高中数学选修2-2教案章末检测卷(四)

高中数学选修2-2教案章末检测卷(四)

章末检测卷(四)‎ ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．下列说法不正确的是(　　)‎ A．定积分的值可以大于零 B．定积分的值可以等于零 C．定积分的值可以小于零 D．定积分的值就是相应曲边梯形的面积 答案　D 解析　根据定积分的意义，定积分的值可以大于零、等于零、小于零．所以定积分的值不一定是相应曲边梯形的面积．‎ ‎2．已知ʃf(x)dx＝m，则ʃnf(x)dx等于(　　)‎ A．m＋n B．m－n C．mn D．mn 答案　C 解析　根据定积分的性质，ʃnf(x)dx＝nʃf(x)dx＝mn.‎ ‎3．下列积分等于2的是(　　)‎ A．ʃ2xdx B．ʃdx C．ʃ1dx D．ʃdx 答案　C 解析　根据微积分基本定理，得 ʃ2xdx＝x2|＝4；‎ ʃdx＝|＝3；‎ ʃ1dx＝x|＝2；‎ ʃ＝ln x|＝ln 2.‎ ‎4．设f(x)＝则ʃf(x)dx等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　ʃf(x)dx＝ʃx2dx＋ʃdx＝x3|＋ln x|＝.‎ ‎5．ʃ|x|dx等于(　　)‎ A．ʃxdx B．ʃ(－x)dx C．ʃ(－x)dx＋ʃxdx D．ʃxdx＋ʃ(－x)dx 答案　C 解析　需要去掉函数中的绝对值符号，因为|x|＝，所以选C.‎ ‎6．由y＝ex，x＝2，y＝e围成的曲边梯形的面积是(　　)‎ A．e2－2e B．e2－e C．e2 D．e 答案　A 解析　所求面积为S＝ʃ(ex－e)dx ‎＝(ex－ex)| ‎＝e2－2e.‎ ‎7．由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积是(　　)‎ A. B. C. D．9‎ 答案　B 解析　解得交点A(－3，－9)，B(1，－1)．‎ 则y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积 S＝ʃ(－x2)dx－ʃ(2x－3)dx ‎＝－x3|－(x2－3x)|＝.‎ ‎8．由曲线y＝，x＝4和x轴所围成的平面图形绕x轴旋转生成的旋转体的体积为(　　)‎ A．16π B．32π C．8π D．4π 答案　C 解析　由图知旋转体的体积为πʃ()2dx＝x2|＝8π.‎ ‎9．已知自由落体运动的速率v＝gt，则落体运动从t＝0到t＝t0所走的路程为(　　)‎ A．gt B. C. D. 答案　C 解析　‎ ‎10．给出下列命题：‎ ‎①ʃdx＝ʃdt＝b－a(a，b为常数且a0，‎ ‎∴x＝0时，f(x)取极小值f(0)＝0.‎ 又f(－1)＝4，f(1)＝2，∴M＝4，m＝0.‎ ‎∴ʃf(x)dx＝ʃ(－x3＋3x2)dx ‎＝|＝0.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17．(10分)已知，求下列定积分：‎ ‎(1)ʃsin xdx； (2)‎ 解　(1)ʃsin xdx ‎(2)‎ ‎18．(12分)用定积分的意义求下列各式的值：‎ ‎(1)ʃ(2x＋1)dx；(2)‎ 解　‎ ‎(1)在平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线，ʃ(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3与x轴围成的直角梯形OABC的面积，如图(1)所示，其面积为S＝(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知ʃ(2x＋1)dx＝12.‎ ‎(2)由y＝可知，x2＋y2＝1(y≥0)图像如图(2)，由定积分的几何意义知等于圆心角为120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．‎ S弓形＝×π×12－×1×1×sin π＝－，‎ S矩形＝|AB|·|BC|‎ ‎＝2××＝，‎ ‎∴＝－＋＝＋.‎ ‎19．(12分)如图所示，求由曲线y＝x2，x∈[0,3]，x＝0及y＝2所围成的平面图形绕y轴旋转一周所形成几何体的体积．‎ 解　根据题意和图形，所求体积V＝ʃ0π(2)2dy＝4πʃ0ydy＝4π×y2|0＝2π×＝.‎ ‎20．(12分)如图，求曲线y＝x2和直线y＝t2 (00，‎ ‎∴t＝时，S(t)最小，最小值为S＝.‎ ‎21．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，f′(x)是函数f(x)的导数．在区间[－1,1]内任取实数a，b，求方程f′(x)＝0有实数根的概率．‎ 解　f′(x)＝x2＋ax＋b.‎ 若方程f′(x)＝0，即x2＋ax＋b＝0有实数根，‎ 则Δ≥0，即a2≥4b，‎ 因此方程f′(x)＝0有实数根的条件是 满足此不等式组的点P(a，b)形成的图形为图中阴影部分，其面积为 S1＝ʃda ‎＝ʃda ‎＝|＋2＝.‎ 而坐标满足条件－1≤a≤1，－1≤b≤1的点形成的图形的面积S＝4，根据几何概型的概率公式可知，方程f′(x)＝0有实数根的概率为P＝＝.‎ ‎22．(12分)在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定点t的值，使图中阴影部分的面积：‎ ‎(1)S1＝S2；‎ ‎(2)S＝S1＋S2最小．‎ 解　(1)∵S1＝t·t2－ʃx2dx＝t3，‎ S2＝ʃx2dx－(1－t)·t2＝t3－t2＋，‎ ‎∵S1＝S2，∴t3＝t3－t2＋，‎ ‎∴t＝.‎ ‎(2)∵S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)，‎ S′＝4t2－2t＝4t(t－)，‎ 令S′＝0，得t＝0，t＝.‎ 易知t＝是极小值点，‎ 又S()＝，S(0)＝，S(1)＝，‎ 故t＝时，S＝S1＋S2最小．‎