四川省成都外国语学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 含解析

四川省成都外国语学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 含解析

高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 四川省成都外国语学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( ) ‎ A. 11 B. ‎9 ‎C. 5 D. 3‎ 2. 点A（3，2，1）关于xOy平面的对称点为（　　）‎ A. B. 2, C. D. 2,‎ 3. 已知直线l经过点P（-2，5），且斜率为-，则直线l的方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 已知椭圆+=1（m＞0）的左焦点为F1（-4，0），则m=（　　）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 9‎ 5. 若，则cos2θ=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（-1，1），则该抛物线焦点坐标为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 正三棱柱ABC-A1B‎1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A-B1DC1的体积为（　　）‎ A. 3 B. C. 1 D. ‎ 8. 直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，则b=（　　）‎ A. 或12 B. 2或 C. 或 D. 2或12‎ 9. 已知双曲线-=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 曲线与直线y=k（x-2）+4有两个不同交点，实数k的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 11. 已知椭圆C：的焦距为，椭圆C与圆（x+）2+y2=16交于M，N两点，且|MN|=4，则椭圆C的方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 12. 已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则点B到抛物线的准线的距离为（　　）‎ A. 6 B. ‎5 ‎C. 4 D. 3‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为______‎ 14. 已知数列是递增的等比数列，，，则数列的前n项和等于______．‎ 15. 过点作斜率为的直线与椭圆C：相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于______．‎ 16. 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 如图，已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，F‎1F2=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在PF1上的切点为Q，若PQ=1，则双曲线的离心率是______ ． ‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 1. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值． ‎ 2. 在△ABC中，∠A=60°，c=a． （1）求sinC的值； （2）若a=7，求△ABC的面积． ‎ 3. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：-=1（m＞0，n＞0）经过点（，0），其中一条近线的方程为y=x，椭圆C2：+=1（a＞b＞0）与双曲线C1有相同的焦点．椭圆C2的左焦点，左顶点和上顶点分别为F，A，B，且点F到直线AB的距离为． （1）求双曲线C1的方程； （2）求椭圆C2的方程． ‎ 4. 已知点M（3，1），及圆（x-1）2+（y-2）2=4． （1）求过M点的圆的切线方程； （2）若过M点的直线与圆相交，截得的弦长为，求直线的方程． ‎ 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 1. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8． （1）求l的方程； （2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． ‎ 2. 已知椭圆的长轴长为4，焦距为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B． （ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，证明为定值； （ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．‎ ‎ ‎ 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由题意，双曲线E：=1中a=3． ∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上， ∴由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=6， ∴|PF2|=9． 故选：B． 确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论． 本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：点A（3，2，1）关于xOy平面的对称点为A′（3，2，-1）． 故选：D． 根据点A（a，b，c）关于xOy平面的对称点为A′（a，b，-c），写出即可． 本题考查了空间直角坐标系中点的对称问题，是基础题． 3.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了直线的点斜式方程，考查了点斜式和一般式的互化，是基础题． 直接弦长直线方程的点斜式，整理为一般式得答案． 【解答】 解：∵直线l经过点P（-2，5），且斜率为-， ∴直线l的点斜式方程为y-5=（x+2）， 整理得：3x+4y-14=0． 故选A． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．利用椭圆+=1（m＞0）的左焦点为F1（-4，0），可得25-m2=16，即可求出m． 【解答】 解：∵椭圆+=1（m＞0）的左焦点为F1（-4，0）， ∴25-m2=16， ∵m＞0， ∴m=3. 故选B． 5.【答案】D ‎ ‎【解析】解：∵， ∴cos2θ===． 故选：D． 由已知利用倍角公式及同角三角函数基本关系式化简求值． 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题． ‎ 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 ‎6.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 ​本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础． 利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（-1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标． 【解答】 解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（-1，1）， ∴，即 ∴该抛物线焦点坐标为（1，0）． 故选：B． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键． 由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积． 【解答】 解：∵正三棱柱ABC-A1B‎1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点， ∴底面B1DC1的面积：=， A到底面的距离就是底面正三角形的高：， 三棱锥A-B1DC1的体积为：=1， 故选C． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由圆x2+y2-2x-2y+1=0，化为标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1， ∴圆心坐标为（1，1），半径为1， ∵直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切， ∴圆心（1，1）到直线3x+4y-b=0的距离等于圆的半径， 即，解得：b=2或b=12． 故选：D． 化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值． 本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，即可得出结论． 【解答】 解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x， 设A（x，x）， 则∵四边形ABCD的面积为2b， ∴2x•bx=2b， ∴x=±1 将A（1，）代入x2+y2=4，可得1+=4， ‎ 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 ‎​∴b2=12， ∴双曲线的方程为-=1， 故选：D． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】解：与可化为x2+（y-1）2=4，y≥1， 所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分． 直线y=k（x-2）+4过定点p（2，4）， 由图知，当直线经过A（-2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个， ∵kAP═=，由直线与圆相切得d═=2，解得k=， 则实数k的取值范围为． 故选：D． 先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围． 本题考查直线与圆相交的性质，同时考查了学生数形结合的能力，是个基础题． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】解：圆（x+）2+y2=16的圆心为（-，0），半径为4，且c=， 由椭圆和圆都关于x轴对称，且|MN|=4， 可设y=2，代入圆的方程可得x=-±=或-3， 由‎2c＜4，可得M，N在第一、四象限， 可设M（，2），代入椭圆方程得+=1， 又c2=3=a2-b2， 解得a=3，b=， 则椭圆方程为+=1． 故选：D． 求得圆的圆心和半径，由椭圆和圆都关于x轴对称，且|MN|=4，可设y=2，代入圆的方程，求得x，结合条件可设M（，2），代入椭圆方程，可得a，b的方程，再由a，b，c的关系，解方程可得a，b的值，进而得到所求椭圆方程． 本题考查椭圆的方程和性质，以及圆的方程的运用，注意对称性的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 12.【答案】D ‎ ‎【解析】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=-2， 直线y=k（x+2）恒过定点P（-2，0） 如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N， 由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|， 点B为AP的中点、连接OB， 则|OB|=|AF|， ∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1， ∴|AM|=6， ∴点B到抛物线的准线的距离为xB+=1+2=3， 故选：D． 根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，可知|OB|=|AF|，推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，即可求得点B 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 到抛物线的准线的距离． 本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：如图所示： 在正方体体ABCD-A1B‎1C1D1中，连接BE， 所以异面直线AE与CD所成角，即为AE和AB所成的角． 设正方体的棱长为2，由于AB⊥平面BCE， 所以△ABE为直角三角形． 所以， 所以． 故答案为： 直接利用异面直线的平移的应用和解三角形知识的应用求出结果． 本题考查的知识要点：异面直线的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 14.【答案】2n-1 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查等比数列的性质，数列{an}的前n项和求法，是基本知识的考查． 利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列{an}的前n项和． 【解答】 解：数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a‎2a3=8， 可得a‎1a4=8，解得a1=1，a4=8， ∴8=1×q3，q=2， 数列{an}的前n项和为：=2n-1． 故答案为：2n-1． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为-，即可求出椭圆C的离心率． 本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键． 【解答】 ​解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②， ∵M是线段AB的中点， ∴=1，=1， ∵直线AB的方程是y=-（x-1）+1， ∴y1-y2=-（x1-x2）， ∵过点M（1，1）作斜率为-的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点， ‎ 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 ‎∴①②两式相减可得，即， ∴a=b， ∴=b， ∴e==． 故答案为：． 16.【答案】2 ‎ ‎【解析】解：如图记AF1、AF2与△APF1的内切圆相切于N、M； 则AN=AM，PM=PQ，NF1=QF1，AF1=AF2； 则NF1=AF1-AN=AF2-AM=MF2； 则QF1=MF2； 则PF1-PF2=（QF1+PQ）-（MF2-PM） =QF1+PQ-MF2+PM =PQ+PM=2PQ=2， 即‎2a=2，则a=1． 由F‎1F2=4=‎2c得，c=2； 则e===2． 故答案为：2． 由圆锥曲线的定义及图中的相等关系推出a，从而求出离心率． 本题考查了学生的作图能力及识图能力，要从图中找到等量关系从而求出a，属于难题． 17.【答案】解：（1）∵等差数列{an}中，a1=-7，S3=-15， ∴a1=-7，‎3a1+3d=-15，解得a1=-7，d=2， ∴an=-7+2（n-1）=2n-9； （2）∵a1=-7，d=2，an=2n-9， ∴Sn===n2-8n=（n-4）2-16， ∴当n=4时，前n项的和Sn取得最小值为-16． ‎ ‎【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，属于基础题． （1）根据a1=-7，S3=-15，可得a1=-7，‎3a1+3d=-15，求出等差数列{an}的公差，然后求出an即可； （2）由a1=-7，d=2，an=2n-9，得Sn===n2-8n=（n-4）2-16，由此可求出Sn以及Sn的最小值． 18.【答案】解：（1）∠A=60°，c=a， 由正弦定理可得sinC=sinA=×=； （2）a=7，则c=3， ∴C＜A， ∵sin‎2C+cos‎2C=1，又由（1）可得cosC=， ∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC =×+×=， ∴S△ABC=acsinB=×7×3×=6． ‎ ‎【解析】本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题． （1）根据正弦定理即可求出答案； （2）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可． ‎ 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 ‎19.【答案】解：（1）双曲线C1：-=1（m＞0，n＞0）经过点（，0）， 可得m2=3， 其中一条近线的方程为y=x，可得=， 解得m=，n=1， 即有双曲线C1的方程为-y2=1； （2）椭圆C2：+=1（a＞b＞0）与双曲线C1有相同的焦点， 可得a2-b2=4，① 椭圆C2的左焦点，左顶点和上顶点分别为F（-2，0），A（-a，0），B（0，b）， 由点F到直线AB：bx-ay+ab=0的距离为，可得 =，化为a2+b2=7（a-2）2，② 由①②解得a=4，b=2， 则椭圆C2的方程为+=1． ‎ ‎【解析】（1）由双曲线经过点（，0），可得m；再由渐近线方程可得m，n的方程，求得n，即可得到所求双曲线的方程； （2）由椭圆的a，b，c的关系式，求得F，A，B的坐标，可得直线AB的方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系式，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程． 本题考查椭圆和双曲线的方程的求法，注意运用方程思想，考查运算能力，属于基础题． 20.【答案】解：（1）根据题意，当直线的斜率存在时，设过M的切线方程为：y=k（x-3）+1，即kx-y-3k+1=0 圆心到直线的距离， 所以方程为3x-4y-5=0， 当直线斜率不存在时：x=3与圆相切 综上：过M的切线方程为3x-4y-5=0或x=3 （2）根据题意，若过M点的直线与圆相交，所得的弦长为，圆半径为2， 所以圆心到直线的距离d==1 则有， 所求直线方程为：y=1或4x+3y-15=0 ‎ ‎【解析】（1）根据题意，分两种情况讨论直线的斜率，利用直线与圆的位置关系分析，求出直线的方程，综合即可得答案； （2）根据题意，由直线与圆的位置关系可得圆心到直线的距离，进而计算可得k的值，代入直线的方程即可得答案． 本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，属于基础题． 21.【答案】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0）， 设直线AB的方程为：y=k（x-1），设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则，整理得：k2x2-2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1， 由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1， ∴直线l的方程y=x-1； 方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的焦点弦公式|AB|===8，解得：sin2θ=， ∴θ=，则直线的斜率k=1， ∴直线l的方程y=x-1； （2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3），即y=-x+5， 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0‎ 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 ‎），则， 解得：或， 因此，所求圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144． ‎ ‎【解析】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想，属于中档题． （1）方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程； 方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|=，求得直线AB的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l的方程； （2）设圆心坐标为（x0，y0），根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程． 22.【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c．由题意知， 所以．所以椭圆C的方程为． （Ⅱ）证明：（ⅰ）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）， 由M（0，m），可得P（x0，‎2m），Q（x0，‎-2m）． 所以直线PM的斜率k1==，直线QM的斜率k2==-， 此时=-3．所以为定值-3． （ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线PA的方程为y=kx+m， 直线QB的方程为y=-3kx+m． 联立 整理得（2k2+1）x2+4mkx+‎2m2‎-4=0． 由，可得， 所以．同理． 所以， ， 所以．由m＞0，x0＞0，可知k＞0， 所以，等号当且仅当时取得， 此时，即， 所以直线AB 的斜率的最小值为． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）结合题意分别求出a，c的值，再求出b的值，求出椭圆方程即可； （Ⅱ）（i）设出P的坐标，表示出直线PM，QM的斜率，作比即可； （ii）设出A，B的坐标，分别求出PA，QB的方程，联立方程组，求出直线AB的斜率的解析式，根据不等式的性质计算即可． 本题考查了椭圆的方程问题，考查直线的斜率以及椭圆的性质，考查函数求最值问题，是一道综合题． ‎ 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com