命题角度1-3 数列的单调性与最值-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

命题角度1-3 数列的单调性与最值-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

‎2018届高考数学（理）大题狂练 命题角度3：数列的单调性与最值 ‎1.设数列的前项之积为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项之和为．若对任意的，总有，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：(1)由,再由可得数列的通项公式；(2)先求出,再根据对任意的,可得的取值范围.‎ ‎（2）由，得，‎ 所以，‎ 因为对任意的，故所求的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1.等比数列的通项公式和性质；2.等比数列求和.‎ ‎2.已知等比数列的公比，且， ．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设， 是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）本小题用等比数列的基本量法可求解，即用首项和公比表示出已知条件并解出，可得通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由，因此用错位相减法可求得其前项和，对不等式按的奇偶分类，可求得参数的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设数列的公比为，则， ‎ ‎∴‎ ‎∵，∴，∴数列的通项公式为． ‎ ‎（Ⅱ）解： ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴=‎ ‎∴对任意正整数恒成立，设，易知单调递增． ‎ 为奇数时， 的最小值为，∴得， ‎ 为偶数时， 的最小值为，∴， ‎ 综上， ，即实数的取值范围是．‎ ‎3.设数列的前项和为，已知.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ 试题解析：(1)令，解得． ‎ 由，有， ‎ 两式相减得，化简得（n≥2），‎ ‎∴ 数列是以首项为1，公比为2 的等比数列，‎ ‎∴ 数列的通项公式． ‎ ‎(2)由≥，整理得k≥，‎ 令，则， ‎ n=1，2，3，4，5时，，∴． ‎ n=6，7，8，…时，，即． ‎ ‎∵b5=<， ∴的最大值是．‎ ‎∴实数k的取值范围是． ‎ 考点：由和项求通项，根据数列单调性求最值 ‎【方法点睛】给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 应用关系式an＝时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.‎ ‎4.已知数列是等差数列，‎ ‎（1）判断数列是否是等差数列，并说明理由；‎ ‎（2）如果，试写出数列的通项公式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若数列得前n项和为，问是否存在这样的实数，使当且仅当时取得最大值。若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。‎ ‎【答案】（1）数列是以为公差的等差数列.（2）.‎ ‎（3）存在或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：1）设的公差为，确定 ‎，作出结论.‎ ‎（2）根据 ，，‎ 建立的方程组，首先求得 进一步确定.‎ ‎（3）由已知当且仅当时最大，‎ 得到，建立的不等式组，求得的范围.‎ 试题解析：（1）设的公差为，则 数列是以为公差的等差数列 3‎ ‎ （2） ‎ 两式相减： 6分 ‎ 8分 ‎ 8‎ ‎ （3）因为当且仅当时最大，‎ 有 即 ‎ 12‎ 考点：等差数列，一元二次不等式组的解法.‎ ‎5.已知数列的前项和为，且 ，数列满足，，其前9项和为63.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由，可变形为，可得数列是等差数列，利用等差数列的通项公式可得，再根据数列的和与通项的关系，即可求解数列的通项公式，由，可得数列为等差数列，利用等差数列的通项公式即可求解；（2）由题意得，可化简，利用“裂项求和”可得：数列的前项和，设，可得数列单调递增，得出，由于对任意正整数，都有，可得，即可求出.‎ ‎（2）由(1)知cn＝＋＝＋＝2＋2(－)， ‎ 所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝2n＋2×(1－＋－＋－＋…＋－＋－)‎ ‎＝2n＋2(1＋－－)＝3－2 (＋)＋2n. ‎ 所以Tn－2n＝3－2(＋)．‎ 设An＝Tn－2n＝3－2(＋)． ‎ 因为An＋1－An＝3－2(＋)－[3－2(＋)]‎ ‎＝2(－)＝>0，‎ 所以{An}单调递增，故(An)min＝A1＝.‎ 因为An＝3－2(＋)<3，所以≤An<3. ‎ 因为对任意正整数n，Tn－2n∈[a，b]，所以a≤，b≥3，即a的最大值为，b的最小值为3，所以(b－a)min＝3－＝. ‎ 考点：数列的递推关系；等差数列的通项公式；数列求和的应用.‎ ‎6.已知数列的前项和为，且（）．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设， ， 是数列的前项和，求正整数，使得对任意均有恒成立；‎ ‎（3）设， 是数列的前项和，若对任意均有恒成立，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）或5（3）‎ ‎【解析】试题分析: (1)由 与 之间的关系求出 的通项公式; (2)先求出数列的通项公式,方法一是求出增减情况,正负情况,求出的最大项,方法二是求出的前n项和，再求出，得出的增减性，再求出的最大值; (3)用裂项相消法求出数列的前n项和， ,再求出的范围. ‎ 试题解析: 由，得 两式相减，得 ‎∴ ‎ 数列为等比数列，公比 又，得， ∴ ‎ ‎（2） ‎ ‎， ‎ 方法一当时， ‎ 因此， ‎ ‎∴ 对任意均有，故或。 ‎ ‎ ‎ ‎（3）∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵对任意均有成立， ‎ ‎∴，‎ 所以的最小值为 点睛: 本题主要考查了数列有关问题,涉及的知识点有求数列通项公式,用裂项相消法求和,判断数列的增减性等,属于中档题.‎ ‎ ‎