数学文卷·2017届河北省石家庄市高三第一次模拟考试（2017

数学文卷·2017届河北省石家庄市高三第一次模拟考试（2017

‎2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷 数学(文科)A卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.设,则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.若是复数,,则( )‎ A． B． C． D．1 ‎ ‎4.下列说法错误的是( )‎ A．回归直线过样本点的中心 B．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1‎ C．在回归直线方程中,当解释变量每增加1个单位时,预报变量平均增加0.2个单位 D．对分类变量与,随机变量的观测值越大,则判断“与有关系”的把握程度越小 ‎ ‎5.若定义在上的函数当且仅当存在有限个非零自变量，使得，则称为类偶函数，则下列函数中为类偶函数的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.已知三个向量，，共面，且均为单位向量，，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示（在如图的格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）‎ A．48 B．54 C．60 D．64 ‎ ‎8.已知函数的图象关于对称，且在上单调，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前100项的和为（ ）‎ A． B． C． D．0 ‎ ‎9.已知抛物线过点，其准线与轴交于点，直线与抛物线的另一个交点为，若，则实数为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知，满足约束条件且，当取得最大值时，直线被圆截得的弦长为（ ）‎ A．10 B． C． D．‎ ‎11.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（　　）‎ A．①② B．①③ C．①④ D．②④ ‎ ‎12.已知函数（为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知命题：，，则为 ．‎ ‎14.程序框图如图所示，若输入，，则输出的为 ．‎ ‎15.已知、分别为双曲线（，）的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，为的内心，满足，若该双曲线的离心率为3，则 （注：、、分别为、、的面积）．‎ ‎16.已知等比数列满足，.设数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.在中，内角，，的对边分别是，，，且.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）点满足，且线段，求的最大值.‎ ‎18.在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，. ‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求点到平面的距离．　‎ ‎19.某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，以此类推，统计结果如表：‎ 停靠时间 ‎2.5‎ ‎3‎ ‎3.5‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎5‎ ‎5.5‎ ‎6‎ 轮船数量 ‎12‎ ‎12‎ ‎17‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎（Ⅰ）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为小时，求的值；‎ ‎（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．‎ ‎20.已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，为原点，，是轴上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于，两点．‎ ‎　‎ ‎（Ⅰ）求的面积的最小值；‎ ‎（Ⅱ）证明：，，三点共线.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）若函数为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，函数的两个极值点为，，且.证明：. ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系，将曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于、和、，且点在第一象限，当四边形的周长最大时，求直线的普通方程．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，的最小值为1，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的取值范围．‎ ‎2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(文科)A卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13.， 14.57 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）∵，由正弦定理得，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴．‎ ‎（Ⅱ）在中由余弦定理知：，‎ ‎∴，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴，即，当且仅当，即，时取等号，‎ 所以的最大值为6．‎ ‎18.（Ⅰ）证明：在中，，由已知，‎ ‎，，‎ 解得，所以，即，可求得．‎ 在中，‎ ‎∵,,,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∵平面,,∴平面．‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，平面，则到面的距离等于到面的距离，‎ 在中，易求，‎ ‎，‎ 且，面，‎ 则，即，则，‎ 即点到平面的距离为．‎ ‎19.解：（Ⅰ）．‎ ‎（Ⅱ）设甲船到达的时间为，乙船到达的时间为，则 若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则，‎ 所以必须等待的概率为．‎ 答：这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为．‎ ‎20.解：（Ⅰ）设，，∵，可得，‎ ‎，‎ ‎∵，当且仅当时等号成立．‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形的面积的最小值为1．‎ ‎（Ⅱ）∵，，∴直线的方程为，‎ 由得，‎ 由，得，①‎ 同理可得，‎ ‎∵，∵②‎ 故由①②可知：，‎ 代入椭圆方程可得 ‎∵，故，分别在轴两侧，，‎ ‎∴，∴，，三点共线．‎ ‎21.解：（Ⅰ）函数的定义域为．　‎ 由题意，，.‎ ‎①若，即，则恒成立，则在上为单调减函数；‎ ‎②若，即，方程的两个根为，，当时，，所以函数单调递减，当时，，所以函数单调递增，不符合题意．　‎ 综上，若函数为定义域上的单调函数，则实数的取值范围为.‎ ‎（Ⅱ）因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根，‎ 即有两个不等的实根，，‎ 可得，且，‎ 因为，则，可得.‎ ‎，‎ ‎. ‎ 令，，，‎ ‎∵，‎ 又，时，，‎ 而，故在上恒成立，‎ 所以在上恒成立，‎ 即在上单调递减，‎ 所以，得证．‎ ‎22.解：（Ⅰ），（为参数）．‎ ‎（Ⅱ）设四边形的周长为，设点，‎ ‎，‎ 且，，‎ 所以，当（）时，取最大值，‎ 此时，‎ 所以，，，‎ 此时，，的普通方程为．‎ ‎23.解：（Ⅰ）当时，函数 可知，当时，的最小值为，解得．‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 当且仅当时，成立，‎ 所以，当时，的取值范围是；‎ 当时，的取值范围是；‎ 当时，的取值范围是．‎