所以BM∥平面PCD当且仅当BM·n=0,
即(-1,-λ,λ)·(1,-2,2)=0.解得λ=14.
所以在棱PA上存在 点M使得BM∥平面PCD,此时AMAP=14.
18.(2016北京,理18)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间.
解(1)因为f(x)=xea-x+bx,
所以f'(x)=(1-x)ea-x+b.
依题设,f(2)=2e+2,f'(2)=e-1,即2ea-2+2b=2e+2,-ea-2+b=e-1,
解得a=2,b=e.
(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.
由f'(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f'(x)与1-x+ex-1同号 .
令g(x)=1-x+ex-1,则g'(x)=-1+ex-1.
所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减 ;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增 .
故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值 ,
从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).
综上可知,f'(x)>0,x∈(-∞,+∞).
故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).
19.(2016北京,理19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|·|BM|为定值.
解(1)由题意得ca=32,12ab=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.
所以椭圆C的方程 为x24+y2=1.
(2)由(1)知,A(2,0),B(0,1).
设P(x0,y0),则x02+4y02=4.
当x0≠0时,直线PA的方程 为y=y0x0-2(x-2).
令x=0,得yM=-2y0x0-2,
从而|BM|=|1-yM|=1+2y0x0-2.
直线PB的方程 为y=y0-1x0x+1.
令y=0,得xN=-x0y0-1,
从而|AN|=|2-xN|=2+x0y0-1.
所以|AN|·|BM|=2+x0y0-1·1+2y0x0-2
=x02+4y02+4x0y0-4x0-8y0+4x0y0-x0-2y0+2
=4x0y0-4x0-8y0+8x0y0-x0-2y0+2=4.
当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,
所以|AN|·|BM|=4.
综上,|AN|·|BM|为定值.
20.(2016北京,理20)设数列A:a1,a2,…,aN(N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有aka1,则G(A)≠⌀;
(3)证明:若数列A满足an-an-1≤1(n=2,3,…,N),则G(A)的元素个数不小于aN-a1.
解(1)G(A)的元素为2和5.
(2)因为存在an使得an>a1,
所以{i∈N*|2≤i≤N,ai>a1}≠⌀.
记m=min{i∈N*|2≤i≤N,ai>a1},
则m≥2,且对任意正整数 ka1.
由(2)知G(A)≠⌀.
设G(A)={n1,n2,…,np},n1ani}.
如果Gi≠⌀,取mi=minGi,
则对任何1≤k
查看更多