数学理·山东省泰安市宁阳复圣中学2017届高三9月模拟考试数学理试题 Word版含解析

数学理·山东省泰安市宁阳复圣中学2017届高三9月模拟考试数学理试题 Word版含解析

‎2016/2017学年度上学期高三模拟考试（一）‎ 数学试题（理） 2016.9‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。‎ ‎1.是函数在点处取极值的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．既不充分又不必要条件 　‎ C．充要条件 D．必要不充分条件 ‎2．函数 的单调递减区间是（ ）‎ A． B． C. D. ‎ ‎3．在曲线 上切线的倾斜角为的点是(　　)‎ A． B． C. D. ‎ ‎4.曲线 在点 处切线的斜率等于（ ）‎ A． B. C.2 D.1‎ ‎5．直线 与曲线 在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）‎ A． B. C.2 D.4‎ ‎6. 已知三次函数 在 是增函数，则 的取值范围是(　　)‎ A． 或 B． C． D．以上皆不正确 ‎7. 的图象的一个对称中心是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.若函数上不是单调函数，则实数k的取值范围（ ）‎ ‎ A． B．不存在这样的实数k C． D．‎ ‎9.已知 是第四象限角， ，则 （ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎10.设 ，则（ ） ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题：（每题5分，共25分）‎ ‎11.函数的导数为_________________‎ ‎12．点P从 出发，沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达Q点，则Q点的坐标为 。‎ ‎13．若 ，则常数T的值为 。‎ ‎14．设函数 在 内可导，且 ，则 。‎ ‎15.已知函数是定义在R上的奇函数，，，则不等式的解集是 。‎ 三、解答题：本大题共7个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎16.（本小题12分）设函数 ，求函数的单调区间与极值．‎ ‎17.（本小题12分）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长是多少。‎ ‎18. （本小题12分）已知 ，求 。‎ ‎19. （本小题13分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间.‎ ‎20.（本小题13分）已知扇形的圆心角是 ，半径是 ，弧长为 ，若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数。‎ ‎21.（本小题13分）设函数.‎ ‎（1）求的单调区间和极值；‎ ‎（2）若关于的方程有3个不同实根，求实数的取值范围.‎ ‎（3）已知当恒成立，求实数的取值范围 ‎2016-2017学年山东省泰安市宁阳县复圣中学高三（上）9月月考 数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2016秋•宁阳县校级月考）f′（x0）=0是函数f（x）在点x0处取极值的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【专题】转化思想；转化法；简易逻辑．‎ ‎【分析】根据导函数的零点与函数极值点的关系，结合充要条件的定义，可得答案．‎ ‎【解答】解：f′（x0）=0时，函数f（x）在点x0处不一定取极值，‎ 函数f（x）在点x0处取极值时，f′（x0）=0，‎ 故f′（x0）=0是函数f（x）在点x0处取极值的必要不充分条件，‎ 故选：D ‎【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，熟练掌握并正确理解充要条件的定义是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2016秋•宁阳县校级月考）函数f（x）=xex﹣ex+1的单调递减区间是（　　）‎ A．（﹣∞，e﹣1） B．（1，e） C．（e，+∞） D．（e﹣1，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；导数的综合应用．‎ ‎【分析】求出f′（x）=﹣xex，利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=xex﹣e•ex，‎ ‎∴f′（x）=ex+xex﹣e•ex，‎ 由f′（x）＜0，可得ex+xex﹣e•ex＜0，即1+x﹣e＜0，解得x＜e﹣1．‎ ‎∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，e﹣1）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查函数的单调区间的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2016秋•宁阳县校级月考）在曲线y=x2上切线的倾斜角为的点是（　　）‎ A．（0，0） B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【专题】综合题；方程思想；综合法；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】由切线的倾斜角为，算出切线的斜率k=．设切点的坐标为（a，a2），求出函数y=x2的导数为y'=2x，根据导数的几何意义得2a=，解得a，从而可得切点的坐标．‎ ‎【解答】解：设切点的坐标为（a，a2）‎ ‎∵切线的倾斜角为，‎ ‎∴切线的斜率k=tan=．‎ 对y=x2求导数，得y'=2x，‎ ‎∴2a=，得a=，可得切点的坐标为（，）．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题求抛物线y=x2上切线的倾斜角为的点的坐标．着重考查了抛物线的性质、切线的几何意义、直线与抛物线的关系等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2014•广西）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（　　）‎ A．2e B．e C．2 D．1‎ ‎【考点】导数的几何意义．‎ ‎【专题】导数的概念及应用．‎ ‎【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．‎ ‎【解答】解：函数的导数为f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1，‎ 当x=1时，f′（1）=2，‎ 即曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（　　）‎ A．2 B．4 C．2 D．4‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．‎ ‎【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，‎ 曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是，‎ 而=（2x2﹣x4）＝8﹣4=4，‎ ‎∴曲边梯形的面积是4，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2015秋•陕西校级期末）已知函数f（x）=x3﹣（4m﹣1）x2+（15m2﹣2m﹣7）x+2在R上是增函数，则m的取值范围为（　　）‎ A．m≤2或m≥4 B．﹣4≤m≤﹣2 C．2≤m≤4 D．以上皆不对 ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【专题】导数的概念及应用．‎ ‎【分析】问题转化为f′（x）=x2﹣2（4m﹣1）x+（15m2﹣2m﹣7）≥0在R上恒成立即可，结合二次函数的性质从而求出m的范围．‎ ‎【解答】解：若函数f（x）=x3﹣（4m﹣1）x2+（15m2﹣2m﹣7）x+2在R上是增函数，‎ 只需f′（x）=x2﹣2（4m﹣1）x+（15m2﹣2m﹣7）≥0在R上恒成立即可，‎ ‎∴只需△=4（4m﹣1）2﹣4（15m2﹣2m﹣7）≤0即可，‎ 解得：2≤m≤4，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、函数恒成立问题，考查导数的应用，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2016春•银川校级期中）y=sin（x﹣）的图象的一个对称中心是（　　）‎ A．（﹣π，0） B．（，0） C．（，0） D．（﹣，0）‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．‎ ‎【解答】解：对于函数y=sin（x﹣），令x﹣=kπ，k∈Z，可得它的图象的对称中心为（kπ+，0），k∈Z．‎ 令k=﹣1，可得它的图象的一个对称中心为（﹣，0），‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）若函数f（x）=x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（　　）‎ A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3 B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3‎ C．﹣2＜k＜2 D．不存在这样的实数k ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】由题意得，区间（k﹣1，k+1）内必须含有函数的导数的根2或﹣2，即k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，从而求出实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意得，f′（x）=3x2﹣12 在区间（k﹣1，k+1）上至少有一个实数根，‎ 而f′（x）=3x2﹣12的根为±2，区间（k﹣1，k+1）的长度为2，‎ 故区间（k﹣1，k+1）内必须含有2或﹣2．‎ ‎∴k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，‎ ‎∴1＜k＜3 或﹣3＜k＜﹣1，‎ 故选 B．‎ ‎【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，函数在区间上不是单调函数，则函数的导数在区间上有实数根．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2016秋•宁阳县校级月考）已知α是第四象限角，sinα=﹣，则tanα=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．‎ ‎【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．‎ ‎【解答】解：∵α是第四象限角，sinα=﹣，∴cosα==，‎ 则tanα==﹣，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（　　）‎ A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b ‎【考点】正切函数的单调性．‎ ‎【专题】三角函数的求值．‎ ‎【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，综合可得．‎ ‎【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，‎ 由正弦函数的单调性可知b＞a，‎ 而c=tan35°=＞sin35°=b，‎ ‎∴c＞b＞a 故选：C ‎【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题：（每题5分，共25分）‎ ‎11．（5分）函数y=的导函数等于　﹣　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用商的导数运算法则及三角函数、幂函数的导数运算公式求出函数的导函数．‎ ‎【解答】解：=‎ 故答案为 ‎【点评】求一个函数的导函数，应该先化简函数，再根据函数的形式选择合适的导数运算法则．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2016秋•宁阳县校级月考）点P从（0，1）出发，沿单位圆逆时针方向运动　弧长到达Q点，则Q点的坐标为　　．‎ ‎【考点】弧长公式．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；演绎法；三角函数的求值．‎ ‎【分析】由题意推出∠QOx角的大小，然后求出Q点的坐标．‎ ‎【解答】解：点P从（0，1）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx=，‎ 所以Q（cos，sin），所以Q．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题通过角的终边的旋转，求出角的大小是解题的关键，考查计算能力，注意旋转方向．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）若，则常数T的值为　3　．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用微积分基本定理即可求得．‎ ‎【解答】解：==9，解得T=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2013•江西）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex，则f′（1）=　2　．‎ ‎【考点】导数的运算；函数的值．‎ ‎【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）．‎ ‎【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex，‎ 令ex=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，‎ ‎∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式，属于基本题型，运算型．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2015秋•天水校级期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，＞0（x＞0），则不等式x2f（x）＞0的解集是　（﹣1，0）∪（1，+∞）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】先根据[]′=＞0判断函数的单调性，进而分别看x＞1和0＜x＜1时f（x）与0的关系，再根据函数的奇偶性判断﹣1＜x＜0和x＜﹣1时f（x）与0的关系，最后取x的并集即可得到答案．‎ ‎【解答】解：[]′=＞0，即x＞0时是增函数，‎ 当x＞1时，＞f（1）=0，f（x）＞0．‎ ‎0＜x＜1时，＜f（1）=0，f（x）＜0，‎ 又f（x）是奇函数，所以﹣1＜x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）＞0，‎ x＜﹣1时f（x）=﹣f（﹣x）＜0，‎ 则不等式x2f（x）＞0即f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞），‎ 故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．‎ ‎【点评】本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共7个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（12分）（2010•安徽）设函数f（x）=sinx﹣cosx+x+1，0＜x＜2π，求函数f（x）的单调区间与极值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】对函数f（x）=sinx﹣cosx+x+1求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值．‎ ‎【解答】解：由f（x）=sinx﹣cosx+x+1，0＜x＜2π，知f'（x）=1+sin（x+）．‎ 令f'（x）=0，从而可得sin（x+）=﹣，得x=π，或x=，‎ 当x变化时，f'（x），f（x）变化情况如下表：‎ ‎ x ‎ （0，π）‎ ‎ π ‎ （）‎ ‎ （）‎ ‎ f'（x）‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ f（x）‎ 单调递增↑‎ ‎ π+2‎ 单调递减↓‎ 单调递增↑‎ 因此，由上表知f（x）的单调递增区间是（0，π）与（，2π），‎ 单调递减区间是（π，），极小值为，极大值为f（π）=π+2‎ ‎【点评】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力．对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2016秋•宁阳县校级月考）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长是多少．‎ ‎【考点】扇形面积公式；弧长公式．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；演绎法；三角函数的求值．‎ ‎【分析】设扇形的弧长为l，半径为r，S扇=lr=2，l=4r，其周长c=l+2r可求．‎ ‎【解答】解：根据题意知s=2，θ=4，‎ ‎∵即R=1﹣﹣﹣（6分）‎ ‎∵l=θR=4×1=4，‎ ‎∴扇形的周长为l+2R=4+2=6﹣﹣﹣﹣﹣（12分）‎ ‎【点评】本题考查扇形面积公式，关键在于掌握弧长公式，扇形面积公式及其应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•宁阳县校级月考）已知f（α）=，求f（）．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【专题】计算题；三角函数的求值．‎ ‎【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，代入求解即可．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴…（6分）‎ ‎∴…（12分）‎ ‎【点评】本题考查是三角函数诱导公式的应用，三角函数求值，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎19．（13分）（2016春•舒城县校级期中）已知函数f（x）=x3﹣3x．‎ ‎（Ⅰ）求f′（2）的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求导函数f'（x），把2代入即可求得f′（2）的值；‎ ‎（Ⅱ）求导，令导数f'（x）＞0，解此不等式即可求得单调增区间；令导数f'（x）＜0，解此不等式即可求得单调减区间；‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2﹣3，‎ 所以f'（2）=9．‎ ‎（Ⅱ）f'（x）=3x2﹣3，‎ 令f'（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1．‎ 令f'（x）＜0，得﹣1＜x＜1．‎ 所以（﹣∞，﹣1），（1，+∞）为函数f（x）的单调增区间，（﹣1，1）为函数f（x）的单调减区间．‎ ‎【点评】考查导数的运算法则和基本初等函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性问题，属基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2016秋•宁阳县校级月考）已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l，若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．‎ ‎【考点】扇形面积公式；基本不等式．‎ ‎【专题】综合题；方程思想；演绎法；三角函数的求值．‎ ‎【分析】利用周长关系，表示出扇形的面积，利用二次函数求出面积的最大值，以及圆心角的大小．‎ ‎【解答】解：根据题意知l+2r=20即l=20﹣2r…（3分）‎ ‎∵，∴…（4分）‎ ‎∴当r=5时smax=25，‎ 又∵l=2r，∴10=α×5即α=2…（11分）‎ ‎∴扇形的面积的最大值是25，此时扇形圆心角的弧度数为2…（13分）‎ ‎【点评】本题主要考查了扇形的周长，半径圆心角，面积之间的关系，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎21．（13分）（2015春•宁夏校级期末）设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．‎ ‎（3）已知当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x﹣1）恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【专题】导数的综合应用．‎ ‎【分析】（1）先求出函数f（x）的导数，从而求出函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）画出函数的大致图象，结合图象从而求出a的范围；‎ ‎（3）问题转化为k≤x2+x﹣5在（1，+∞）上恒成立，结合二次函数的性质求出即可．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=3（x2﹣2），令f′（x）=0，得x1=﹣，x2=‎ ‎∴，x＜﹣或x＞时，f′（x）＞0，当﹣时，f′（x）＜0，‎ f（x）的单调递增区间（﹣）和（），单调递减区间是（﹣，），‎ 当x=﹣，f（x）有极大值5+4；‎ 当x=，f（x）有极小值5﹣4．‎ ‎（2）由（1）可知y=f（x）图象的大致形状及走向如图示：‎ ‎∴当5﹣4＜a＜5+4时，直线y=a与y=f（x）的图象有3个不同交点，‎ 即当5﹣4＜a＜5+4时方程f（x）=a有三解．‎ ‎（3）f（x）≥k（x﹣1）即（x﹣1）（x2+x﹣5）≥k（x﹣1）‎ ‎∵x＞1，∴k≤x2+x﹣5在（1，+∞）上恒成立．‎ 令g（x）=x2+x﹣5，由二次函数的性质，g（x）在（1，+∞）上是增函数，‎ ‎∴g（x）＞g（1）=﹣3‎ ‎∴所求k的取值范围是k≤﹣3．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、函数的极值问题，考查导数的应用，二次函数的性质，本题是一道中档题．‎