数学文·山东省聊城市2017届高三上学期期末数学试卷（文科）+Word版含解析

数学文·山东省聊城市2017届高三上学期期末数学试卷（文科）+Word版含解析

‎2016-2017学年山东省聊城市高三（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={0，1，3}，B={1，2，5}，则（∁UA）∩B=（　　）‎ A．{2，4，5} B．{1，2，4，5} C．{2，5} D．{0，2，3，4，5}‎ ‎2．已知i为虚数单位，复数z满足，则z=（　　）‎ A．1+i B．1﹣i C． D．‎ ‎3．某市教育局随机调查了300名高中学生周末的学习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中学习时间的范围是[0，30]，样本数据分组为，[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30]，根据直方图，这300名高中生周末的学习时间不少于15小时的人数是（　　）‎ A．27 B．33 C．135 D．165‎ ‎4．设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（　　）‎ A． B． C．0 D．2‎ ‎5．一个由圆柱和正四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．4π+4 B． C．2π+4 D．‎ ‎6．已知α，β是相交平面，直线l⊂平面α，则“l⊥β”是“α⊥β”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．已知直线x﹣y+2=0与圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4（圆心为C）交于点A，B，则∠ACB的大小为（　　）‎ A．30° B．60° C．90° D．120°‎ ‎8．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＜0时xf'（x）+f（x）＜0，记a=3f（3），b=f（sin1）sin1，c=﹣2，则a，b，c的大小关系式（　　）‎ A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c ‎9．已知函数，若两函数的图象有且只有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2） B．‎ C． D．‎ ‎10．已知△ABC的三边长a，b，c成递减的等差数列，若，则cosA﹣cosC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11．执行如图所示的程序框图，若S0=2，则程序运行后输出的n的值为　　．‎ ‎12．已知向量的夹角为60°，，则在上的投影为　　．‎ ‎13．已知离心率为2的双曲线的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若，则p的值为　　．‎ ‎14．一海豚在水池中（不考虑水的深度）自由游戏，已知水池的长为30m，宽为20m，则海豚嘴尖离池边超过4m的概率为　　．‎ ‎15．已知函数，若方程f（x）=t恰有3个不同的实数根，则实数t的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎16．已知函数的最小正周期为π．‎ ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．‎ ‎17．元旦前夕，某校高三某班举行庆祝晚会，人人准备了才艺，由于时间限制不能全部展示，于是找四张红色纸片和四张绿色纸片上分别写1，2，3，4，确定由谁展示才艺的规则如下：‎ ‎①每个人先分别抽取红色纸片和绿色纸片各一次，并将上面的数字相加的和记为X；‎ ‎②当X≤3或X≥6时，即有资格展现才艺；当3＜X＜6时，即被迫放弃展示．‎ ‎（1）请你写出红绿纸片所有可能的组合（例如（红2，绿3），（红3，绿2））；‎ ‎（2）求甲同学能取得展示才艺资格的概率．‎ ‎18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分别是AA1，BC的中点，∠CDC1=90°，在△ABC中，AB=2AC，∠BAC=60°．‎ ‎（1）证明：AM∥平面BDC1；‎ ‎（2）证明：DC1⊥平面BDC．‎ ‎19．在等差数列{an}中，d＞0，若a1+a4+a7=12，a1a4a7=28，数列{bn}是等比数列，b1=16，a2b2=4．‎ ‎（1）求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）令，求{cn}的前n项和Tn．‎ ‎20．已知函数f（x）=ex﹣aex（a∈R，e是自然对数的底数）．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）当x∈R时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎21．已知椭圆的离心率为，它的一个焦点到短轴顶点的距离为2，动直线l：y=kx+m交椭圆E于A、B两点，设直线OA、OB的斜率都存在，且．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）求证：2m2=4k2+3；‎ ‎（3）求|AB|的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省聊城市高三（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={0，1，3}，B={1，2，5}，则（∁UA）∩B=（　　）‎ A．{2，4，5} B．{1，2，4，5} C．{2，5} D．{0，2，3，4，5}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】根据补集与交集的定义，写出对应的运算结果即可．‎ ‎【解答】解：U={0，1，2，3，4，5}，A={0，1，3}，B={1，2，5}，‎ 则∁UA={2，4，5}；‎ 所以（∁UA）∩B={2，5}．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．已知i为虚数单位，复数z满足，则z=（　　）‎ A．1+i B．1﹣i C． D．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得，再由共轭复数的概念得答案．‎ ‎【解答】解：由，得，‎ ‎∴z=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．某市教育局随机调查了300名高中学生周末的学习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中学习时间的范围是[0，30]，样本数据分组为，[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30]‎ ‎，根据直方图，这300名高中生周末的学习时间不少于15小时的人数是（　　）‎ A．27 B．33 C．135 D．165‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】先由频率分布直方图计算出学习时间不少于15小时的频率，进而可得学习时间不少于15小时的人数．‎ ‎【解答】解：学习时间不少于15小时的频率为（0.045+0.03+0.015）×5=0.45，‎ 故这300名高中生周末的学习时间不少于15小时的人数是300×0.45=135，‎ 故选：C ‎　‎ ‎4．设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（　　）‎ A． B． C．0 D．2‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．‎ ‎【解答】解：变量x，y满足约束条件，满足的可行域如图：‎ 则的几何意义是可行域内的点与（﹣1，0）连线的斜率，‎ 经过A时，目标函数取得最大值．‎ 由，可得A（，），‎ 则的最大值是： =．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．一个由圆柱和正四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．4π+4 B． C．2π+4 D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】由已知可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥和圆柱的组合体，代入锥体和柱体体积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥和圆柱的组合体，‎ 四棱锥的底面面积为：2×2=4，高为1，故体积为：，‎ 圆柱的底面半径为1，高为2，故体积为：2π，‎ 故组合体的体积V=，‎ 故选：D ‎　‎ ‎6．已知α，β是相交平面，直线l⊂平面α，则“l⊥β”是“α⊥β”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】α，β是相交平面，直线l⊂平面α，则“l⊥β”⇒“α⊥β”，反之也成立．即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：α，β是相交平面，直线l⊂平面α，则“l⊥β”⇒“α⊥β”，反之也成立．‎ ‎∴“l⊥β”是“α⊥β”的充要条件．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．已知直线x﹣y+2=0与圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4（圆心为C）交于点A，B，则∠ACB的大小为（　　）‎ A．30° B．60° C．90° D．120°‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】求出圆心到直线的距离，利用三角函数，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==，‎ 圆的半径为2，∴cos∠ACB=，∴∠ACB=90°，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＜0时xf'（x）+f（x）＜0，记a=3f（3），b=f（sin1）sin1，c=﹣2，则a，b，c的大小关系式（　　）‎ A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】令g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）．由于当x＜0时xf'（x）+f（x）＜0，可得函数g（x）单调递增．即可得出．‎ ‎【解答】解：令g（x）=xf（x），g（x）为偶函数，则g′（x）=f（x）+xf′（x）．‎ ‎∵当x＜0时xf'（x）+f（x）＜0，‎ ‎∴当x＜0时，函数g（x）单调递减．‎ ‎∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，‎ ‎∴函数g（x）为R+的单调递增函数，‎ ‎∴a=3f（3）=g（3），b=sin1•f（sin1）=g（sin1）‎ c=﹣2=g（﹣2）=g（2），‎ ‎∴g（3）＞g（﹣2）＞g（sin1），‎ ‎∴a＞c＞b．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数，若两函数的图象有且只有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2） B．‎ C． D．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象．‎ ‎【分析】首先根据函数的表达式画出函数的图象，从而根据图象判断函数与直线的公共点的情况，最后结合两曲线相切与方程有唯一解的关系即可求得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：画出函数和y=|x﹣a|的图象，‎ ‎（如图）‎ 由图可知，当且仅当直线y=a﹣x与函数y=的图象相切时，有2解，∴此时a＞2，‎ x＜a，y=a﹣x代入y=，可得：‎ x2+（1﹣a）x+2=0，‎ ‎△=（1﹣a）2﹣8=0，解得a=1+2，要有3个交点，可得a＞1+2，‎ 函数y=和y=|x﹣a|的图象有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是a＜﹣2．‎ 综上a．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．已知△ABC的三边长a，b，c成递减的等差数列，若，则cosA﹣cosC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值；余弦定理．‎ ‎【分析】三边a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，利用正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=，设cosA﹣cosC=m，平方相加即可得出．‎ ‎【解答】解：∵三边a，b，c成等差数列，‎ ‎∴2b=a+c，‎ 利用正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC，‎ ‎∴sinA+sinC=2sin=，‎ 设cosA﹣cosC=m，‎ 则平方相加可得：2﹣2cos（A+C）=2+m2，‎ ‎∴m2=2cosB=，‎ 解得m=±．‎ ‎∵a，b，c成递减的等差数列，‎ ‎∴m=﹣．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11．执行如图所示的程序框图，若S0=2，则程序运行后输出的n的值为　4　．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】S0=2，Sn←3Sn﹣1+1，Sn≥202时，输出n．‎ ‎【解答】解：n=1时，S←3×2+1；n=2时，S←3×7+1；n=3时，S←3×22+1；n=4时，S←3×67+1=202，‎ 因此输出n=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎12．已知向量的夹角为60°，，则在上的投影为　1　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据平面向量数量积的定义，得到向量在向量方向上的投影为||cos＜，＞，计算即可．‎ ‎【解答】解：向量的夹角为θ=60°，||=2，‎ 则在上的投影为||×cosθ=2×cos60°=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎13．已知离心率为2的双曲线的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若，则p 的值为　2　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．‎ ‎【解答】解：∵双曲线，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程是y=±x，‎ 又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，‎ 故A，B两点的纵坐标分别是y=±，‎ 又由双曲线的离心率为2，所以=2，则=，‎ A，B两点的纵坐标分别是y=±，‎ 又△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线，‎ ‎∴×p×=，得p=2．‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ ‎14．一海豚在水池中（不考虑水的深度）自由游戏，已知水池的长为30m，宽为20m，则海豚嘴尖离池边超过4m的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】测度为面积，找出点离岸边不超过4m的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．‎ ‎【解答】解：如图所示：长方形面积为20×30，小长方形面积为22×12，‎ 阴影部分的面积为20×30﹣22×12，‎ ‎∴海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率为P=1﹣=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎15．已知函数，若方程f（x）=t恰有3个不同的实数根，则实数t的取值范围是　（0，2）　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】由题意，画出已知函数的图象，结合图象找出满足与y=t有三个交点的t的范围．‎ ‎【解答】解：已知函数的图象如图：方程f（x）=t恰有3个不同的实数根，‎ 则圆锥函数图象与y=t有三个交点，由图象可知，当t∈（0，2）满足题意；‎ 故答案为：（0，2）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎16．已知函数的最小正周期为π．‎ ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】（1）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．‎ ‎（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性求得函数g（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．‎ ‎【解答】解：（1）===．‎ 因为函数f（x）的最小正周期为π，所以，得ω=1．‎ ‎（2）由（1）可得，f（x）=sin（2x﹣），把函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，‎ 得到y=g（x）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象．‎ 令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得．‎ 当k=0时，；‎ 当k=1时，．‎ 所以函数g（x）在区间[0，π]上的单调递增区间为．‎ ‎　‎ ‎17．元旦前夕，某校高三某班举行庆祝晚会，人人准备了才艺，由于时间限制不能全部展示，于是找四张红色纸片和四张绿色纸片上分别写1，2，3，4，确定由谁展示才艺的规则如下：‎ ‎①每个人先分别抽取红色纸片和绿色纸片各一次，并将上面的数字相加的和记为 X；‎ ‎②当X≤3或X≥6时，即有资格展现才艺；当3＜X＜6时，即被迫放弃展示．‎ ‎（1）请你写出红绿纸片所有可能的组合（例如（红2，绿3），（红3，绿2））；‎ ‎（2）求甲同学能取得展示才艺资格的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）利用列举法能求出取得这些可能的值的红绿卡片可能的组合．‎ ‎（2）红绿卡片所有可能组合对共有16个，满足当X≤3或≥6的红绿卡片组合对9对．由此能求出甲同学取得展示才艺资格的概率．‎ ‎【解答】解：（1）取得这些可能的值的红绿卡片可能的组合为：‎ ‎ 卡片组合 ‎ 绿色卡片 ‎ 1‎ ‎2 ‎ ‎ 3‎ ‎4 ‎ ‎ 红色卡片 ‎ 1‎ ‎ （红1，绿1）‎ ‎（红1，绿2） ‎ ‎ （红1，绿3） ‎ ‎（红1，绿4） ‎ ‎ 2‎ ‎ （红2，绿1）‎ ‎（红2，绿2） ‎ ‎（红2，绿3） ‎ ‎（红2，绿4） ‎ ‎ 3‎ ‎（红3，绿1） ‎ ‎（红3，绿2） ‎ ‎（红3，绿3） ‎ ‎（红3，绿4） ‎ ‎ 4‎ ‎（红4，绿1） ‎ ‎ （红4，绿2） ‎ ‎（红4，绿3） ‎ ‎（红4，绿4） ‎ x值 绿色卡片 ‎1‎ ‎2 ‎ ‎3‎ ‎4 ‎ 红色卡片 ‎1‎ ‎2‎ ‎3 ‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5 ‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎（2）从（1）中可知红绿卡片所有可能组合对共有16个．‎ 满足当X≤3或≥6的红绿卡片组合对有：‎ ‎（红1，绿1），（红1，绿2），（红2，绿1），（红2，绿2），‎ ‎（红2，绿4），（红4，绿2），（红4，绿3），（红4，绿4）共9对．‎ 所以甲同学取得展示才艺资格的概率为．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分别是AA1，BC的中点，∠CDC1=90°，在△ABC中，AB=2AC，∠BAC=60°．‎ ‎（1）证明：AM∥平面BDC1；‎ ‎（2）证明：DC1⊥平面BDC．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）取BC1的中点N，连接DN，MN，证明：四边形ADNM为平行四边形，可得DN∥AM，即可证明AM∥平面BDC1；‎ ‎（2）证明：DC1⊥BC，DC1⊥DC，且DC∩BC=C，即可证明DC1⊥平面BDC．‎ ‎【解答】证明：（1）取BC1的中点N，连接DN，MN，‎ 则且．‎ 又且，‎ ‎∴AD∥MN，且AD=MN，‎ ‎∴四边形ADNM为平行四边形，‎ ‎∴DN∥AM．‎ 又DN⊂平面BDC1，AM⊄平面BDC1，‎ ‎∴AM∥平面BDC1．‎ ‎（2）由题设AC=1，则AB=2，‎ 由余弦定理，得．‎ 由勾股定理，得∠ACB=90°，BC⊥AC1．‎ 又∵BC⊥CC1，且CC1∩AC=C，‎ ‎∴BC⊥平面ACC1A1．‎ 又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．‎ 又DC1⊥DC，且DC∩BC=C，‎ ‎∴DC1⊥平面BDC．‎ ‎　‎ ‎19．在等差数列{an}中，d＞0，若a1+a4+a7=12，a1a4a7=28，数列{bn}是等比数列，b1=16，a2b2=4．‎ ‎（1）求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）令，求{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎（2），利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设{an}公差为d，{bn}公比为q．‎ 由a1+a7=2a4，得3a4=12，即a4=4．‎ 再结合题意，得，‎ 解得或（舍）．‎ 由a1=1，a7=7，得．‎ 故an=a1+（n﹣1）d=n．‎ 在数列{bn}中，，解得q=2．‎ 所以．‎ ‎（2）因为，‎ 所以．‎ 又．‎ 以上两式作差，得，‎ 所以．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=ex﹣aex（a∈R，e是自然对数的底数）．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）当x∈R时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出f'（x）=ex﹣ea，由此利用导数性质能讨论函数f（x）的单调性．‎ ‎（2）由a＜0，a=0，a＞0，利用导数性质分类讨论，能求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）=ex﹣eax，得f'（x）=ex﹣ea．‎ 当a≤0时，f'（x）=ex﹣ea＞0，则f（x）在R上为增函数；‎ 当a＞0时，由f'（x）=ex﹣ea=ex﹣e1+lna=0，解得x=1+lna．‎ 当x＜1+lna时，f'（x）＜0；当x＞1+lna时，f'（x）＞0．‎ 所以f（x）在（﹣∞，1+lna）上为减函数，‎ 在（1+lna，+∞）上为增函数．‎ ‎（2）结合（1），得：‎ 当a＜0时，设a＜﹣1，则f（2a）=e2x﹣ea•2a=e2x﹣2ea2＜0，‎ 这与“当x∈R时，f（x）≥0恒成立”矛盾，此时不适合题意．‎ 当a=0时，f（x）=ex，满足“当x∈R时，f（x）≥0恒成立”．‎ 当a＞0时，f（x）的极小值点，也是最小值点，‎ 即，‎ 由f（x）≥0，得﹣ealna≥0，解得0＜a≤1．‎ 综上，a的取值范围是[0，1]．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆的离心率为，它的一个焦点到短轴顶点的距离为2，动直线l：y=kx+m交椭圆E于A、B两点，设直线OA、OB的斜率都存在，且．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）求证：2m2=4k2+3；‎ ‎（3）求|AB|的最大值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可得：，a=2，a2=b2+c2，解出即可得出．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由．可得=﹣，可得3x1•x2+4（kx1+m）（kx2+m）=0，化为：（3+4k2）x1•x2+4km（x1+x2）+4m2=0，把根与系数的关系代入即可证明．‎ ‎（3）由（2）可得：△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，可得k∈R．|AB|==，即可得出．‎ ‎【解答】（1）解：由题意可得：，a=2，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3．‎ ‎∴椭圆E的方程为=1．‎ ‎（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，‎ ‎△＞0，∴x1+x2=，x1•x2=，‎ ‎∵．‎ ‎∴=﹣，即3x1•x2+4y1y2=0，‎ ‎∴3x1•x2+4（kx1+m）（kx2+m）=0，‎ 化为：（3+4k2）x1•x2+4km（x1+x2）+4m2=0，‎ ‎∴（3+4k2）+4km•+4m2=0，‎ 化为：2m2=4k2+3．‎ ‎（3）解：由（2）可得：△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，‎ 化为：4k2+3＞m2，∴4k2+3，∴k∈R．‎ ‎|AB|=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎==∈．‎ 当且仅当k=0时，|AB|的最大值2．‎ ‎　‎ ‎2017年2月28日