数学理卷·2017届山东省德州一中等齐鲁教科研协作体、湖北省部分重点中学高三下学期高考冲刺模拟（二）（2017

数学理卷·2017届山东省德州一中等齐鲁教科研协作体、湖北省部分重点中学高三下学期高考冲刺模拟（二）（2017

齐鲁名校教科研协作体 山东省部分重点中学2017年高考冲刺模拟（二）‎ 数学（理）试题 命题学校：德州一中命题人：孟凡志 马英 第Ⅰ卷 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分 注意事项：‎ 1． 答第Ⅰ卷前，考生需将自已的姓名、考号、科目、试卷类型涂写在答题卡上。‎ 2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干静，再选涂其他选项 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．‎ ‎1．（原创，容易）复数z满足z（2+i）=1+3i，则复数z在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解答】解：由z（2+i）=1+3i，‎ 得，‎ 则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（1，1），位于第一象限．‎ 故选：A．‎ ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎2．（原创，容易）已知集合，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B为（　　）‎ A． B．‎ ‎【答案】B ‎【解答】解：∵集合={x|﹣2≤x＜2}，B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，‎ ‎∴A∩B={x|1≤x＜2}= C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解答】解：不等式表示的区域如图所示，三个交点坐标分别为（0，1），（，3），（2，0）‎ 目标函数z=3|x|+|y﹣3|=3x﹣y+3，即y=﹣3x+z﹣3，‎ ‎∴目标函数过（2，0）时，取得最大值为9，过（，3）时，取得最小值为 ‎∴目标函数z=3|x|+|y﹣3|的取值范围是 故选A．‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．考查数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题 ‎6．（选编，容易）已知直线平面，直线平面，下面四个结论：①若，则；②若，则；③若则；④若，则，其中正确的是（　　）‎ A．①②④ B．③④ C．②③ D．①④‎ ‎【答案】：D．‎ ‎【解答】解：由直线平面，直线平面，知：‎ 在①中，若，则由线面垂直的性质定理得，故①正确；‎ 在②中，若，则与平行或异面，故②错误；‎ 在③中，若，则与不一定垂直，故③错误；‎ 在④中，若，则由线面平行的判定定理得，故④正确．‎ 故选：D．‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．‎ ‎7．（选编，容易）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】：B ‎【解答】解：由题意可知A=2，T=4（﹣）=π，ω=2，‎ 因为：当x=时取得最大值2，‎ 所以：2=2sin（2×+φ），‎ 所以：2×+φ=2kπ+，k∈Z，解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，‎ 因为：|φ|＜，‎ 所以：可得φ=﹣，可得函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x﹣）．‎ 故选：B．‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎8．（选编，中档）已知f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，规定：当|f（x）|≥g（x）时，h（x）=|f（x）|；当|f（x）|＜g（x）时，h（x）=﹣g（x），则h（x）（　　）‎ A．有最小值﹣1，最大值1 B．有最大值1，无最小值C．有最小值﹣1，无最大值 D．有最大值﹣1，无最小值 ‎【答案】：C ‎【解答】解：画出y=|f（x）|=|2x﹣1|与y=g（x）=1﹣x2的图象，‎ 它们交于A、B两点．由“规定”，在A、B两侧，|f（x）|≥g（x）故h（x）=|f（x）|；‎ 在A、B之间，|f（x）|＜g（x），故h（x）=﹣g（x）．‎ 综上可知，y=h（x）的图象是图中的实线部分，‎ 因此h（x）有最小值﹣1，无最大值．‎ 故选C．‎ ‎【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法。考查分段函数的解析式及其图象的性质，利用了数形结合的方法，是一道中档题；‎ ‎9、（改编，较难）已知关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根分别为一个椭圆，一个抛物线，一个双曲线的离心率，则的取值范围（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【解答】C ‎【解答】解：令f（x）=x3+ax2+bx+c ‎∵抛物线的离心率为1，∴1是方程f（x）=x3+ax2+bx+c=0的一个实根∴a+b+c=﹣1‎ ‎∴c=﹣1﹣a﹣b代入f（x）=x3+ax2+bx+c，‎ 可得f（x）=x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b=（x﹣1）（x2+x+1）+a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）=（x﹣‎ ‎1）‎ 设g（x）=x2+（a+1）x+1+a+b，则g（x）=0的两根满足0＜x1＜1，x2＞1‎ ‎∴g（0）=1+a+b＞0，g（1）=3+2a+b＜0‎ 作出可行域，如图所示的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率，∴‎ 故答案为：C ‎【考点】抛物线的简单性质；函数的零点与方程根的关系．‎ ‎10．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】：B ‎【解答】解：根据题意，可知在区间上单增，且是奇函数；‎ 由函数有两个零点，‎ 等价于方程在区间上有两个零点，‎ 令，则满足，得.‎ 故选：B．‎ ‎【考点】本题考查二次函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是判断的单调性和奇偶性．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题,每题5分,共25分 ‎11．（改编，中档）执行如图所示的程序框图，输出的S值为　　．‎ 开始 结束 输出S 否 是 是 否 ‎【答案】﹣6‎ ‎【解答】解：该程序从i=1开始，直到i=4结束输出S的值，循环体被执行了3次 ‎①i=1，满足i＜4，由于i是奇数，用S﹣i2代替S，得S=﹣1，用i+1代替i，进入下一步；‎ ‎②i=2，满足i＜4，由于i是偶数，用S+i2代替S，得S=3，用i+1代替i，进入下一步；‎ ‎③i=3，满足i＜4，由于i是奇数，用S﹣i2代替S，得S=﹣6，用i+1代替i，进入下一步；‎ ‎④i=4，不满足i＜4，结束循环体，并输出最后一个S值 故答案为：﹣6‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎12．（选编，容易）在的展开式中常数项的系数是60，则a的值为　2　．‎ ‎【答案】2．‎ ‎【解答】解：Tr+1==ar，令3﹣=0，解得r=2．‎ ‎∴=60，a＞0，解得a=2．‎ 故答案为： 2．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎13、（改编，中档）已知直线过圆的圆心，则的最小值为。‎ ‎【答案】：4‎ ‎【解答】解：圆心为，则代入直线得：，即，则有，（当且仅当时取等号）‎ 故答案填：4‎ ‎【考点】：不等式 ‎14．（选编，中档）如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为。‎ ‎【答案】‎ ‎【解答】，===‎ ‎【考点】几何概型与定积分 ‎15.（选编，难）设函数，则满足的的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解答】若，显然成立.则有或，解得，‎ 若，由，可知，所以，得 故答案是或 ‎【考点】函数迭代的求解及常用方法，利用好数形结合、分类讨论的思想是解答本题的关键．‎ 三．解答题（共6小题共75分，）‎ ‎16．(改编，中档)（本题12分）已知向量，，f（x）=．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期及f（x）的最大值；‎ ‎（2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=1，a=2，求三角形ABC面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）易得，则f（x）==﹣cos2x+sin2x ‎=sin（2x﹣）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 ‎∴f（x）的最小正周期T==π，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 当时，即，f（x）取最大值是．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 ‎（2）∵f（）=sin（A﹣）+=1，∴sin（A﹣）=，∴A=．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分 ‎∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴12=b2+c2﹣bc，∴b2+c2=12+bc≥2bc，∴bc≤12．(当且仅当b=c时等号成立)┅┅┅10分 ‎∴S==bc≤3．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分 ‎∴当三角形ABC为等边三解形时面积的取最大值是3．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象，解三角形 ‎17．(选编，中档题)集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．‎ ‎（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；‎ ‎（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=．‎ 依题意，集成电路E需要维修有两种情形：‎ ① ‎3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（）=P（）P（）P（）=××=．┅┅┅2分 ‎②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A）+P（B）+P（C）┅┅┅4分 ‎=++×=．‎ 所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 ‎（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分 而X=100ξ，P（X=100ξ）=P（ξ=k）=••，k=0，1，2．‎ X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎100‎ ‎200‎ P ‎┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分 ‎∴EX=0×+100×+200×=．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 ‎【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎　‎ ‎18．（选编，中档题）（本小题满分12分）‎ 圆O上两点C，D在直径AB的两侧（如图甲），沿直径AB将圆O折起形成一个二面角（如图乙），若∠DOB的平分线交弧于点G，交弦BD于点E，F为线段BC的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面OGF∥平面CAD；（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为直二面角，且AB=2，∠CAB=45°，∠DAB=60°，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值．‎ ‎【解答】证明：‎ ‎（Ⅰ）∵OF为△ABC的一条中位线，∴OF∥AC，又OF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴OF∥平面ACD．‎ 又∵OG为∠DOB的平分线，∴OG⊥BD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，‎ ‎∴OG∥AD，又OG⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴OG∥平面ACD，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 又∵OG，OF为平面OGF内的两条相交直线，‎ ‎∴平面OGF∥平面CAD．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分 ‎（Ⅱ）∵O为AB的中点，∴CO⊥AB，∵平面CAB⊥平面DAB，平面CAB∩平面DAB=AB，OC⊂平面ABC，‎ ‎∴CO⊥平面DAB，又Rt△DAB中，AB=2，∠DAB=60°，∴AD=1，又OG∥AD，OG=1，OA=1，‎ ‎∴四边形ADGO为菱形，∠AOG=120°，设DG中点为M，则∠AOM=90°，即OM⊥OB，‎ ‎∴直线OM，OB，OC两两垂直，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分 以O为原点，以OM，OB，OC为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．‎ 则B（0，1，0），C（0，0，1），D（，，G（，，F（0，，）．‎ ‎∴=（，，=（0，﹣1，1），=（，﹣，0）．‎ 设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，‎ ‎∴，令y=1，=（，1，1）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分 ‎∴=1，||=1， =．‎ ‎∴=．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分 ‎∴直线FG与平面BCD所成角的正弦值为．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 ‎【考点】直线与平面所成的角；平面与平面平行的判定．空间角的计算，空间向量在立体几何中的应用．‎ ‎19、（原创，中档题）（本小题满分12分）‎ 已知在数列中，，其前项和为，且 （1） 证明是等差数列，并求数列的前项和 （2） 若求数列的前项和 ‎【解答】（1）当时，化简得即，又 所以数列为以1为首项，2为公差的等差数列，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 ‎，则==┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 ‎（2）由（1）得所以，‎ ‎┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分 所以 ‎，①‎ ‎，②‎ ① ‎②得，=‎ ‎┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 ‎【考点】数列的概念、通项公式及数列求和 ‎20．已知函数，对任意实数，都有成立.‎ ‎（Ⅰ）对任意实数，函数恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求证：，.‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）解：，即得┅┅┅┅┅┅1分 ‎，┅┅┅┅┅┅2分 当时，因为，所以，在上单调递减，‎ 此时与不符，（舍）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 当时，令，‎ 若即时，，，在上单调递增.‎ 成立┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 若即时，设的零点为，‎ 则，. 所以有.‎ 则当时，，，在上单调递减，‎ 与不符，（舍）. ┅┅┅┅┅┅┅┅5分 综上：实数的取值范围是.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅱ）知，当时，恒成立.‎ 即，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分 令 则有，即┅┅┅┅┅┅10分 所以 迭加有┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 所以 故成立. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13分 ‎【考点】函数零点，利用导数研究函数不等式恒成立问题，‎ ‎21.（选编，较难）（本小题满分14分）‎ 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点在椭圆C上，满足.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）直线过点，且与椭圆只有一个公共点，直线与的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点的两点，‎ 与直线交于点（介于两点之间）.‎ ‎(ⅰ)求证：；‎ ‎(ⅱ)是否存在直线，使得直线、、、的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出的方程；若不能，请说明理由.‎ 解：（Ⅰ）设，则=，‎ 所以. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分 因为=4，所以. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 ‎┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 故椭圆C的标准方程为. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 ‎（Ⅱ）(ⅰ)设方程为，与联立，消得 由题意知，解得.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分 因为直线与的倾斜角互补，所以的斜率是.‎ 设直线方程：，，‎ 联立，整理得，‎ 由，得，‎ ‎，；‎ ‎┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 直线、的斜率之和 ‎┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分 所以关于直线对称，即，‎ 在和中，由正弦定理得 ‎，，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分 又因为，‎ 所以 故成立. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分 ‎(ⅱ)由(ⅰ)知，，，. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分 假设存在直线，满足题意.不妨设，，‎ 若按某种排序构成等比数列，设公比为，则或或.‎ 所以，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13分 则，此时直线与平行或重合，与题意不符，‎ 故不存在直线，满足题意. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅14分 ‎【考点】椭圆的简单性质．椭圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和点满足椭圆方程，考查存在性问题的解法，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和斜率公式，考查正弦定理的运用，考查化简整理的运算能力.‎