数学理·青海省海东市平安一中2017届高三上学期第一次月考数学试卷（理科） Word版含解析

数学理·青海省海东市平安一中2017届高三上学期第一次月考数学试卷（理科） Word版含解析

‎2016-2017学年青海省海东市平安一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．设集合A={x|y=lg（3﹣2x）}，集合B={y|y=}，则A∩B=（　　）‎ A．[0，） B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，] D．（，+∞）‎ ‎2．复数等于（　　）‎ A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，则m等于（　　）‎ A．﹣3 B．3 C． D．±3‎ ‎5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（　　）‎ A．y=﹣x3，x∈R B．y=sinx，x∈R C．y=x，x∈R D．‎ ‎6．曲线y=﹣x3+3x2在点（2，4）处的切线方程为（　　）‎ A．x=4 B．y=4 C．x=2 D．y=2x ‎7．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎8．由直线y=x﹣4，曲线y=以及x轴所围成的图形面积为（　　）‎ A． B．13 C． D．15‎ ‎9．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（　　）‎ A．12种 B．10种 C．9种 D．8种 ‎10．已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式（x﹣1）f′（x）＜0的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，）∪（1，2） B．（﹣1，1）∪（1，3） C．（﹣1，）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）‎ ‎11．执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎12．在不等式组，所表示的平面区域内随机地取一点M，则点M恰好落在第二象限的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知在等差数列{an}中，a1，a2017为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a2+a1009+a2016的值为　　．‎ ‎14．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，则p的值为　　．‎ ‎15．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，‎ 甲说：丙没有考满分；‎ 乙说：是我考的；‎ 丙说：甲说真话．‎ 事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是　　．‎ ‎16．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30）…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（17-21每题12分，22题10分，共70分）‎ ‎17．（1）计算：log3+lg25+lg4++log23•log34；‎ ‎（2）设集合A={x|≤2﹣x≤4}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}．若A∪B=A，求m的取值范围．‎ ‎18．已知f（x）=（x∈R，且x≠﹣1），g（x）=x2+2（x∈R）．‎ ‎（1）求f（2）、g（2）的值；‎ ‎（2）求f[g（3）]的值．‎ ‎19．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2sin2（x﹣） （x∈R）．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）求使函数f（x）取得最大值的x的集合．‎ ‎20．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．‎ ‎（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BED；‎ ‎（Ⅱ）求向量和所成角的余弦值．‎ ‎21．设函数f（x）=lnx﹣ax，a∈R．‎ ‎（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；‎ ‎（2）当0＜a＜时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；‎ ‎（3）当a=﹣1时，关于x的方程2mf（x）=x2（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．‎ ‎22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是（t为参数）．‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年青海省海东市平安一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．设集合A={x|y=lg（3﹣2x）}，集合B={y|y=}，则A∩B=（　　）‎ A．[0，） B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，] D．（，+∞）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可．‎ ‎【解答】解：由A中y=lg（3﹣2x），得到3﹣2x＞0，即x＜，‎ ‎∴A=（﹣∞，），‎ 由B中y=≥0，即B=[0，+∞），‎ ‎∴A∩B=[0，）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．复数等于（　　）‎ A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则即可得出．‎ ‎【解答】解： ==i+1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，‎ 则“x＜1”是“|x|＜1””的必要不充分条件，‎ 故选：B ‎　‎ ‎4．已知角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，则m等于（　　）‎ A．﹣3 B．3 C． D．±3‎ ‎【考点】任意角的三角函数的定义．‎ ‎【分析】利用任意角的三角函数的定义，求解即可．‎ ‎【解答】解：角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，‎ 可得，（m＞0）‎ 解得m=3．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（　　）‎ A．y=﹣x3，x∈R B．y=sinx，x∈R C．y=x，x∈R D．‎ ‎【考点】函数的图象与图象变化；奇函数．‎ ‎【分析】根据基本函数的性质逐一对各个答案进行分析．‎ ‎【解答】解：‎ A在其定义域内既是奇函数又是减函数；‎ B在其定义域内是奇函数但不是减函数；‎ C在其定义域内既是奇函数又是增函数；‎ D在其定义域内是非奇非偶函数，是减函数；‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．曲线y=﹣x3+3x2在点（2，4）处的切线方程为（　　）‎ A．x=4 B．y=4 C．x=2 D．y=2x ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】根据曲线方程y=﹣x3+3x2，对f（x）进行求导，求出f′（x）在x=2处的值即为切线的斜率，曲线又过点（2，4），即可求出切线方程．‎ ‎【解答】解：∵曲线y=﹣x3+3x2，‎ ‎∴y′=﹣3x2+6x，‎ ‎∴切线方程的斜率为：k=y′|x=2=0，‎ 又∵曲线y=﹣x3+3x2过点（2，4）‎ ‎∴切线方程为：y=4，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得+φ=kπ，k∈z，由此根据|φ|＜求得φ的值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象，‎ 再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，k∈z，‎ ‎∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣），‎ 由题意x∈[0，]，得2x﹣∈[﹣，]，‎ ‎∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]‎ ‎∴函数y=sin（2x﹣）在区间[0，]的最小值为﹣．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．由直线y=x﹣4，曲线y=以及x轴所围成的图形面积为（　　）‎ A． B．13 C． D．15‎ ‎【考点】函数的图象；定积分在求面积中的应用．‎ ‎【分析】由题意画出图形，数形结合把曲边梯形的面积用定积分表示，求定积分得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 由曲线y=，直线y=x﹣4以及x轴所围成的图形OAB的面积为：‎ dx+ （﹣x+4）dx=+（﹣x2+4x）=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（　　）‎ A．12种 B．10种 C．9种 D．8种 ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果 ‎【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；‎ 第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；‎ 第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法 故不同的安排方案共有2×6×1=12种 故选 A ‎　‎ ‎10．已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式（x﹣1）f′（x）＜0的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，）∪（1，2） B．（﹣1，1）∪（1，3） C．（﹣1，）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先由（x﹣1）f'（x）＜0，分成x﹣1＞0且f'（x）＜0或x﹣1＜0且f'（x）＞0两种情况分别讨论即可 ‎【解答】解：当x﹣1＞0，即x＞1时，f'（x）＜0，‎ 即找在f（x）在（1，+∞）上的减区间，‎ 由图象得，1＜x＜2；‎ 当x﹣1＜0时，即x＜1时，f'（x）＞0，‎ 即找f（x）在（﹣∞，1）上的增区间，‎ 由图象得，x＜．‎ 故不等式解集为（﹣∞，）∪（1，2）‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S的值为．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 k=1‎ k=2‎ 不满足条件k＞4，k=3‎ 不满足条件k＞4，k=4‎ 不满足条件k＞4，k=5‎ 满足条件k＞4，S=sin=，‎ 输出S的值为．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．在不等式组，所表示的平面区域内随机地取一点M，则点M恰好落在第二象限的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先画出满足条件的平面区域，分别求出满足条件的三角形的面积，从而求出其概率．‎ ‎【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：‎ ‎，‎ 由，解得：P（，），‎ 不等式组所表示的平面区域为RT△，‎ 其面积为×3×=，‎ 点M恰好落在第二象限表示的平面区域为一直角三角形，‎ 其面积是×1×1=，‎ ‎∴点M恰好落在第二象限的概率为P=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知在等差数列{an}中，a1，a2017为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a2+a1009+a2016的值为　15　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系可得a1+a2017=10再利用等差数列的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a1，a2017为方程x2﹣10x+16=0的两根，‎ ‎∴a1+a2017=10=2a1009，‎ ‎∵数列{an}是等差数列，‎ 则a2+a1009+a2016=3a1009=15．‎ 故答案为：15．‎ ‎　‎ ‎14．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，则p的值为　2　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据抛物线的标准方程可知准线方程为x=﹣，根据抛物线的准线与圆相切可知3+=4求得p．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，‎ 因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，‎ 所以3+=4，p=2；‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，‎ 甲说：丙没有考满分；‎ 乙说：是我考的；‎ 丙说：甲说真话．‎ 事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是　甲　．‎ ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】利用反证法，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；‎ 假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；‎ 故答案为：甲．‎ ‎　‎ ‎16．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30）…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为　2　．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】根据频率分布直方图，求出样本中不小于30岁人的频率与频数，再求用分层抽样方法抽取的人数 ‎【解答】解：根据频率分布直方图，得；‎ 样本中不小于30岁的人的频率是1﹣0.020×10+0.025×10=0.55，‎ ‎∴不小于30岁的人的频数是100×0.55=55；‎ 从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，‎ 在[50，60）年龄段抽取的人数为 ‎22×=22×=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ 三．解答题（17-21每题12分，22题10分，共70分）‎ ‎17．（1）计算：log3+lg25+lg4++log23•log34；‎ ‎（2）设集合A={x|≤2﹣x≤4}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}．若A∪B=A，求m的取值范围．‎ ‎【考点】对数的运算性质；并集及其运算．‎ ‎【分析】（1）根据对数的运算性质即可求出，‎ ‎（2）先化简集合A，在分类讨论即可求出m的范围．‎ ‎【解答】解：（1）log3+lg25+lg4++log23•log34=+lg100+2+•=﹣+2+2+2=．‎ ‎（2）设集合A={x|≤2﹣x≤4}=[﹣2，5]，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}．‎ ‎∵A∪B=A，‎ ‎∴B⊆A，‎ 当B=∅时，即m﹣1≥2m+1时，解得m≤﹣2，满足题意，‎ 当B≠∅时，则解得﹣1≤m≤2，‎ 综上所述m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，2]‎ ‎　‎ ‎18．已知f（x）=（x∈R，且x≠﹣1），g（x）=x2+2（x∈R）．‎ ‎（1）求f（2）、g（2）的值；‎ ‎（2）求f[g（3）]的值．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】利用函数的性质求解．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=（x∈R，且x≠﹣1），g（x）=x2+2（x∈R），‎ ‎∴f（2）=，‎ g（2）=22+2=6．‎ ‎（2）g（3）=32+2=11，‎ f[g（3）]=f（11）==．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2sin2（x﹣） （x∈R）．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）求使函数f（x）取得最大值的x的集合．‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法．‎ ‎【分析】（1）先将函数f（x）化简为：f（x）=2sin（2x﹣）+1，根据T==π得到答案．‎ ‎（2）因为f（x）取最大值时应该有sin（2x﹣）=1成立，即2x﹣=2kπ+，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=sin（2x﹣）+1﹣cos2（x﹣）‎ ‎=2[sin2（x﹣）﹣cos2（x﹣）]+1‎ ‎=2sin[2（x﹣）﹣]+1‎ ‎=2sin（2x﹣）+1‎ ‎∴T==π ‎（2）当f（x）取最大值时，sin（2x﹣）=1，有2x﹣=2kπ+‎ 即x=kπ+（k∈Z）‎ ‎∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+，（k∈Z）}．‎ ‎　‎ ‎20．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．‎ ‎（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BED；‎ ‎（Ⅱ）求向量和所成角的余弦值．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出•=0， •=0，证明A1C⊥平面DBE．‎ ‎（Ⅱ）根据向量的夹角公式，即可求出余弦值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D﹣xyz．‎ 依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A1（2，0，4），C1=（0，2，4），D（0，0，0）‎ ‎=（0，2，1），=（2，2，0），=（﹣2，2，﹣4），=（0，2，4），‎ ‎∴•=﹣2×2+2×2+0×（﹣4）=0， •=0+4﹣4=0‎ ‎∴A1C⊥BD，A1C⊥DE．‎ 又DB∩DE=D，‎ ‎∴A1C⊥平面DBE．‎ ‎（Ⅱ）∵=（﹣2，2，﹣4），=（0，2，4），‎ ‎∴•=﹣2×0+2×2+（﹣4）×4=﹣12，||==2， ==2‎ ‎∴cos＜，＞===．‎ ‎　‎ ‎21．设函数f（x）=lnx﹣ax，a∈R．‎ ‎（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；‎ ‎（2）当0＜a＜时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；‎ ‎（3）当a=﹣1时，关于x的方程2mf（x）=x2（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f（x）在x=1处取得极值，则f'（1）=0，求出a的值，然后验证即可；‎ ‎（2）由a的范围，然后利用导数研究函数的单调性，从而求出函数f（x）在区间[1，2]的最大值；‎ ‎（3）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程2mf（x）=x2有唯一实数解，得到m所满足的方程，解方程求解m．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），所以f′（x）=﹣a=． …‎ 因为当x=1时，函数f（x）取得极值，所以f′（1）=1﹣a=0，所以a=1．‎ 经检验，a=1符合题意．（不检验不扣分） …‎ ‎（2）f′（x）=﹣a=，x＞0．‎ 令f′（x）=0得x=．‎ 因为0＜a＜，1≤x≤2，∴0＜ax＜1，∴1﹣ax＞0，∴f′（x）＞0，‎ ‎∴函数f（x）在[1，2]上是增函数，‎ ‎∴当x=2时，f（x）max=f（2）=ln2﹣2a．‎ ‎（3）因为方程2mf（x）=x2有唯一实数解，‎ 所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，‎ 设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，‎ 则g′（x）=，令g′（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．‎ 因为m＞0，x＞0，所以x1=＜0（舍去），x2=，‎ 当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减，‎ 当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增，‎ 当x=x2时，g（x）取最小值g（x2）． …‎ 则即 所以2mlnx2+mx2﹣m=0，因为m＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*），‎ 设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．‎ 因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，即=1，‎ 解得m=． …‎ ‎　‎ ‎22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是（t为参数）．‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）极坐标直接化为直角坐标，可求结果．‎ ‎（2）直线的参数方程化为直角坐标方程，求出M，转化为两点的距离来求最值．‎ ‎【解答】解：（1）曲C的极坐标方程可化为：ρ2=2ρsinθ，‎ 又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ．‎ 所以，曲C的直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0．‎ ‎（2）将直线L的参数方程化为直角坐标方程得：．‎ 令y=0得x=2即M点的坐标为（2，0）‎ 又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（0，1）‎ 半径，∴．‎ ‎　‎ ‎2016年12月16日