2017-2018学年黑龙江省大庆中学高二上学期期末数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年黑龙江省大庆中学高二上学期期末数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年黑龙江省大庆中学高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.‎ ‎1．（5分）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（　　）‎ A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x ‎2．（5分）抛物线x2=20y的焦点坐标为（　　）‎ A．（﹣5，0） B．（5，0） C．（0，5） D．（0，﹣5）‎ ‎3．（5分）已知椭圆的左焦点为F1（﹣3，0），则m=（　　）‎ A．16 B．9 C．4 D．3‎ ‎4．（5分）如图所示，程序框图的输出结果是（　　）‎ A．8 B．5 C．4 D．3‎ ‎5．（5分）在区间[1，5]上任取一个数，则此数不大于3的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（　　）‎ ‎ x ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎5 ‎ ‎ 6‎ ‎ y ‎ 2.5‎ t ‎ ‎ 4‎ ‎4.5 ‎ A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）‎ B．产品的生产能耗与产量呈正相关 C．t的取值必定是3.15‎ D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨 ‎7．（5分）函数 f （ x）=sin x+ex，则 f'（0）的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．0‎ ‎8．（5分）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（　　）‎ A．m＞2或m＜﹣1 B．m＞﹣2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞2或﹣2＜m＜﹣1‎ ‎9．（5分）函数f（x）=（x﹣3）ex的单调增区间是（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（1，4） D．（0，3）‎ ‎10．（5分）过双曲线的右焦点F作x轴的垂线，与Ω在第一象限的交点为M，且直线AM的斜率大于2，其中A为Ω的左顶点，则Ω的离心率的取值范围为（　　）‎ A．（1，3） B．（3，+∞） C． D．‎ ‎11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（　　）‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎12．（5分）已知f（x）=lnx﹣+，g（x）=﹣x2﹣2ax+4，若对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣，+∞） B．[，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，]‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是　 　．‎ ‎14．（5分）某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示．‎ 组别 成绩 人数 频率 ‎1‎ ‎[75，80）‎ ‎5‎ ‎0.05‎ ‎2‎ ‎[80，85）‎ ‎35‎ ‎0.35‎ ‎3‎ ‎[85，90）‎ a b ‎4‎ ‎[90，95）‎ c d ‎5‎ ‎[95，100）‎ ‎10‎ ‎0.1‎ 则a=　 　，d=　 　．‎ ‎15．（5分）曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线方程为　 　．‎ ‎16．（5分）已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17题10分，18-22每题满分70分）‎ ‎17．（10分）已知等差数列{an}中，a1+a4=10，a5=10．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）已知，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎18．（12分）已知△ABC的周长为，且．‎ ‎（1）求边BC的长；‎ ‎（2）若△ABC的面积为，求角A的度数．‎ ‎19．（12分）为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度”（单位：天），某中学团委在全校采用随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女人数各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月“关注度”分为6组：[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30]，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求抽取的80名学生中月“关注度”不少于15天的人数；‎ ‎（3）在抽取的80名学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，求至少抽取到1名女生的概率．‎ ‎20．（12分）如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求证：AC∥平面BEF；‎ ‎（Ⅲ）求四面体BDEF的体积．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．‎ ‎22．（12分）已知椭圆C：经过 ‎，且椭圆C的离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设斜率存在的直线l与椭圆C交于P，Q两点，O为坐标原点，OP⊥OQ，且l与圆心为O的定圆W相切，求圆W的方程．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年黑龙江省大庆中学高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.‎ ‎1．（5分）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（　　）‎ A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题，利用特称命题写出命题的否定命题．‎ ‎【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，‎ ‎∴命题的否定是：∃x0∈R，=x0．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了全称命题的否定，要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命题，全称命题的否定是特称命题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）抛物线x2=20y的焦点坐标为（　　）‎ A．（﹣5，0） B．（5，0） C．（0，5） D．（0，﹣5）‎ ‎【分析】直接利用抛物线的标准方程求解焦点坐标即可．‎ ‎【解答】解：抛物线x2=20y的焦点坐标为（0，5）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的焦点坐标的求法，简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知椭圆的左焦点为F1（﹣3，0），则m=（　　）‎ A．16 B．9 C．4 D．3‎ ‎【分析】利用椭圆的焦点坐标，列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：椭圆的左焦点为F1（﹣3，0），‎ 可得25﹣m2=9，解得m=4．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）如图所示，程序框图的输出结果是（　　）‎ A．8 B．5 C．4 D．3‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得 x=1，y=1‎ 满足条件x≤4，执行循环体，x=2，y=2‎ 满足条件x≤4，执行循环体，x=4，y=3‎ 满足条件x≤4，执行循环体，x=8，y=4‎ 不满足条件x≤4，退出循环，输出y的值为4．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）在区间[1，5]上任取一个数，则此数不大于3的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意先确定是几何概型中的长度类型，由“此数不大于3“求出构成事件的区域长度，再求出在区间[1，5]上任取一个数x构成的区域长度，计算长度比即可．‎ ‎【解答】解：由于此数不大于3，所求事件构成的区域长度为：3﹣1=2，‎ 在区间[1，5]上任取一个数x构成的区域长度为5﹣1=4，‎ 则此数不大于3的概率是P==，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，思路是先求试验的全部构成的长度和构成事件的区域长度，再求比值．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（　　）‎ ‎ x ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎5 ‎ ‎ 6‎ ‎ y ‎ 2.5‎ t ‎ ‎ 4‎ ‎4.5 ‎ A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）‎ B．产品的生产能耗与产量呈正相关 C．t的取值必定是3.15‎ D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨 ‎【分析】根据回归直线的性质分别进行判断即可．‎ ‎【解答】解：=（3+4+5+6）==4.5，‎ 则=0.7×4.5+0.35=3.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故A正确，‎ ‎∵0.7＞0，∴产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确，‎ ‎∵=（2.5+t+4+4.5）=3.5，得t=3，故C错误，‎ A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确 故选：C ‎【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据回归直线的性质分别进行判断是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）函数 f （ x）=sin x+ex，则 f'（0）的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．0‎ ‎【分析】先求导，再代值计算即可 ‎【解答】解：f （ x）=sinx+ex，‎ ‎∴f′（ x）=cosx+ex，‎ ‎∴f′（0）=cos0+e0=1+1=2，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查了导数的运算和导数值得求法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（　　）‎ A．m＞2或m＜﹣1 B．m＞﹣2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞2或﹣2＜m＜﹣1‎ ‎【分析】先根据椭圆的焦点在x轴上m2＞2+m，同时根据2+m＞0，两个范围取交集即可得出答案．‎ ‎【解答】解：椭圆的焦点在x轴上 ‎∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0‎ 解得m＞2或m＜﹣1‎ 又∵2+m＞0‎ ‎∴m＞﹣2‎ ‎∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1‎ 故选D ‎【点评】本题主要考查椭圆的标准方程的问题．即对于椭圆标准方程，当焦点在x轴上时，a＞b；当焦点在y轴上时，a＜b．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）函数f（x）=（x﹣3）ex的单调增区间是（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（1，4） D．（0，3）‎ ‎【分析】首先对f（x）=（x﹣3）ex求导，可得f′（x）=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，求解可得答案．‎ ‎【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，即（x﹣2）ex＞0，解得x＞2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查导数的计算与应用，注意导数计算公式的正确运用与导数与单调性的关系．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）过双曲线的右焦点F作x轴的垂线，与Ω在第一象限的交点为M，且直线AM的斜率大于2，其中A为Ω的左顶点，则Ω的离心率的取值范围为（　　）‎ A．（1，3） B．（3，+∞） C． D．‎ ‎【分析】利用已知条件，求出相关的坐标，通过直线的斜率列出不等式，然后求解双曲线的离心率的范围．‎ ‎【解答】解：双曲线的右焦点F（c，0）作x轴的垂线，与Ω在第一象限的交点为M（c，），且直线AM的斜率大于2，其中A为Ω的左顶点（﹣a，0），‎ 可得：，即b2＞2ac+2a2，可得：c2＞2ac+3a2，‎ 即：e2﹣2e﹣3＞0，因为e＞1，解得e＞3．‎ 则Ω的离心率的取值范围为：（3，+∞）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（　　）‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎【分析】设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，由=3，可得=，又|MF|=p=4，根据抛物线的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，‎ ‎∵=3，‎ ‎∴=，又|MF|=p=4，‎ ‎∴|NQ|=，‎ ‎∵|NQ|=|QF|，‎ ‎∴|QF|=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知f（x）=lnx﹣+，g（x）=﹣x2﹣2ax+4，若对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣，+∞） B．[，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，]‎ ‎【分析】由题意，要使对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）min≥g（x2）min，且x1∈（0，2]，x2∈[1，2]，然后利用导数研究它们的最值即可．‎ ‎【解答】解：因为f′（x）===，‎ 易知当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，‎ 所以f（x）在（0，1）上递减，在[1，2]上递增，故f（x）min=f（1）=．‎ 对于二次函数g（x）=）=﹣x2﹣2ax+4，该函数开口向下，所以其在区间[1，2]上的最小值在端点处取得，‎ 所以要使对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）min≥g（x2）min，‎ 即或，所以或．‎ 解得．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了不等式恒成立问题以及不等式有解问题的综合思路，概念性很强，注意理解．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是　﹣=1　．‎ ‎【分析】根据题意，求出椭圆的焦点，分析可得双曲线的焦点在x轴上，且c=4，可设双曲线的方程为﹣=1，由离心率公式和c的值可得a的值，进而计算可得b的值，将a、b的值代入双曲线的方程，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点为（±4，0），‎ 又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在x轴上，且c=4，‎ 设其方程为﹣=1，‎ 又由双曲线的离心率e=2，即e==2，则a=2，‎ b2=c2﹣a2=16﹣4=12，‎ 则双曲线的方程为：﹣=1；‎ 故答案为：﹣=1．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意先求出椭圆的焦点，方便设出双曲线的方程．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示．‎ 组别 成绩 人数 频率 ‎1‎ ‎[75，80）‎ ‎5‎ ‎0.05‎ ‎2‎ ‎[80，85）‎ ‎35‎ ‎0.35‎ ‎3‎ ‎[85，90）‎ a b ‎4‎ ‎[90，95）‎ c d ‎5‎ ‎[95，100）‎ ‎10‎ ‎0.1‎ 则a=　30　，d=　0.2　．‎ ‎【分析】由频率分布表和频率分布直方图的性质直接求解．‎ ‎【解答】解：由频率分布表和频率分布直方图得：‎ a=0.06×100×5=30，‎ d=0.04×5=0.2．‎ 故答案为：30，0.2．‎ ‎【点评】本题考查频率分布表、频率分布直方图的应用，考查学生分析数据的能力，考查数形结合思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线方程为　y=3x+1　．‎ ‎【分析】根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；‎ ‎【解答】解：y′=ex+x•ex+2，y′|x=0=3，‎ ‎∴切线方程为y﹣1=3（x﹣0），∴y=3x+1．‎ 故答案为：y=3x+1‎ ‎【点评】本题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运算法则，本题属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是　m＜﹣3或m＞6　．‎ ‎【分析】求出函数f（x）的导函数，根据已知条件，导函数必有两个不相等的实数根，只须令导函数的判别式大于0，求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值，又存在极小值 f′（x）=3x2+2mx+m+6=0，它有两个不相等的实根，‎ ‎∴△=4m2﹣12（m+6）＞0‎ 解得m＜﹣3或m＞6‎ 故答案为：m＜﹣3或m＞6．‎ ‎【点评】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件．导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17题10分，18-22每题满分70分）‎ ‎17．（10分）已知等差数列{an}中，a1+a4=10，a5=10．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）已知，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【分析】（1）直接利用已知条件建立方程组求出数列的通项公式．‎ ‎（2）利用裂项相消法求出数列的和．‎ ‎【解答】解：（1）等差数列{an}中，设首项为a1，公差为d，‎ 由于：a1+a4=10，a5=10．‎ 则：，‎ 解得：，‎ 所以：an=2+2（n﹣1）=2n，‎ ‎（2）由于：an=2n，‎ 所以：=，‎ 则：，‎ ‎=1﹣，‎ ‎=．‎ ‎【点评】‎ 本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的求法，裂项相消法在数列求和中的应用．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知△ABC的周长为，且．‎ ‎（1）求边BC的长；‎ ‎（2）若△ABC的面积为，求角A的度数．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理结合三角形的周长，化简求解即可．‎ ‎（2）利用三角形的面积以及（1）的结果，利用余弦定理，转化求解即可．‎ ‎【解答】（1）由题意及正弦定理，得．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴BC=1．‎ ‎（2）∵，∴．‎ 又∵，由余弦定理，‎ 得==，‎ ‎∴A=60°．‎ ‎【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积以及周长的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度”（单位：天），某中学团委在全校采用随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女人数各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月“关注度”分为6组：[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30]，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求抽取的80名学生中月“关注度”不少于15天的人数；‎ ‎（3）在抽取的80名学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，求至少抽取到1名女生的概率．‎ ‎【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a的值．‎ ‎（2）在所抽取的女生中，月“关注度”不少于15天的频率为0.5，从而月“关注度”不少于15天的女生有20人．在所抽取的男生中，月“关注度”不少于15天的概率为0.75，从而月“关注度”不少于15天的男生有30人．由此能求出抽取的80名学生中月“关注度”不少于15天的人数．‎ ‎（3）记“在抽取的80名学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，至少抽到1名女生”为事件A，在抽取的女生中，月“关注度”不少于25天的频率为0.01×5=0.05，人数为0.05×40=2人，分别记为a1，a2．在抽取的男生中，月“关注度”不少于25天的频率为0.10，人数为4人，分别记为b1，b2，b3，b4，在抽取的80名学生中，共有6人月“关注度”不少于25天，从中随机抽取2人，利用列举法能出至少抽取到1名女生的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布直方图，知（0.01+0.01+0.03+0.08+a+0.02）×5=1，‎ 解得a=0.05．‎ ‎（2）在所抽取的女生中，月“关注度”不少于15天的频率为（0.06+0.03+0.01）×5=0.5，‎ 所以月“关注度”不少于15天的女生有0.5×40=20（人）．‎ 在所抽取的男生中，月“关注度”不少于15天的概率为（0.08+0.05+0.02）×5=0.75，‎ 所以月“关注度”不少于15天的男生有0.75×40=30（人）．‎ 故抽取的80名学生中月“关注度”不少于15天的人数共有50人．‎ ‎（3）记“在抽取的80名学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，‎ 至少抽到1名女生”为事件A，‎ 在抽取的女生中，月“关注度”不少于25天的频率为0.01×5=0.05，人数为0.05×40=2人，分别记为a1，a2．‎ 在抽取的男生中，月“关注度”不少于25天的频率为0.02×5=0.10，人数为0.10×40=4人，分别记为b1，b2，b3，b4，‎ 则在抽取的80名学生中，共有6人月“关注度”不少于25天，从中随机抽取2人，‎ 所有可能的结果为：‎ ‎（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），‎ ‎（a2，b4），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4）共15种，‎ 而事件A包含的结果有：‎ ‎（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4）共9种，‎ 所以至少抽取到1名女生的概率．‎ ‎【点评】本题考查频率及频率分布直方图，频数、概率等有关知识，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求证：AC∥平面BEF；‎ ‎（Ⅲ）求四面体BDEF的体积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）欲证AC⊥平面BDE，只需证明AC垂直平面BDE中的两条相交直线即可，因为AC与BD是正方形ABCD的对角线，所以AC⊥‎ BD，再正DE垂直AC所在的平面，得到AC垂直DE，而BD，DE是平面BDE中的两条相交直线，问题得证．‎ ‎（Ⅱ）欲证AC∥平面BEF，只需证明AC平行平面BEF中的一条直线即可，利用中位线的性质证明OG平行DE且等于DE的一半，根据已知AF平行DE且等于DE的一半，所以OG与AF平行且相等，就可得到AC平行FG，而FG为平面BEF中的一条直线，问题得证．‎ ‎（Ⅲ）四面体BDEF可以看做以△DEF为底面，以点B为顶点的三棱锥，底面三角形DEF的底边DE=2，高DA=2，三棱锥的高为AB，长度等于2，再代入三棱锥的体积公式即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ADEF，∠ADE=90°，‎ ‎∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AC．‎ ‎∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，‎ ‎∴AC⊥平面BDE ‎（Ⅱ）证明：设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，∵OG为△BDE的中位线 ‎∴OG ‎∵AF∥DE，DE=2AF，∴AFOG，‎ ‎∴四边形AFGO是平行四边形，‎ ‎∴FG∥AO．‎ ‎∵FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，‎ ‎∴AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．（Ⅲ）∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，‎ ‎∴AB⊥平面ADEF．‎ ‎∵AF∥DE，∠ADE=90°，DE=DA=2AF=2，‎ ‎∴△DEF的面积为，‎ ‎∴四面体BDEF的体积==．‎ ‎【点评】本题主要考查了在空间几何体中证明线面垂直，线面平行，计算三棱锥的体积，综合考查了学生的识图能力，空间想象力，计算能力．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．‎ ‎【分析】（1）函数f（x）的定义域为（1，+∞），，对k分类讨论即可得出单调性．‎ ‎（2）由f（x）≤0得，令，求导利用其单调性可得其最大值．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（1，+∞），，‎ 当k≤0时，，函数f（x）的递增区间为（1，+∞），‎ 当k＞0时，，‎ 当时，f'（x）＞0，当时，f'（x）＜0，‎ 所以函数f（x）的递增区间为，函数f（x）的递减区间为．‎ ‎（2）由f（x）≤0得，‎ 令，则，‎ 当1＜x＜2时，y'＞0，当x＞2时，y'＜0，所以 的最大值为y（2）=1，故k≥1．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知椭圆C：经过，且椭圆C的离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设斜率存在的直线l与椭圆C交于P，Q两点，O为坐标原点，OP⊥OQ，且l与圆心为O的定圆W相切，求圆W的方程．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：b=，根据椭圆的离心率即可求得a的值，即可求得椭圆C的方程；‎ ‎（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，求得3m2=（k2+1），根据点到直线的距离公式，即可求得圆W的方程．‎ ‎【解答】解：（1）因为C经过点（0，），所以b2=2，又因为椭圆C的离心率为e===，则a2=4，‎ 所以椭圆C的方程为：．‎ ‎（2）设P（x1，y1）Q（x2，y2）l的方程为y=kx+m，‎ 由，整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，，‎ 由OP⊥OQ，则•=0，即x1x2+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2==，‎ ‎∴3m2=4k2+4=4（k2+1），‎ ‎△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣4）=8（4k2﹣m2+2）＞0成立，‎ 因为l与圆心为O的定圆W相切 所以O到l的距离 即定圆W的方程为．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程及性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎