2017-2018学年广西南宁市第三中学、柳州铁一中学高二上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年广西南宁市第三中学、柳州铁一中学高二上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年广西南宁市第三中学、柳州铁一中学高二上学期第三次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知等差数列的公差为2，且，则（ ）‎ A. 12 B. 13 C. 14 D. 15‎ ‎【答案】C ‎【解析】由等差数列的通项公式可知： ，‎ 结合题意可得： ，‎ 求解关于实数n的方程可得： .‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．‎ ‎(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．‎ ‎2．已知集合， ，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为且是的充分不必要条件，所以 ，故选A. ‎ 点睛：集合与充分必要条件是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．‎ ‎3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，根据偶函数的定义知， 不是偶函数， 是偶函数，在区间上是增函数， 是偶函数，在区间上不是单调函数 ， 是偶函数，且在区间上是增函数，故选D. ‎ ‎4．向量满足，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意结合向量的运算法则可得：‎ 据此有： ，‎ 设两向量的夹角为，则： ，‎ 即与的夹角为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎5．以下茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位:分）‎ 甲组 乙组 ‎9‎ ‎0‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎4‎ 已知甲组数据的中位数为,乙组数据的平均数为,则的值分别为（ ）‎ A. 2，5 B. 5，5 C. 5，8 D. 8，8‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为甲组数据的中位数为，所以，因为乙组数据的平均数为，所以由得 ，故选C.‎ ‎6．已知角的终边过点，且，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为角的终边过点，所以 ， ，解得，故选A.‎ ‎7．已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则的面积为( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线的焦点坐标为,准线方程为，因为抛物线上的一点P到焦点的距离为5，由抛物线定义可知，点P到准线 的距离是5.‎ 则点P到x轴的距离是4，所以的面积为，故选B. ‎ ‎8．已知实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数等于（　　）‎ A. ﹣4 B. ﹣2 C. 0 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由目标函数，得，如图所示，当直线 过点B时， 最小，把B 代入，解得 ，故选C.‎ 点睛：线性规划问题，涉及到可行域中有参数问题，综合性要求较高．解决此类问题时，首先做出可行域，然后结合参数的几何意义进行分类讨论，本题中显然直线越上移越小，结合可行域显然最小值在B点取得，从而求出．‎ ‎9．已知，若，则直线的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析： 关于对称, 直线 的斜率,其倾斜角为,故选D.‎ ‎【考点】1.三角函数的对称性；2.直线的斜率与倾斜角.‎ ‎10．某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图知该几何体为棱锥,其中平面ABCD,‎ 此三棱锥的体积.故选A . ‎ ‎11．已知点分别为椭圆与双曲线的公共焦点， 分别是和的离心率，若是和在第一象限内交点， ,则 的值可能在下列哪个区间（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，如图：‎ 则，可得： ，即，由重要不等式知 ，所以，故选A. ‎ ‎12．若实数满足，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】实数 满足，且，则 ‎ ‎，当且仅当，即时等号成立. 故选D.‎ 点睛：本题是均值不等式的灵活运用问题，解决此类问题，需要观察条件和结论，结合二者构造新的式子，对待求式子进行变形，方能形成使用均值不等式的条件，本题注意到，‎ 所以把条件构造为，从而解决问题.‎ 二、填空题 ‎13．曲线在点处的切线方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】， ， 切线方程为 ，即.‎ ‎14．设正四面体的棱长为，则它的外接球的体积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】正四面体补成为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，正四面体的棱长为，即正方体面上的对角线长为，所以正方体棱长为1，对角线长为 ，所以球的体积为： ,故填.‎ ‎15．直线与双曲线交于两点，则的中点坐标为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，中点， 则，两式相减，化简得： ，又中点在直线上，所以，联立解得： ，故填. ‎ 点睛：直线与圆锥曲线相交时，如果涉及相交线段的中点及直线的斜率，可考虑运用点差法求解，点差法就是把交点坐标代入圆锥曲线方程，两方程作差，变形处理后即可得到直线斜率与线段中点的关系式.‎ ‎16．已知椭圆方程为，M是椭圆上一动点， 和是左、右两焦点，由向的外角平分线作垂线，垂足为N，则N点的轨迹方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，‎ 设交于点P，由已知可得： , ‎ ‎,点为线段的中点.‎ 连接，则为的中位线， ， ，‎ ‎，即N点的轨迹方程为 三、解答题 ‎17．已知数列是递增的等比数列，且 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等比数列 的公比为q，，根据已知由等比数列的性质可得，联立解方程再由数列为递增数列可得则通项公式可得 ‎（2）根据等比数列的求和公式，有所以，裂项求和即可 试题解析：（1）设等比数列的公比为q，所以有 联立两式可得或者又因为数列为递增数列，所以q>1，所以 数列的通项公式为 ‎（2）根据等比数列的求和公式，有 所以 所以 ‎【考点】等比数列的通项公式和性质，数列求和 ‎18．在中，角的对边分别为，已知向量， ，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若点为上一点，且满足，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据数量积的定义得，由正弦定理得，即可求出；（2）利用向量的几何意义和向量的模的计算以及余弦定理和三角形的面积公式即可求出.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，得，‎ 由正弦定理可得，∴，‎ ‎∵，∴，∵，∴‎ ‎（2）∵，∴，‎ 又，两边平方： ①‎ ‎∵②，由①②可得 ‎∴.‎ 点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.‎ ‎19．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图：‎ ‎ ‎ ‎（1）求图中a的值；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；‎ ‎（3）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？‎ ‎【答案】(1) a=0.005（2）74.5（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由频率分布图中小矩形面积和为1，能求出a的值 （2）由频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表即可估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分． （Ⅲ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，则第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人，由此利用对立事件概率计算公式能求出从中随机抽取2名，第4组的至少有一位同学入选的概率．‎ 试题解析：（1）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．‎ ‎（2）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，‎ ‎[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5‎ ‎（3）由直方图，得：‎ 第3组人数为0.3×100=30。‎ 第4组人数为0.2×100=20人，‎ 第5组人数为0.1×100=10人．‎ 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，‎ 每组分别为：‎ 第3组：人，‎ 第4组：人，‎ 第5组： =1人．‎ 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．…‎ 设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：‎ ‎（A1，A2），（A1，A3），（B1，B2），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2‎ ‎），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），‎ 其中恰有1人的分数不低于90（分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种．…‎ 所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为 ‎ ‎20．已知直线与双曲线有两个不同的交点，求双曲线离心率的范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：直线方程与双曲线方程联立，消去 并整理得关于的方程，因为有两个不同交点，利用判别式确定的范围，即可求出离心率的范围. ‎ 试题解析：‎ 联立消去得，由于直线与双曲线有两个不同的交点，则且，解得或 ‎ ‎， ‎ ‎21．如图，在四棱锥中，直线平面，.‎ ‎（1）求证：直线平面.‎ ‎（2）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）证明线面垂直，一般多次利用线面垂直判定定理及性质定理，经多次线线垂直与线面垂直的转化进行论证：在线线垂直论证与寻找时，要注意利用平面几何的条件，如本题就利用两三角形相似，得到，再根据线面垂直性质定理将条件平面转化为线线垂直：，最后根据线面垂直判定定理得平面（2）线面角找射影，由（1）知直线在平面上射影为（为与交点），则是直线与平面所成的角，二面角的作法，往往结合三垂线定理：作于，由，知平面，∴，∴是二面角的平面角，最后结合对应三角形求角的三角函数值.本题也可建立空间直角坐标系进行论证、求解.‎ 试题解析：‎ 法一：（1）‎ 取中点，连接，则，‎ ‎∴四边形是平行四边形，∴.‎ ‎∵直角和直角中，，∴直角直角，易知，‎ ‎∴‎ 又∵平面，∴‎ 而，∴平面，得证 ‎（2）由，知，∵，∴，‎ 设交于，连接，则是直线与平面所成的角，‎ ‎，∴，而故 作于，由，知平面，∴，∴是二面角的平面角 ‎∵，∴，而，‎ ‎∴，∴，∴，即二面角的平面角的余弦值为 法二：‎ ‎（1）∵平面，∴，又∵，故可建立如图所示坐标系 由已知，∴，∴‎ ‎∴，∴平面 ‎（2）由（1），平面的一个法向量是，‎ 设直线与平面所成的角为，∴，，‎ ‎∵，∴，即 设平面的一个法向量为，‎ 由，∴，令，则 ‎∴‎ 显然二面角的平面角是锐角，‎ ‎∴二面角的平面角的余弦值为 ‎【考点】线面垂直判定定理及性质定理，线面角与二面角 ‎【方法点睛】1.利用数量积解决问题的两条途径 ：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．‎ ‎2．利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题．‎ ‎（1）a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；‎ ‎（2）|a|＝；‎ ‎（3）cos〈a，b〉＝.‎ ‎22． (本小题满分13分) ‎ ‎ 设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离为坐标原点.‎ ‎ （I）求椭圆的方程；‎ ‎ （II）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点，证明点到直 线的距离为定值，并求弦长度的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由 由右焦点到直线的距离为 得： 解得 所以椭圆C的方程为 …………4分 ‎ （Ⅱ）设，‎ 直线AB的方程为 与椭圆联立消去y得 即 ‎ 整理得 所以O到直线AB的距离 ‎ …………8分 ‎， 当且仅当OA=OB时取“=”号。‎ 由 即弦AB的长度的最小值是 …………13分