2018-2019学年新疆奎屯市第一高级中学高二下学期第一次月考数学（文)试题 解析版

2018-2019学年新疆奎屯市第一高级中学高二下学期第一次月考数学（文)试题 解析版

绝密★启用前 新疆奎屯市第一高级中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设集合A＝{(x，y)| }，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】集合A表示椭圆上的点组成的集合，集合B表示函数上的点组成的集合，则A∩B表示两图像的交点组成的集合，绘制图像如图所示，观察可得，交点个数为2个，结合子集个数公式可得：A∩B的子集的个数是.‎ 本题选择D选项.‎ ‎2．设复数，(为虚数单位)，则复数的共轭复数在复平面上对应的点位于( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用复数的除法法则得到复数的代数形式，再利用共轭复数的概念得到，再利用复数的几何意义进行求解．‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，则在复平面上对应的点位于第三象限．故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的除法运算、复数的几何意义和共轭复数，意在考查学生的基本运算能力，属于基础题．‎ ‎3．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点．因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点．以上推理中（ ）‎ A．小前提错误 B．大前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 大前提：如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点，错误．‎ ‎4．下列说法正确的是（ ）‎ A．在统计学中，回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法 B．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的，，‎ 一个点 C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 D．在回归分析中，相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果差 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：首先对每个选项一一进行分析，需要明确独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，回归直线可能不过任何一个样本数据点，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟精度越高，相关指数越大，拟合效果越好的结论，就可以正确选出结果.‎ 详解：对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，所以A错；‎ 对于B，线性回归方程对应的直线可能不过任何一个样本数据点，所以B错误；‎ 对于C，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以C正确；‎ 对于D，回归分析中，相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果好，所以D错误.‎ 故选C.‎ 点睛：根据概率统计中变量间的相关关系，线性回归方程以及残差图与相关指数的概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.‎ ‎5．淮北一中艺术节对摄影类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：‎ 甲说：“是C或D作品获得一等奖”；‎ 乙说：“B作品获得一等奖”；‎ 丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；‎ 丁说：“是C作品获得一等奖”. ‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）.‎ A．A作品 B．B作品 C．C作品 D．D作品 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，A，B，C，D作品进行评奖，只评一项一等奖，‎ 假设参赛的作品A为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；‎ 假设参赛的作品B为一等奖，则甲、丁的说法都错误，乙、丙的说法正确，符合题意；‎ 假设参赛的作品C为一等奖，则乙的说法都错误，甲、丙、丁的说法正确，不符合题意；‎ 假设参赛的作品D为一等奖，则乙、丙、丁的说法都错误，甲的说法正确，不符合题意；‎ 故获得参赛的作品B为一等奖；‎ 故选：B．‎ ‎6．已知向量若变量满足约束条件 ，则的最大值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用平面向量的数量积为0得到的关系式，作出可行域和目标函数基准直线，由图象得出最优解．‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，即，作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），当直线向右上方平移时，直线在轴上的截距增大，由图象得当直线经过点时，取得最大值，即．故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、简单的线性规划问题，意在考查学生的数形结合思想的应用能力、基本运算能力，属于中档题．在作可行域和目标函数基准直线时，要注意可行域边界直线的实虚之分、目标函数基准直线和可行域边界直线的倾斜程度.‎ ‎7．等差数列中，是前项和，若，则=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出等差数列的首项和公差，利用通项公式和前项和公式得到关于首项和公差的方程组，再利用前项和公式进行求解．‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的首项为，公差为，因为，所以，‎ 即，解得，则．故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式，意在考查学生的基本运算能力，属于基础题．‎ ‎8．已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据等比中项公式求出值，再判定圆锥曲线的形状，进而求出离心率．‎ ‎【详解】‎ 因为成等比数列，所以，解得，则的离心率为．故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列、圆锥曲线的标准方程和离心率，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力，属于基础题．‎ ‎9．如图，点分别是正方体的棱的中点，用过点和点的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（ ）‎ A．①③④ B．②④③ C．①②③ D．②③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由正视图的定义可知：‎ 点A. B. 在后面的投影点分别是点D. C. ，‎ 线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段C平行且相等的线段，即正视图为正方形，‎ 另外线段AM在后面的投影线要画成实线,被遮挡的线段D要画成虚线，‎ 故几何体的正视图为②，左视图为③，俯视图为④；‎ 故答案为：②、③、④‎ 选D 点睛：直接利用三视图的定义，正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，据此可以判断出其正视图．左视图是光线从几何体的左侧向右侧正投影得到的投影图，据此可以判断出其左视图．类似判断俯视图即可 ‎10．已知A、B、C在球心为O的球面上，△ABC的内角 A、B、C所对边的长分别为a,b,c且球心O到截面的距离为，则该球的表面积为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】略 ‎11．已知函数是定义在上的奇函数，，且时，，则( )‎ A．4 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用得到函数的周期性，再利用函数的奇偶性和对数运算进行求解．‎ ‎【详解】‎ 因为函数满足，所以，即函数是以为周期的周期函数，又函数是定义在上的奇函数，且时，，所以．故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用以及对数运算，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力，属于中档题．本题的易错点在于“正确根据判定函数是以为周期的周期函数，而不是图象关于直线对称”，在处理函数的周期性和对称性时，要注意以下结论：若函数满足或，则函数的图象关于直线对称；若函数满足或，则函数是以为周期的周期函数.‎ ‎12．已知函数，下列关于的四个命题；‎ ‎①函数在上是增函数 ②函数的最小值为0‎ ‎③如果时，则的最小值为2‎ ‎④函数有2个零点 其中真命题的个数是( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵函数 ‎∴‎ ‎∴令，得，即函数在上为增函数；‎ 令，得或，即函数在，上为减函数.‎ ‎∵函数在上恒成立 ‎∴当时，，且函数的零点个数只有一个.‎ 当时，，则要使时，则的最小值为2，故正确.‎ 综上，故①②③正确.‎ 故选C.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．观察下列等式：根据上述规律写出第六个等式为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23＝（1+2）2＝32，13+23+33＝（1+2+3）2 ＝62，13+23+33+43＝（1+2+3+4）2 ＝102，进而可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，分析题干所给的等式可得：‎ ‎13+23＝（1+2）2＝32，‎ ‎13+23+33＝（1+2+3）2 ＝62，‎ ‎13+23+33+43＝（1+2+3+4）2 ＝102，‎ 则13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2 ＝（）2，‎ 故答案为：13+23+33+43+…+n3＝（）2‎ 故第六个等式为 ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理，解题的关键是发现各个等式之间变化的规律以及每个等式左右两边的关系．‎ ‎14．定义某种运算，的运算原理如图所示：设则在区间 上的最小值为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据程序框图的功能得出的意义，再求出函数的解析式，进而求出最小值．‎ ‎【详解】‎ 由程序框图，得，则，易知在区间上的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查新定义题目、程序框图，意在考查学生的逻辑思维能力，属于基础题．‎ ‎15．给出下列命题：‎ ‎①若 ， 是第一象限角且 ，则 ；‎ ‎②函数 在上是减函数；‎ ‎③ 是函数 的一条对称轴；‎ ‎④函数 的图象关于点 成中心对称；‎ ‎⑤设 ，则函数 的最小值是，其中正确命题的序号为 __________．‎ ‎【答案】③⑤‎ ‎【解析】对于①，时， ，而 ‎，故①错误；对于②，在上递增，故②错误；对于③，时， ， 是的对称轴，故③正确；对于④，时， 不是的对称中心，故④错误；对于⑤，，设因为 ，所以,则 ， 在上递增，在 上递减，因为 可得时， ，即函数 的最小值是，故⑤正确，故答案为③⑤.‎ ‎【 方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函数的单调性、三角函数的奇偶性、三角函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ ‎16．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设，作垂直准线于点，设准线与 轴交于，则，又，得，∴，所以，又，所以为的中点，所以，所以此抛物线的方程为．所以答案应填：．‎ 考点：抛物线的标准方程． ‎ ‎【思路点睛】根据过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，作垂直准线于点，设准线与轴交于，根据，且和抛物线的定义，可得，易知为的中位线，而可求得，即求得抛物线的方程．本题考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知等差数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)128.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）利用等差数列的通项公式，将转化成和，解方程得到和的值，直接写出等差数列的通项公式即可；（Ⅱ）先利用第一问的结论得到和的值，再利用等比数列的通项公式，将和转化为和，解出和的值，得到的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出的值，即项数.‎ 试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为.‎ 因为，所以.‎ 又因为，所以，故.‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）设等比数列的公比为.‎ 因为，，‎ 所以，.‎ 所以.‎ 由，得.‎ 所以与数列的第项相等.‎ 考点：等差数列、等比数列的通项公式.‎ ‎18．设函数.‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）若角满足，，的面积为，求的值.‎ ‎【答案】(1) ，；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数化成的形式，再根据正弦函数的单调增区间求解．（2）结合条件及（1）得到，由面积可得，然后根据余弦定理经变形后可得．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得 ，‎ 令，，‎ 得，.‎ 所以函数的单调递增区间为，．‎ ‎（2）由条件及（1）得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ 又，‎ ‎∴．‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 在应用余弦定理解题时，要注意公式的常见变形，即，这一变形往往与三角形的面积公式结合在一起，体现了知识间的联系和综合．‎ ‎19．天水市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.‎ ‎ ‎ 优秀 ‎ 非优秀 ‎ 合计 ‎ 甲班 ‎10‎ 乙班 ‎30‎ 合计 ‎110‎ ‎（1）请完成上面的列联表；‎ ‎（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；‎ ‎（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号。试求抽到9号或10号的概率。‎ 参考公式与临界值表：。‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）‎ 优秀 非优秀 合计 甲班 ‎10‎ ‎50‎ ‎60‎ 乙班 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎30‎ ‎80‎ ‎110‎ ‎（2）按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” ‎ ‎（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：‎ 思路分析：此类问题（1）（2）直接套用公式，经过计算“卡方”，与数表对比，作出结论。（3）是典型的古典概型概率的计算问题，确定两个“事件”数，确定其比值。‎ 解：（1） 4分 优秀 非优秀 合计 甲班 ‎10‎ ‎50‎ ‎60‎ 乙班 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎30‎ ‎80‎ ‎110‎ ‎（2）根据列联表中的数据，得到K2≈7.487＜10.828．因此按99.9%的 可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 8分 ‎（3）设“抽到9或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．所有的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6）共36个．事件A包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）（6，4）共7个．所以P(A)=，即抽到9号或10号的概率为． 12分 考点：“卡方检验”，古典概型概率的计算。‎ 点评：中档题，独立性检验问题，主要是通过计算“卡方”，对比数表，得出结论。古典概型概率的计算中，常用“树图法”或“坐标法”确定事件数，以防重复或遗漏。‎ ‎20．如图所示的多面体中,四边形是菱形、是矩形，面，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由是菱形知，推出；‎ 由是矩形得推出，从而可得；‎ ‎（2）连接，由是菱形，及面,得到，‎ 证得为四棱锥的高 由是菱形，，得到为等边三角形，‎ 根据；得到，从而可计算几何体的体积.‎ 试题解析：证明：（1）由是菱形 ‎3分 由是矩形 ‎6分 ‎（2）连接，由是菱形，‎ 由面,‎ ‎， 10分 则为四棱锥的高 由是菱形，，则为等边三角形，‎ 由；则，14分 考点：1.空间垂直关系；2.几何体的体积.‎ ‎21．已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求的最大值；‎ ‎（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．若，和点共线，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用椭圆的离心率和焦距确定即可；（2）设出直线方程，联立直线和椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用弦长公式进行求解；（3）设出有关点的坐标，利用在椭圆上得到的坐标和直线斜率的关系，再设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，得出，同理得出点坐标，再利用三点共线进行求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，所以，‎ 又，所以，所以，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 由消去可得，‎ 则，即，‎ 设，，则，，‎ 则，‎ 易得当时，，故的最大值为．‎ ‎（3）设，，，，‎ 则 ①， ②，‎ 又，所以可设，直线的方程为，‎ 由消去可得，‎ 则，即，‎ 又，代入可得，所以，‎ 所以，同理可得．‎ 故，，‎ 因为，，三点共线，所以，‎ 将点，的坐标代入化简可得，即．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的综合问题，意在考查学生的逻辑思维能力、综合分析解决问题的能力，属于难题．处理三点共线时，往往有三种方法：‎ 如：证明三点共线，可采用以下方法：‎ ‎ 方法一：写出直线的方程，再证明点再直线上；‎ ‎ 方法二：利用斜率相等，即；‎ 方法三：利用向量共线，即与共线.‎ ‎22．已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)。‎ ‎(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值；并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；‎ ‎(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围。‎ ‎【答案】（1）最大值为；（2）实数的取值范围是。‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】(1)求得函数定义域和函数导数,将代入函数的导数,利用导数值为解方程求得的值.再根据函数的单调性求出函数在区间上的最大值.(2)对函数求导后,对分成,两类讨论函数的单调区间,利用不存在零点来求得的取值范围.‎ ‎【试题解析】‎ 解：（1）函数的定义域为，，‎ ‎，∴‎ 在上，单调递减，在上，单调递增，‎ 所以时取极小值.所以在上单调递增，在上单调递减；‎ 又，，.‎ 当时，在的最大值为 ‎ ‎（2）由于 ‎①当时，，是增函数，‎ 且当时，‎ 当时，，‎ ‎，取，则，‎ 所以函数存在零点 ‎ ‎②时，，.在上，单调递减，‎ 在上，单调递增，‎ 所以时取最小值.解得 综上所述：所求的实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用函数的导数研究函数的极值和最值,考查利用导数研究函数的零点,以此求得参数的取值范围.根据函数在某点处取得极值,可转化为在这点的导数为零,要注意验证在导数零点左右两侧的调性,若两边单调性相同,这该点不是函数的极值点.函数的极值点必须满足左减右增或者左增右减.‎